第1章 2 一定是直角三角形吗 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学北师大八年级上册“勾股定理逆定理”同步练，以“概念理解-技能应用-综合拓展”分层递进，构建从单一知识点到实际问题解决的知识巩固闭环，培养推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|逆定理提出、文字表述、字母表示|选择/填空题（如第1-12题），聚焦概念辨析与简单判定，夯实抽象能力| |技能应用层|判定步骤、勾股数及倍数性质|解答题（如第13-24题），强化运算能力，通过勾股数验证培养推理意识| |综合拓展层|非直角三角形判别、实际情境应用|复杂情境题（如第25-28题、课时训练解答题），结合图形与实际问题，发展模型观念与空间观念|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 ▌课时目标 1. 理解勾股定理逆定理的提出背景，能准确表述逆定理的文字内容与字母表达式，明确其与勾股定理的互逆关系。 2. 掌握利用逆定理判定直角三角形的步骤，能正确识别最长边并验证三边数量关系，准确判断三角形是否为直角三角形。 3. 认识常见勾股数，能运用勾股数的倍数性质简化判定过程，初步体会从特殊到一般的数学思想。 ▌课时目录 知识点01：勾股定理逆定理的提出 知识点02：勾股定理逆定理的文字表述 知识点03：勾股定理逆定理的字母表示 知识点04：利用逆定理判定直角三角形 知识点05：勾股数的判定与应用 知识点06：勾股数倍数性质的运用 知识点07：非直角三角形的判别 ▌知识点01：勾股定理逆定理的提出 勾股定理揭示了“直角三角形→两直角边平方和等于斜边平方”的关系，反过来思考：若一个三角形的三边满足“较短两边平方和等于最长边平方”，这个三角形是否一定是直角三角形？这一猜想经证明成立，即为勾股定理的逆定理，是从边的数量关系判定角的特征的逆向命题。 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（   ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可. 【详解】解：∵ 三角形三边长为、、， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理. ∴B符合题意. 2．（2025八年级上·全国·专题练习）车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定，李师傅依次测量三条边的长度，由此判断该零件是否合格．李师傅这样做的依据是（    ） A．直角三角形两锐角互余 B．三角形两边之和大于第三边 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理；根据勾股定理的逆定理的定义即可求出结果． 【详解】解：根据题意，李师傅这样做的依据是勾股定理的逆定理； 根据勾股定理的逆定理得，若，则说明；则该零件合格； 故选：D． 3．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理． 4．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法错误的是（　　） A．勾股定理适用于所有三角形 B．勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系 C．勾股定理的逆定理可用于判定直角三角形 D．常见的勾股数有3，4，5；5，12，13等 【答案】A 【分析】根据勾股定理及其逆定理的基础概念，逐项判断，即可． 【详解】解：A、勾股定理仅适用于直角三角形，故A选项说法错误，符合题意； B、勾股定理的内容就是描述直角三角形三边的数量关系，故B选项说法正确，不符合题意； C、勾股定理的逆定理可通过三边的数量关系判定一个三角形是否为直角三角形，故C选项说法正确，不符合题意； D、，，3，4，5和5，12，13都是勾股数，故D选项说法正确，不符合题意； ▌知识点02：勾股定理逆定理的文字表述 如果三角形的三边长满足（其中c为最长边），那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 应用时需注意c必须是三边中的最长边，否则判定不成立。 5．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（     ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，6，6 【答案】B 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 选项A中，最长边为，，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； ∵ 选项B中，最长边为，，，即，∴ 能构成直角三角形，符合题意； ∵ 选项C中，最长边为，，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意； ∵ 选项D中，三边相等，是等边三角形，内角均为，不是直角三角形，不符合题意． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．6，12，13 D．6，9，10 【答案】B 【详解】解：选项A：，不能构成三角形； 选项B：最长边为，，可以构成直角三角形； 选项C：最长边为，，，，不能构成直角三角形； 选项D：最长边为，，，，不能构成直角三角形． 7．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴，∴可以构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵，，∴，∴不可以构成直角三角形，不符合题意. 8．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，4 D．4，5，6 【答案】B 【详解】解：选项A，最长边为，，不能构成三角形，不符合题意． 选项B，最长边为，计算得，，，能作为直角三角形三边长，符合题意． 选项C，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． 选项D，最长边为，计算得，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意． ▌知识点03：勾股定理逆定理的字母表示 在△ABC中，若三边长满足（c为最长边），则∠C＝90°。该表达式中字母对应关系为：最长边c所对的角是直角，与勾股定理的字母表示（∠C＝90°→）互为逆命题。 9．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A．最长边为，，，，能组成直角三角形，选项不符合要求； B．最长边为，，，，能组成直角三角形，选项不符合要求； C．最长边为，，，，能组成直角三角形，选项不符合要求； D．最长边为，，，，，不能组成直角三角形，选项符合要求． 10．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，只需验证三角形两短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则为直角三角形，反之则不是． 【详解】解：A．最长边为，∵，∴由组成的三角形是直角三角形，符合要求； B．最长边为，∵，，，∴由组成的三角形不是直角三角形； C．最长边为，∵，，，∴由组成的三角形不是直角三角形； D．最长边为，∵，，，∴由组成的三角形不是直角三角形． 11．（25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）下列长度的线段中，首尾顺次连接能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：A选项，∵，， ∴，满足勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故该选项符合题意； B选项，∵，， ∴，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； C选项，∵，， ∴，不能组成直角三角形，故该选项不符合题意； D选项，∵，不满足三角形三边关系中两边之和大于第三边，不能组成三角形，故该选项不符合题意． 12．（25-26八年级下·广西贺州·期末）如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（     ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．9，24，25 【答案】B 【分析】若三角形三边长满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：对于选项A，，，，∴不能组成直角三角形，不符合题意； 对于选项B，，，即，∴能组成直角三角形，符合题意； 对于选项C，，，，∴不能组成直角三角形，不符合题意； 对于选项D，，，，∴不能组成直角三角形，不符合题意． ▌知识点04：利用逆定理判定直角三角形 判定步骤： 1. 确定三角形的最长边c； 2. 计算较短两边的平方和； 3. 比较与的大小，若相等则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不相等则不是直角三角形。 例如：三边为5、12、13，最长边为13，5²＋12²＝169＝13²，故该三角形是直角三角形，∠C＝90°（C对边为13）。 13．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，． (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形， 理由：由（1）知， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 又， ； （2）略 14．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，，点为外一点，且，． (1)尺规作图：求作点，并连接，；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)36 【分析】（1）以为圆心，线段的长度为半径画弧，再以为圆心，线段的长度为半径画弧，两弧交点即为点； （2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证，则可解． 【详解】（1）解：略； （2）解：在中，，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴． 15．（25-26八年级下·广西崇左·期末）如图，在中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，，． (1)判断的形状，并证明； (2)记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)是直角三角形． 证明：∵， ∴， 在中，，， 根据勾股定理得， 在中，， ∵， 根据勾股定理的逆定理得，， ∴是直角三角形； (2)66 【分析】（1）根据勾股定理可知，进而根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）根据面积公式即可求解，，进而表示出即可求解． 【详解】（1）略 （2）在中， ， 在中， ． 16．（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点（点，处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求证：为直角三角形； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，连接，当时，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1)，， ， 是直角三角形； (2)米． 【分析】（1）先计算三角形三边的平方，因为已知的三边长，所以用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． （2）设的长度为，那么，，因为（1）已证是直角，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略； （2）解：设米，则米，米， 在中，， ， 解得． 答：这架无人机向下飞行的距离（的长）为米． ▌知识点05：勾股数的判定与应用 能够成为直角三角形三边长的一组正整数叫做勾股数。判定一组正整数是否为勾股数： 1. 将三个数按从小到大排序，取最大数为c； 2. 验证较小两数的平方和是否等于； 3. 若等式成立，则为勾股数。 常见勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)等，可直接用于快速判定直角三角形。 17．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）下列各组数为勾股数的是（     ） A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．0.3，0.4，0.5 D．7，11，13 【答案】A 【详解】解：勾股数定义为：三个正整数，，（为最大数），满足． 选项A，，，均为正整数，且，，∴，因此，，是勾股数； 选项B，，，不是正整数，不是勾股数； 选项C，，，不是正整数，不是勾股数； 选项D，，，均为正整数，但，，，因此，，不是勾股数． 18．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股数，据此逐一验证选项即可． 【详解】解： A选项：，，，不符合勾股数定义，A错误； B选项：，，，不符合勾股数定义，B错误； C选项：，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C错误； D选项：，，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义． 19．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 20．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________． 【答案】，， 【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组． 【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律： 第①组第一个数： 第②组第一个数： 第③组第一个数： 第④组第一个数： 可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为； 观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为， 验证规律： 第①组：，，符合； 第②组：，，符合； 第③组：，，符合； 第④组：，，符合； 将第⑤组第一个数代入得： 第二个数： 第三个数： 故答案为 ． ▌知识点06：勾股数倍数性质的运用 若()是一组勾股数，那么对任意正整数k，()也是勾股数。例如(3,4,5)的2倍(6,8,10)、3倍(9,12,15)均为勾股数。 遇到三边是常见勾股数的倍数时，无需重新计算平方和，可直接判定为直角三角形，简化运算过程。 21．（25-26七年级下·山东济南·期末）若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 22．（25-26八年级上·福建三明·期中）若，，为一组勾股数，且，则下列结论：①；②，，中必有一个是奇数；③，，中总有一个数是3的倍数，，，中总有一个数是5的倍数；④若是不小于7的质数，则的最小值为25．其中正确的有________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查“勾股数”的知识点，熟练利用勾股定理进行代数运算，通过数的特征进行演绎推理是解题关键． ①是勾股数的定义；②可以找反例证明是错误的；③④可以通过数的特征进行推理，利用余数判断即可． 【详解】对于结论①：由勾股数的定义，成立，故正确． 对于结论②：6，8，10是勾股数，但其中没有奇数，故错误． 对于结论③④： 对于a，b，c，我们可以假设这三个数互质，则 ，． 由上式可知，若b，c均为奇数，则a一定为偶数，故a，b，c三个数中一定有一个数为偶数， 不妨设，其中m，n为a的因式，且m，n均为整数，． ∴． ∵a，b，c均为正整数，且，， ∴，（其余情况不能同时满足a，b，c均为正整数，且，，，故舍去）． ∴，． 若a不为3的倍数，则m，n均不为3的倍数，所以m，n可以分别表示为或，或（其中k，j为非负整数）． 则，其中必有，或． 故若a不为3的倍数，则b一定为3的倍数． 若a不为5的倍数，则m，n均不为5的倍数，所以m，n可以分别表示为，（其中k，j为非负整数，p，q为1，2，3，4其中一个数） 若，则，此时b为5的倍数； 若，则，此时b为5的倍数； 若，或，，则， 此时c为5的倍数； 若，或，，则， 此时c为5的倍数， 故a，b，c中一定有5的倍数，③正确． 由题意，当时，因为为偶数，故不可能为不小于7的质数，舍去； ∴，可令，则． ∵m，n为正整数， ∴当时，，不合题意；当时，，不合题意； 当时，． ∴当时，c取得最小值，最小值为25，此时，符合题意． 故④正确． 故答案为：①③④． 23．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； (2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明； (3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 【答案】(1) (2)第个勾股数组为 ． 证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是， 令， ， ， 则 ， 即， 所以 是满足上述规律的第个勾股数组． (3)的值为 【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组； （2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明． （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x． 【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是， 则对应的勾股数组是； （2）略 （3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组， 故令，则， ∴，， ∴，， 解得：(负值舍去)，， ∴，， 此时，符合题意， 所以，的值为 24．（25-26八年级下·广东珠海·期末）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数： 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 … 4，3，5 n，15，17 12，p，37 16，63，65 … 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 … m，8，10 10，24，26 14，48，50 18，80，82 … (1)请补全上表中的勾股数：________，________，________． (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形． ①已知格点三边长度为、、，计算的面积． ②请在下面的网格中画出三边长度为、、的格点三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)6，8，35 (2)①24；② 【分析】（1）根据勾股定理列方程可分别求出的值； （2）①根据三角形面积公式进行计算即可； ②在线段所在网格线上，且在点的右侧取格点，使，连接，则即为所求． 【详解】（1）解：∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； ∵勾股数满足， ∴， 解得， ∵勾股数是正整数， ∴； （2）解：①的面积； ②略 ▌知识点07：非直角三角形的判别 若三角形三边不满足，则该三角形不是直角三角形。 拓展内容： 1. 当时，最长边所对的角为锐角； 2. 当时，最长边所对的角为钝角，此部分仅作了解，不要求作为必考内容。 25．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，已知、、、且．求四边形的面积． 【答案】26 【分析】先根据勾股定理求出的长，再证明是直角三角形，再将与的面积求和即可得四边形的面积． 本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，证明是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：， 中，， ∵、， ， 又∵在中， ，，， ， 是直角三角形，， ． 26．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出．再根据即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，，． ． （2）解：在中，，，， ，． ． ． ． 27．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，某公园把一块土地划出一个种草，其余部分种花，测得，，，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中种花（阴影）部分的面积． 【答案】(1)解：为直角三角形，理由如下： 在中，，由勾股定理得： ， ， 在中，，         是直角三角形，且； (2) 【分析】（1）先由勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判定为直角三角形； （2）分别求出和的面积，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，     ，         图中种花（阴影）部分的面积． 28．（25-26八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意图如图所示，经测量得，，，，． (1)求的长度； (2)施工图纸上标明安装时要为，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求． 【答案】(1) (2)符合图纸上的安装要求 【分析】（1）由勾股定理直接求解即可； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理可得， 因此，即的长度为； （2）解：在中，， ∴， ∴是直角三角形，，即该车棚符合图纸上的安装要求． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不符合； B选项，最长边为，，，，不符合； C选项，，不能构成三角形，不符合； D选项，最长边为，，，，符合． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可判断求解． 【详解】解：由网格得，，，， ∵， ∴是直角三角形． 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 【详解】解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 4．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（     ） A．，， B． C．，， D． 【答案】A 【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，，， ，， ，即， 不是直角三角形，符合题意； 选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； 选项C：，，， ， 是直角三角形，不符合题意； 选项D：设，，（）， ， 是直角三角形，不符合题意． 二、填空题 5．（23-24八年级下·青海海东·阶段检测）已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 6．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，，则的面积为______． 【答案】24 【详解】已知在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， 的面积为． 7．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 8．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段检测）把一根长为24厘米的木棒，从一端起顺次截下6厘米和10厘米的两段，用得到的三根木棒依次首尾顺次相接，摆成的三角形形状是______． 【答案】直角三角形 【分析】根据题意可得这三根木棒的长分别为6厘米，10厘米，厘米，根据，结合勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：由题意得，这三根木棒的长分别为6厘米，10厘米，厘米， ∵， ∴这三根木棒组成的三角形是直角三角形． 三、解答题 9．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中的度数应为．连接，现测得，，，，．在不考虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即的度数是否为）． 【答案】符合标准，理由如下： ，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，， ， 该零件符合标准． 【分析】由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明，即可得出结论． 【详解】略 10．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学)八年级上册课时同步训川练 第一章勾股定理 2一定是直角三角形吗 课时目标 理解勾股定理逆定理的提出背景，能准确表述逆定理的文字内容与字母表达式，明确 其与勾股定理的互逆关系。 2. 掌握利用逆定理判定直角三角形的步骤，能正确识别最长边并验证三边数量关系，准 确判断三角形是否为直角三角形。 3.认识常见勾股数，能运用勾股数的倍数性质简化判定过程，初步体会从特殊到一般的 数学思想。 课时目录 知识点01：勾股定理逆定理的提出 知识点02：勾股定理逆定理的文字表述 知识点03：勾股定理逆定理的字母表示 知识点04：利用逆定理判定直角三角形 知识点05：勾股数的判定与应用 1/11 知识点06：勾股数倍数性质的运用 知识点07：非直角三角形的判别 【知识点01：勾股定理逆定理的提出 勾股定理揭示了“直角三角形→两直角边平方和等于斜边平方”的关系，反过来思考：若 一个三角形的三边满足“较短两边平方和等于最长边平方”，这个三角形是否一定是直角 三角形？这一猜想经证明成立，即为勾股定理的逆定理，是从边的数量关系判定角的特征 的逆向命题。 1.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是15Cm、 20cm、25cm,据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是() A.直角三角形两个锐角互余 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和等于180° D.勾股定理 2.(2025八年级上·全国·专题练习)车间李师傅收到一个零件质检任务，零件如图所示，按照规定 ∠B=90°，李师傅依次测量△ABC三条边的长度，由此判断该零件是否合格.李师傅这样做的依据是 () 0 A.直角三角形两锐角互余 B.三角形两边之和大于第三边 C.勾股定理 D.勾股定理的逆定理 3.(25-26八年级下·河南郑州开学考试)三边长分别为2、3、4的三角形不是直角三角形，这个论断的 依据是() A,勾股定理的逆定理 B.勾股定理 C.直角三角形两锐角互余 D.以上都不对 4.(25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测)下列说法错误的是() A.勾股定理适用于所有三角形 2/11 B.勾股定理描述了直角三角形三边的数量关系 C.勾股定理的逆定理可用于判定直角三角形 D.常见的勾股数有3,4,5；5,12,13等 知识点02：勾股定理逆定理的文字表述 如果三角形的三边长a,b,c满足a+b2=c2(其中c为最长边)，那么这个三角形是直角三 角形，且最长边c所对的角为直角。 应用时需注意c必须是三边中的最长边，否则判定不成立。 5.(25-26八年级下·北京门头沟期末)以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是() A.2,3,4B.3,4.5 C.4,5,6 D.6,6,6 6.(25-26八年级下·广西南宁·期末)以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是() A.1.2.3 B.3,4.5 C.6,12,13 D.6,9,10 7.(25-26八年级下·辽宁大连期末)以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是() A.3,4,5 B.4,6,10 C.6,8,15 D.5,12,14 8.(2425七年级上：云南昆明期中)下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是() A.1,2,3B.3,4,5 C.2,3,4 D.4,5,6 知识点03：勾股定理逆定理的字母表示 在△ABC中，若三边长满足a2+b2=c2(c为最长边)，则∠C=90°。该表达式中字母对 应关系为：最长边c所对的角是直角，与勾股定理的字母表示（∠C=90°→a2+b2=c2) 互为逆命题。 9.(25-26八年级下·辽宁盘锦·期末)将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（ ) A.5,12,13B.7,24,25 C.6,8,10 D.10,15,20 10.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)下列由线段4，b,c组成的三角形是直角三角形的是() A.a=3b=4’c=5 C.a=9,b=9,c=15 D.a=13,b=14,c=15 3/11 11.(25-26八年级下·湖北省直辖县级单位·期末)下列长度的线段中，首尾顺次连接能组成直角三角形的 是() A.3,4,5B.2,4,5 C.2,3,4 D.1,2,3 12.(25-26八年级下广西贺州期末)如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组 数是() A.2,3,4B.3,4,5 C.4,5,6 D.9,24,25 知识点04：利用逆定理判定直鱼三角形 判定步骤： 确定三角形的最长边c: 计算较短两边的平方和a+b2: 比较a2+b与c2的大小，若相等则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角：若不 相等则不是直角三角形。 例如：三边为5、12、13，最长边为13,52+122=169=13？，故该三角形是直角三角形， ∠C=90°(C对边为13)。 13.(25-26八年级下·江西赣州期末)如图，在三角形支架中，AD1BC,垂足为D,AB=20m, AC=15m.DC=9m B (I)求BD的长： (②)判断支架外框△ABC的形状，并说明理由. 14.(25-26八年级下广东广州期末)如图，在△ABC中，AB=13,BC=12,∠ACB=90°，点D为 △ABC外一点，且CD=a,AD=b. A b 4/11 (I)尺规作图：求作点D,并连接AD,CD;(保留作图痕迹，不写作法) (2)若a=4,b=3,求四边形ABCD的面积 15.(25-26八年级下广西崇左期末)如图，在△ABC中，E为AB边上的一点，连接CE并延长，过点A 作AD⊥CE,垂足为D,若AD=7,AB=20,BC=15,DC=24」 B (I)判断△ABC的形状，并证明： 2)记△ADE的面积为 ,△BCE的面积为3，求S-S的值 S2 16.(25-26八年级下·江西南昌·期末)如图，一架无人机悬停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距 离AB=20米，点A与地面上点C(点B,C处于同一水平面上)的距离AC=25米，且BC=15米. D (I)求证：△ABC为直角三角形： (②)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，连接CD,当CD=AD时，求这架无人机向下飞 行的距离AD的长。 知识点05：勾股数的判定与应用 能够成为直角三角形三边长的一组正整数叫做勾股数。判定一组正整数是否为勾股数： 将三个数按从小到大排序，取最大数为c: 验证较小两数的平方和是否等于c2； 若等式成立，则为勾股数。 常见勾股数有(3,4,5)、(5,12,13)、8,15,17)、(7,24,25)等，可直接用于快速判定直角三角 形。 17.(25-26八年级下河北廊坊期末)下列各组数为勾股数的是() 5/11 A.8.15,17B.1.5,2,2.5 C.0.3,0.4,0.5 D.7,11,13 18.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著 名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是() A.2,3,4B.4,5,6 C.2,2,4 D.9,12,15 19.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数. 观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦 与股相差为1，若某个此类勾股数的勾为9，则其弦是 20.(25-26八年级下黑龙江哈尔滨期末)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个 方程的正整数解，b,c通常叫作勾股数组.古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股 数组：①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17：④10,24,26：…，分析其中的规律，第⑤个 勾股数组为 知识点06：勾股数倍数性质的运里 若(a,b,C)是一组勾股数，那么对任意正整数k,(ka,k,kc)也是勾股数。例如(3,4,5)的2倍 (6,8,10)、3倍(9,12,15)均为勾股数。 遇到三边是常见勾股数的倍数时，无需重新计算平方和，可直接判定为直角三角形，简化 运算过程。 21.(25-26七年级下山东济南期末)若6，a,10是勾股数，则a的值是 22.(25-26八年级上福建三明期中)若a,b,c为一组勾股数，且a<b<C,则下列结论：① a2+b2=c2 a b c a b c a b c ；②，，中必有一个是奇数：③”，，中总有一个数是3的倍数，“，，中总 有一个数是5的倍数；④若a是不小于7的质数，则c的最小值为25.其中正确的有一（填序 号). 23.(25-26八年级下·辽宁大连期末)如果把a2+b2=c2看作关于a,b,c的方程，那么满足这个方程 的正整数解“，b,C通常叫作勾股数组，可以记作 a,b,c) 毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数 (3,4,5)(5,12,13)(7,24,25) 组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： 6/11 分析这些勾股数组可以发现， 4=1×3+1)12=2x5+）.24=3×7+1）, (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； ②小红将+=c移项并因式分解得口=c-=〔e+)(e-) 请写出满足上述规律的第”个勾 股数组（用含的式子表示），并尝试用小红的方法证明： ③)若在x+7,x+m 是满足上述规律的一组勾股数组，求的值. 24.(25-26八年级下·广东珠海期末)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股 数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b, ℃为一组“勾股数”，下表中的每一组数都是勾股数： 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 4,3,5 n,15,17 12,p,37 16,63,65 … 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 ,8,10 10,24,26 14,48,50 18,80,82 (1)请补全上表中的勾股数：m= n= p= (2)我们把顶点均在正方形网格格点上的多边形叫做格点多边形 ①已知格点△ABC三边长度为4、13、15，计算△ABC的面积. ②请在下面的网格中画出三边长度为13、14、15的格点三角形.（保留作图痕迹，不写作法） 15 知识点07：非直鱼三鱼形的判别 若三角形三边不满足Q+b=c,则该三角形不是直角三角形。 7/11 拓展内容： 当a2+b>c2时，最长边所对的角为锐角： 当a2+b<c2时，最长边所对的角为钝角，此部分仅作了解，不要求作为必考内容。 25.(25-26八年级下云南红河期末)如图，在四边形1BCD中，已知B=3、BC=4、DA=89 DC=8且∠ABC=90°.求四边形ABCD的面积. 26.(25-26八年级下·广东广州期末)如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=10,CD=15,AD=17, ∠CAB=90° (I)求AC的长： (2)求四边形ABCD的面积. 27.(25-26七年级下山东济南期末)如图，某公园把一块△ABC土地划出一个△ACD种草，其余部分种 花，测得CD=6m,AD=8m,BC=24m,AB=26m,∠ACB=90° (I)判断△ACD的形状，并说明理由： (2)求图中种花（阴影）部分的面积. 28.(25-26八年级下·河北邢台·期末)某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示 意图如图所示，经测量得AB=0.6m,BC=0.8m,CD=2.6m,AD=2.4m,∠CAD=90°， 8/11 777777777777777 I)求AC的长度： (②)施工图纸上标明安装时∠ABC要为90°，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求。 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下辽宁大连期末)下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是() A.3cm,5cm,7cm B.1cm,lcm,lcm C 8cm,8cm,18cm D.3cm,4cm,5cm 2.(25-26八年级下·陕西榆林期末)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC的形状是 () A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 3.(25-26八年级下·广东阳江期末)如图，某海警舰艇A在海岛0的北偏西40°，6 nmile处，遇险渔船 B与海警舰艇A相距l0 nmile,渔船B与海岛O相距8 nmile,则渔船B在海岛O的() A.北偏东40°B.北偏东50° C.东偏北60° D.东偏北70 4.(25-26八年级下·重庆开州期末)△ABC三边分别为a、b、C,在下列条件下，△ABC不是直角三角 形的是() A.a=8,b=14,c=17 B.a2+b2=c2 9/11 C.a=3,b=4,c=5 D.a:b:c=5:12:13 二、填空题 5.(23-24八年级下·青海海东阶段检测)己知△ABC的三边a,b,c满足a2=b2-c2,则△ABC的形状 为 6.(25-26八年级下·吉林期末)如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,则△ABC的面积为 B 7.(25-26八年级下·贵州黔南期末)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所 有的四边形都是正方形，若，=2.S。=4S。-1S。=2 ,则正方形E的面积为一 D E 8.(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔阶段检测)把一根长为24厘米的木棒，从一端起顺次截下6厘米和 10厘米的两段，用得到的三根木棒依次首尾顺次相接，摆成的三角形形状是一。 三、解答题 9.(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图是一个机器零件的示意图，根据标准，该零件中∠ABC的度数 应为90°.连接AC,现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ACD=90°.在不考 虑其他因素的情况下，请通过计算说明该零件是否符合标准（即∠ABC的度数是否为90°）· B D 10/11 10.(25-26八年级下广东广州期末)如图是某公园的局部平面图，四边形ABCD为草坪，已知AB=16 米，AD=15米，CD=25米，BC=12米，∠B=90° B A正门 C桃花园 D (1)为了让市民去点C看桃花更方便，公园管理处决定从正门点A处修一条笔直小路通往点C处，求小 路AC的长度； (②)求四边形草坪ABCD的面积. 11/11