1.1 认识勾股定理 课时同步训练 2026-2027学年北师大数学八年级上册

**基本信息** 以“概念理解-技能应用-综合拓展”分层设计，通过梯度化题型构建勾股定理从认知到应用的完整巩固路径，强化几何直观与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|直角三角形边角关系、勾股定理文字与字母表示|选择填空为主，如直角边斜边辨识题巩固概念| |理解应用|定理探索（网格面积法）、知二求一计算|结合正方形面积问题（如勾股树）深化定理本质| |综合拓展|实际情境应用（无人机飞行、引葭赴岸）、动态问题|解答题融入生活场景，培养应用意识与推理能力|

2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 ▌课时目标 1. 经历勾股定理的探索过程，能说出勾股定理的文字表述和字母表达式，明确定理的适用条件为直角三角形。 2. 能准确辨识直角三角形中的直角边和斜边，分清定理中各字母对应的边长，为运用定理打好基础。 3. 能运用勾股定理进行“知二求一”的简单计算，解决已知两边求第三边的直接应用问题。 ▌课时目录 知识点01：直角三角形的边角关系回顾 知识点02：勾股定理的探索与发现 知识点03：勾股定理的文字表述 知识点04：勾股定理的字母表示 知识点05：直角边与斜边的辨识 知识点06：勾股定理的知二求一 ▌知识点01：直角三角形的边角关系回顾 直角三角形有一个直角（90°）和两个锐角，直角所对的边最长，叫做斜边； 夹直角的两条边叫做直角边。直角三角形两个锐角互余，即它们的和为90°。 本节课重点研究三条边之间的数量关系，不涉及角度计算。 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 4．（25-26八年级下·广东中山·期末）一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌知识点02：勾股定理的探索与发现 教材通过“网格面积法”探索勾股定理： 在正方形网格中画出直角三角形，以三边为边长分别向外作正方形，通过计算三个正方形的面积，发现两直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。 例如：直角边分别为3和4的直角三角形，两直角边上正方形面积分别为9和16，斜边上正方形面积为25，满足9＋16＝25。由此归纳出直角三角形三边之间的数量关系。 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 6．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 8．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． ▌知识点03：勾股定理的文字表述 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：在直角三角形中，较短两边的长的平方和等于最长边的平方。文字表述强调了定理的适用前提（直角三角形）和各边的位置关系（直角边、斜边）。 9．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 10．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，，，，则的长为_______． 12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． ▌知识点04：勾股定理的字母表示 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a²＋b²＝c²。其中a、b表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。字母表示突出了“两直角边的平方和等于斜边的平方”这一核心关系。 注意：字母标注不同时，表达式随之改变，但“直角边平方和＝斜边平方”的关系不变。 13．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．3 D．16 14．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 15．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． ▌知识点05：直角边与斜边的辨识 运用勾股定理时，必须先确定哪条边是斜边。 辨识方法： 1. 直角所对的边是斜边，是最长边； 2. 斜边不夹在直角之间，两条直角边夹住直角。 例如：在Rt△ABC中，∠A＝90°，则∠A对的边BC是斜边，AB和AC是直角边，表达式为AB²＋AC²＝BC²。常见错误：将直角边当作斜边代入公式，或将斜边当作直角边计算。 17．（25-26八年级下·广西南宁·期中）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（    ） A．10 B．9 C．11 D．12 18．（24-25八年级下·广西南宁·期中）一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 19．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（   ）． A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）如图，的两直角边长，分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第2个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第3个；…以此类推，第4个直角三角形的斜边的平方是_________． ▌知识点06：勾股定理的知二求一 已知直角三角形的任意两边长，可利用勾股定理求第三边长，即“知二求一”。分三种情况： 1. 已知两直角边a、b，求斜边c：。 2. 已知斜边c和一条直角边a，求另一直角边b：。 3. 已知斜边c和一条直角边b，求另一直角边a：。 计算时注意：先平方、再求和或求差、最后开方；结果若开不尽，保留根号形式，不要求化为小数。 21．（25-26八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 22．（25-26七年级下·河北张家口·期末）马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（25-26八年级下·广西百色·期末）某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 24．（26-27八年级·全国·暑假作业）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（     ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 二、填空题 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 6．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 7．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 8．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，通过勘测得到水平距离的长为12米，于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米（即米），他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请求出线段的长． 10.（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 ▌课时目标 1. 经历勾股定理的探索过程，能说出勾股定理的文字表述和字母表达式，明确定理的适用条件为直角三角形。 2. 能准确辨识直角三角形中的直角边和斜边，分清定理中各字母对应的边长，为运用定理打好基础。 3. 能运用勾股定理进行“知二求一”的简单计算，解决已知两边求第三边的直接应用问题。 ▌课时目录 知识点01：直角三角形的边角关系回顾 知识点02：勾股定理的探索与发现 知识点03：勾股定理的文字表述 知识点04：勾股定理的字母表示 知识点05：直角边与斜边的辨识 知识点06：勾股定理的知二求一 ▌知识点01：直角三角形的边角关系回顾 直角三角形有一个直角（90°）和两个锐角，直角所对的边最长，叫做斜边； 夹直角的两条边叫做直角边。直角三角形两个锐角互余，即它们的和为90°。 本节课重点研究三条边之间的数量关系，不涉及角度计算。 1．（25-26八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，若，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：． 2．（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果． 【详解】解：设另一条直角边长为 ∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为 ∴根据勾股定理可得 整理得 ∵三角形边长为正数 ∴ 3．（25-26八年级下·广西河池·期末）如图，是长方形广场示意图，则A处到C处的距离是（     ） A．90米 B．100米 C．120米 D．140米 【答案】B 【详解】在中，米 4．（25-26八年级下·广东中山·期末）一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：一个直角三角形的一条直角边长12，斜边长13，则另外一条直角边长为． ▌知识点02：勾股定理的探索与发现 教材通过“网格面积法”探索勾股定理： 在正方形网格中画出直角三角形，以三边为边长分别向外作正方形，通过计算三个正方形的面积，发现两直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。 例如：直角边分别为3和4的直角三角形，两直角边上正方形面积分别为9和16，斜边上正方形面积为25，满足9＋16＝25。由此归纳出直角三角形三边之间的数量关系。 5．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为（     ） A．9 B．8 C．2 D．45 【答案】A 【分析】直接根据勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由图和勾股定理可知，中间正方形的面积等于正方形A，B的面积之和，正方形D的面积等于中间正方形的面积加上正方形C的面积， 故正方形D的面积. 6．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，若正方形的面积分别是，则最大正方形的面积是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设正方形的边长分别为，利用勾股定理建立三边平方关系，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：设正方形的边长分别为， ∵正方形的面积分别是， ∴，， ∵中间三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边， ∴由勾股定理得 ， ∴， ∴正方形的面积是． 7．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 8．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】 25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 【详解】解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． ▌知识点03：勾股定理的文字表述 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。即：在直角三角形中，较短两边的长的平方和等于最长边的平方。文字表述强调了定理的适用前提（直角三角形）和各边的位置关系（直角边、斜边）。 9．（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，以的两边往外作的正方形，其面积分别为，，若，，则边长为（     ） A．64 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【分析】利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∴． 10．（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，， ∴，， ∴． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】先推导出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积．若，则的值为_____． 【答案】16 【分析】根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ∵以的三边为边向外作正方形，分别表示这三个正方形的面积， ∴， ∵， ∴． ▌知识点04：勾股定理的字母表示 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a²＋b²＝c²。其中a、b表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。字母表示突出了“两直角边的平方和等于斜边的平方”这一核心关系。 注意：字母标注不同时，表达式随之改变，但“直角边平方和＝斜边平方”的关系不变。 13．（25-26八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，以的两直角边为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．3 D．16 【答案】B 【分析】由题意得，，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． 14．（25-26八年级下·河北张家口·期末）在中，，a，b，c分别是，，的对边，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：∵如图，在中，，，，分别是，，的对边，且， ∴． 15．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，，，，过点作，交的延长线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，然后利用勾股定理构建方程求出，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：设，则， ∵于点， ∴， ∴，， ∴，即， 解得：， ∴． 16．（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． ▌知识点05：直角边与斜边的辨识 运用勾股定理时，必须先确定哪条边是斜边。 辨识方法： 1. 直角所对的边是斜边，是最长边； 2. 斜边不夹在直角之间，两条直角边夹住直角。 例如：在Rt△ABC中，∠A＝90°，则∠A对的边BC是斜边，AB和AC是直角边，表达式为AB²＋AC²＝BC²。常见错误：将直角边当作斜边代入公式，或将斜边当作直角边计算。 17．（25-26八年级下·广西南宁·期中）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．在直角三角形中，若勾为6，股为8，则弦为（    ） A．10 B．9 C．11 D．12 【答案】A 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接利用勾股定理计算斜边长度即可． 【详解】解：∵直角三角形中，勾和股分别为两条直角边，长度为和，弦为斜边， 根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和， ∴弦长 ． 18．（24-25八年级下·广西南宁·期中）一个直角三角形的一条直角边是6，斜边长10，另一条直角边是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，本题直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：另一直角边长． 故选：B． 19．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）如图，，，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理可得，相邻的两个小正方形的面积等于大正方形的面积，从而求出所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， 在中，， ∴， 同理可得，，， ∴图中所有正方形的面积之和为． 20．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）如图，的两直角边长，分别为1，2，以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第2个；再以的斜边为一直角边，另一直角边长为1画第3个；…以此类推，第4个直角三角形的斜边的平方是_________． 【答案】8 【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得：． ▌知识点06：勾股定理的知二求一 已知直角三角形的任意两边长，可利用勾股定理求第三边长，即“知二求一”。分三种情况： 1. 已知两直角边a、b，求斜边c：。 2. 已知斜边c和一条直角边a，求另一直角边b：。 3. 已知斜边c和一条直角边b，求另一直角边a：。 计算时注意：先平方、再求和或求差、最后开方；结果若开不尽，保留根号形式，不要求化为小数。 21．（25-26八年级下·广东阳江·期末）一架无人机从地面点起飞，先垂直上升40米到达点，再水平飞行30米到达点，则点到点的距离为（     ） A．50米 B．60米 C．65米 D．70米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，根据题意得到直角三角形，利用勾股定理计算O到B的距离即可 【详解】由题意得 ， 米， 米， 为直角三角形，， 米， 即点到点的距离为50米． 22．（25-26七年级下·河北张家口·期末）马年春节期间，“凤鸣曲周”无人机表演在河北省曲周县凤凰文体中心震撼上演．在彩排期间，小冀在平地上操控无人机，从点A处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点B处，如图所示，则点A与点B之间的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】依题意，根据勾股定理可得点A与点B之间的距离是． 23．（25-26八年级下·广西百色·期末）某长方形零件尺寸（单位：）如图，则两圆孔中心和之间的距离为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形标注的尺寸，利用减法求出直角三角形的两条直角边和的长度，再利用勾股定理计算斜边的长即可． 【详解】解：由图可知，在中， ，， 根据勾股定理得：． 24．（26-27八年级·全国·暑假作业）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．其水面是边长为1丈的正方形（即丈尺），在水池正中央有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇的长是（     ） A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】因为水池是边长为1丈的正方形，芦苇在正中央，所以可得到直角三角形一条直角边的长度为边长的一半，换算为统一单位尺．设芦苇的长度为尺，那么根据芦苇高出水面1尺，可得到水深的表达式．利用勾股定理：因为把芦苇拉到岸边后，芦苇长度为斜边，水深和池中心到岸边的水平距离为两条直角边，所以可列出关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：∵水池边长为10尺，芦苇长在水池正中央， ∴中央到岸边的水平距离为 尺； 设水深为尺，芦苇出水1尺， ∴芦苇总长为 尺， 拉向岸边后芦苇长度就是直角三角形的斜边， 在中， ， 解得 ， 芦苇长为 （尺）． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26八年级下·甘肃定西·阶段检测）如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为（     ）． A．8米 B．10米 C．15米 D．24米 【答案】D 【分析】根据旗杆与地面垂直，可知是直角三角形，且直角边的长度分别为和，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即为旗杆折断之前的高． 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 旗杆折断之前的高为． 2．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且，， ， 根据勾股定理，得， 故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积， 故； 3．（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 4．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 二、填空题 5．（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 6．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，操场上直立一根旗杆，旗杆垂直于水平地面．将一根不可伸缩的细绳一端固定在旗杆顶端．若把细绳沿旗杆竖直向下拉直至地面底端，细绳还剩余1米；现将细绳末端向远离旗杆方向水平拉开，当末端落至地面点处时细绳刚好绷直，此时测得旗杆底部与点相距5米．求旗杆的高度__________米． 【答案】12 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度米，根据题意可得： ， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 7．（25-26八年级下·云南曲靖·期末）在中，，，， __________． 【答案】13 【分析】已知直角三角形两条直角边的长度，直接用勾股定理计算斜边的长度即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ，， ． 8．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，则正方形的面积是________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理求出的值，再根据正方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∴正方形的面积． 三、解答题 9．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，如图，通过勘测得到水平距离的长为12米，于点C，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，小明牵线放风筝的手B到地面的距离为1.8米（即米），他们发现根据全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度．请求出线段的长． 【答案】线段的长为6.8米 【详解】解：由勾股定理得，（米）， ∴（米）， ∴线段的长为6.8米． 10.（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】(1)， (2)t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． / 学科网（北京）股份有限公司 $