第1章 1.2 验证并应用勾股定理 课时同步训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练以勾股定理验证与应用为核心，按5个知识点梯度设计，从概念理解到综合应用，适配新授课分层教学，强化数形结合与方程思想，提升数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |概念理解|勾股定理面积法验证|以选择考赵爽弦图识别（第1题），强化数形结合思想| |方法拓展|多种经典证法|通过阅读题渗透“算两次”原理（第4题），培养推理意识| |应用深化|计算与方程思想|结合旗杆测量（第13题）、《九章算术》问题（第19题），发展模型观念| |综合训练|跨知识点综合|设置等直三角形定义应用（第9题），提升创新意识与问题解决能力|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 ▌课时目标 1. 能理解并复述勾股定理的面积法验证过程，体会"数形结合"的思想，知道勾股定理可以通过图形面积关系加以说明。 2. 能运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的计算问题，初步学会设未知数利用勾股定理列方程求解几何图形中的未知线段。 3. 认识常见的勾股数，能判断一组正整数是否满足勾股定理，并能利用勾股数快速解决简单的直角三角形边长计算问题。 ▌课时目录 知识点01：勾股定理的面积法验证 知识点02：勾股定理的其他经典证法 知识点03：勾股定理与正方形面积关系 知识点04：勾股定理的简单计算应用 知识点05：勾股定理方程思想的初步 ▌知识点01：勾股定理的面积法验证 教材采用“赵爽弦图”验证勾股定理： 以直角三角形的斜边c为边长作大正方形，在大正方形内部嵌入四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），中间形成一个边长为(b-a)的小正方形。大正方形面积可表示为c²，也可表示为四个直角三角形面积与小正方形面积之和，即。化简得：。由此验证了勾股定理。 验证的关键是抓住“同一图形的面积相等”这一等量关系。 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“赵爽弦图”是： 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】通过计算同一图形的面积，建立等量关系，推导勾股定理． 【详解】解：选项：图形为直角梯形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，无法证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可得，可以证明勾股定理； 选项：图形为正方形，面积可表示为，也可表示为，则，可以证明勾股定理． 3．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 【答案】A 【详解】解：赵爽弦图是通过几何图形的面积关系来推导代数的勾股定理公式， 把数和形结合起来，这种思想是数形结合思想． 4．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． 【答案】(1) 解：有三个直角三角形，其面积分别为，和， 直角梯形的面积为， 由图形可知：， ， ， ． 直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形中，； (2) (3)①6；3； ②； 验证：把n边形剪成y个三角形，内角和为， 在n边形内画m个点，内角和为n边形内角和与m个周角的和， 即， 可得， 故． 【分析】（1）此等腰梯形的面积由三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程求解即可； （2）由图可知行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，将n行n列的棋子分割为图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，，故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答； （3）①根据条件画图即可解答； ②根据多边形的内角和以及分割后的所有三角形的内角和分别计算，即可得出方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为， 将n行n列的棋子分割为如图中的n层，每层棋子分别为1，3，5，7，，， 则； （3）解： ①如图，当，时，； 如图，当，时，； ②略 ▌知识点02：勾股定理的其他经典证法 除赵爽弦图外，常见证法还有： 1. 总统证法（Garfield证法）：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形，利用梯形面积公式和三角形面积公式建立等式，推导出。 2. 欧几里得证法：在直角三角形各边上向外作正方形，通过证明两小正方形面积之和等于大正方形面积来验证。 七年级不要求学生掌握所有证法的详细推导，但需了解勾股定理有多种验证方法，感受数学命题需要严格证明的特点。 5．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】C 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法正确，不符合题意； B、∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法正确，不符合题意； C、拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，符合题意； D、∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，不符合题意； 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 7．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据风车状图案的周长求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，求出三角形面积，即可确定出所求． 【详解】（1）略 （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：根据题意得：，，即， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∴该风车状图案的面积． 8．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】(1)； (2)新路比原路少千米 (3)设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； （2）解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）解：略. ▌知识点03：勾股定理与正方形面积关系 勾股定理揭示了直角三角形三边与正方形面积之间的对应关系：以两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积。即Sa+Sb=Sc。 这一关系可用于解决“已知两正方形面积求第三正方形面积”的问题。 例如：以直角三角形三边为边长向外作正方形，若两直角边上正方形面积分别为25cm²和144cm²，则斜边上正方形面积为169cm²，斜边长为13cm。此关系也是网格中求直角三角形边长的常用方法。 9．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角相等得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【详解】解：如图，    ∵在水平桌面上依次摆着三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即． 10．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为__________． 【答案】18 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ∵ ∴， ∴. 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】10 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，由此求出，结合图形即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：， ， ， ， 由图形可得：图中阴影部分的面积为． ▌知识点04：勾股定理的简单计算应用 已知两直角边求斜边：。 已知斜边和一直角边求另一直角边：或。 已知直角三角形边长，验证是否满足。 计算时注意： 1. 先判断斜边（最长边）； 2. 计算时先平方再开方； 3. 结果能开尽则写准确值，不能开尽则保留根号形式，不强制化为小数。 13．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 14．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 【答案】 【分析】设旗杆的高为，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即旗杆的高为． 15．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 【答案】/22米 【分析】根据题意及图形可知 是直角三角形，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边 的长度 【详解】解：由题意可知，楼垂直于地面， 则 ， 在 中， 由勾股定理得 , ， 即楼高 为． 16．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出，进而得出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得，， 在中，， ． 答：小明移动的距离为4m． ▌知识点05：勾股定理方程思想的初步 当几何图形中线段长度未知但满足直角三角形条件时，可设未知数利用勾股定理列方程求解。基本步骤： 1. 在图中找出直角三角形； 2. 设所求线段长为x； 3. 根据勾股定理列出关于x的方程； 4. 解方程并检验解的合理性（线段长度为正）。 17．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 18．（25-26八年级下·北京·期末）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 19．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱与地面互相垂直，绳索比木柱长3尺，将绳索拉直沿地面行走，当绳索刚好用完时，长为8尺，则绳索长_______尺． 【答案】 【分析】设绳索长为x尺，则木柱长为尺，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， ∵， ∴在中，， ∴， 解得， 答：绳索长为尺． 20．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由，再用求即可； （2）设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ∵ ∴； （2）解：设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 答：绳索的长为． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，在中，米，米，， ∴（米）， ∴这根钢缆长为13米． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 3．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 4．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（     ） A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 【答案】D 【分析】长方形内最长线段为对角线，先将手机对角线换算为厘米单位，再用勾股定理计算各选项口袋的对角线长度，比较后判断即可． 【详解】解：手机对角线长度为， A选项，口袋对角线长，小于，不符合； B选项，口袋对角线长，小于，不符合； C选项，口袋对角线长，小于，不符合； D选项，口袋对角线长，大于，符合． 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可列方程为_________． 【答案】 【分析】设竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺， 由题意得，． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 【答案】/ 【分析】设长方形田的宽为x步，对角线长为步，利用勾股定理建立方程求解宽，再计算面积并转换为亩数即可． 【详解】解：设宽为x步，则对角线长为步， 由勾股定理得：， 解得， 面积平方步， 亩数． 7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的面积为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解∶∵在中，，，， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 【答案】15 【分析】作于点，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， 则，， 在中，由勾股定理可得． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据直角三角形定义，以及等直三角形定义分析求解即可； （2）根据等直三角形定义可得，设，则，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：等腰直角三角形，可类比图1作出其等直分割线段， 若不是等腰的直角三角形，可作斜边的垂直平分线交直角边于一点，进而得到等腰三角形， 直角三角形一定是等直三角形； （2）解：∵是的等直分割线段， ∴是等腰三角形， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴． 10．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； (4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）图2中大正方形边长为，其面积既可整体表示为，也可分割为3个正方形与6个矩形面积之和，据此建立恒等式． （2）拼成的正方形总面积为，设边长为展开后比较系数，由项得，取最小正整数确定、及边长． （3）大正方形面积用两种方法表示：整体得，分割得4个直角三角形与中间小正方形面积之和，联立即得、、的数量关系． （4）先由勾股定理求斜边，再根据垂线段最短知当时取最小值，利用面积法列方程求解． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于各小图形面积之和， ． （2）解：设拼成的正方形边长为（，为正整数）， 正方形的面积， 又正方形面积， ， 解得， ，， 正方形面积最小， ， ，， ，正方形边长为． （3）解：由图4可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积， 又大正方形的面积等于4个直角三角形与中间小正方形的面积之和， 面积， ， ． （4）解：在中，， ，， ， 点是边上的一动点， 当时，最小， ， 又， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 ▌课时目标 1. 能理解并复述勾股定理的面积法验证过程，体会"数形结合"的思想，知道勾股定理可以通过图形面积关系加以说明。 2. 能运用勾股定理解决直角三角形中已知两边求第三边的计算问题，初步学会设未知数利用勾股定理列方程求解几何图形中的未知线段。 3. 认识常见的勾股数，能判断一组正整数是否满足勾股定理，并能利用勾股数快速解决简单的直角三角形边长计算问题。 ▌课时目录 知识点01：勾股定理的面积法验证 知识点02：勾股定理的其他经典证法 知识点03：勾股定理与正方形面积关系 知识点04：勾股定理的简单计算应用 知识点05：勾股定理方程思想的初步 ▌知识点01：勾股定理的面积法验证 教材采用“赵爽弦图”验证勾股定理： 以直角三角形的斜边c为边长作大正方形，在大正方形内部嵌入四个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），中间形成一个边长为(b-a)的小正方形。大正方形面积可表示为c²，也可表示为四个直角三角形面积与小正方形面积之和，即。化简得：。由此验证了勾股定理。 验证的关键是抓住“同一图形的面积相等”这一等量关系。 1．（25-26八年级下·河南许昌·期末）勾股定理是数学领域中绽放出的一朵思维之花，其证明方法多种多样．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出一个图形以证明勾股定理，人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期末）中国是最早发现并证明勾股定理的国家之一．下列图形的面积关系中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）勾股定理在我国有着悠久的历史．三国时期的数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时，利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理．后人通常把如图所示的“勾股圆方图”称为“赵爽弦图”．赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理所运用的数学思想是（   ） A．数形结合 B．方程思想 C．转化思想 D．统计思想 4．（2026·安徽芜湖·二模）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． (1)【理解】 如图1，两个直角边分别为a，b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并证明勾股定理； (2)如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：___________； (3)【运用】 n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以． ①当，时，如图4，___________；当，___________时，； ②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得___________（用含m，n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立． ▌知识点02：勾股定理的其他经典证法 除赵爽弦图外，常见证法还有： 1. 总统证法（Garfield证法）：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个梯形，利用梯形面积公式和三角形面积公式建立等式，推导出。 2. 欧几里得证法：在直角三角形各边上向外作正方形，通过证明两小正方形面积之和等于大正方形面积来验证。 七年级不要求学生掌握所有证法的详细推导，但需了解勾股定理有多种验证方法，感受数学命题需要严格证明的特点。 5．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为a，b（）的大小不相等的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为c的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法错误的是（     ） A．拼接前后图形的总面积保持不变 B．拼接后大正方形的边长为 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 7．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，求空白部分的面积． (3)琪琪有一个和老师形状类似大小不同的图形，她把4个直角三角形剪下来紧密拼接成风车状，如图3．已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 8．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． ▌知识点03：勾股定理与正方形面积关系 勾股定理揭示了直角三角形三边与正方形面积之间的对应关系：以两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积。即Sa+Sb=Sc。 这一关系可用于解决“已知两正方形面积求第三正方形面积”的问题。 例如：以直角三角形三边为边长向外作正方形，若两直角边上正方形面积分别为25cm²和144cm²，则斜边上正方形面积为169cm²，斜边长为13cm。此关系也是网格中求直角三角形边长的常用方法。 9．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为，两边的正方形面积分别是，，则_______． 10．（25-26八年级下·广西玉林·期末）如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值为__________． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 12．（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为_____________． ▌知识点04：勾股定理的简单计算应用 已知两直角边求斜边：。 已知斜边和一直角边求另一直角边：或。 已知直角三角形边长，验证是否满足。 计算时注意： 1. 先判断斜边（最长边）； 2. 计算时先平方再开方； 3. 结果能开尽则写准确值，不能开尽则保留根号形式，不强制化为小数。 13．（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 14．（25-26八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 15．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度．位于地面上点处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点，仪器显示；再将激光射向楼顶端的点，仪器显示，则楼高__________． 16．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图1是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离（点C在上，且）．经测量，．如图2，风筝沿方向再竖直上升到达点E处时（即），小明放风筝的手移至点F处（点F在上），若风筝线的长度不变（即），则小明移动的距离为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） ▌知识点05：勾股定理方程思想的初步 当几何图形中线段长度未知但满足直角三角形条件时，可设未知数利用勾股定理列方程求解。基本步骤： 1. 在图中找出直角三角形； 2. 设所求线段长为x； 3. 根据勾股定理列出关于x的方程； 4. 解方程并检验解的合理性（线段长度为正）。 17．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 18．（25-26八年级下·北京·期末）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 19．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱与地面互相垂直，绳索比木柱长3尺，将绳索拉直沿地面行走，当绳索刚好用完时，长为8尺，则绳索长_______尺． 20．（25-26八年级下·广东惠州·期末）某小区改造，在市民休闲广场新建一秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． (1)图中________； (2)求绳索的长度． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（     ） A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 二、填空题 5．（25-26八年级下·山东泰安·期末）《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可列方程为_________． 6．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）《九章算术》记载：“今有矩形田，长四十步，宽与对角线之和为六十步，问田积几何？” 译文：有一块矩形田地，长为40步，宽与对角线的长度之和为60步．已知1亩＝240平方步，这块田地的面积为______亩． 7．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，则的面积为________． 8．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走，遇到障碍后又往东走，再转向北走后往西拐．走了就到达点，则、两点之间的距离为_____． 三、解答题 9．（25-26八年级下·江西抚州·期中）定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，∵于，且，∴是等直三角形，是的一条等直分割线段． (1)定义理解：直角三角形一定_________等直三角形（填“是”或“不是”）； (2)定义应用：如图2，在中，，是的等直分割线段，，求的长． 10．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到，请解答下列问题： (1)根据图2，直接写出一个代数恒等式：____ ； (2)小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则的值为____；这个正方形的边长为____；(用含a，b的式子表示) (3)如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为____； (4)如图5，直角中，，，，点D是边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $