1.1 《探索勾股定理》（1）同步作业 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练习通过“基础夯实-能力提升-综合拓展”三层设计，实现勾股定理从概念理解到综合应用的递进，强化运算能力与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|勾股定理直接计算（边长、面积）|选择/填空/解答题结合，聚焦公式应用，巩固概念理解| |能力提升|勾股定理与翻折/分类讨论/赵爽弦图/勾股树|情境变式题为主，培养推理能力与空间观念| |综合拓展|勾股定理与图形面积综合/作图应用/跨知识综合|复杂情境解答题，发展应用意识与创新意识|

1.1 《探索勾股定理》（1） 一、基础夯实 1．如图： 以直角三角形的三边为边长作正方形 ，图形A的面积是(　　) A．225 B．144 C．81 D．无法确定 2．在锐角中，，，高，则BC的长度为（　　） A．16 B．15 C．14 D．13 3． 一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为 （　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则AC的长为　 　． 5．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为　 　． 6．如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为、、．若，，则　 　． 7．如图(单位：cm)，阴影部分是一个长方形，它的面积是多少? 8．如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 二、能力提升 9．一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 10．如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 11．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　） A．42 B．32 C．42或32 D．42或37 12．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是　　 A．18 B．114 C．194 D．324 14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为　 　cm. 15．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为　 　. 16．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　 17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD. （1）若∠A=24°，求∠ACD的度数： （2）若BC=5，AC=12，求AD的长. 18．如图所示，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求的长； （2）求的长． 三、综合拓展 19．如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（　　） A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积 C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积 20．如图，在△中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为　 　． 21．本学期我们学习了三角形与特殊三角形的相关知识，老师设计了“研数学——三角形篇项目作业”：如图，在中，，，，请回答下列问题： （1）求线段的长． （2）用尺规作图的方法作直线交边于，连接，求的面积． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得：S图形A 故答案为：C. 【分析】由图可知，图形A的面积=图形A的边长的平方，图形A的边长的平方恰好可以利用右边正方形面积减去左边正方形的面积来求出，由此即可选出答案。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， AD是锐角△ABC的高， ，， 在中， 在中， 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABD中，由勾股定理求出BD长，在Rt△ACD中，由勾股定理求出CD长，然后根据线段的和差关系求BC长即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：由勾股定理可得， 斜边长为：， 故答案为：C． 【分析】利用勾股定理列出算式分析求解即可. 4．【答案】 【解析】【解答】在中， 故答案为 【分析】利用勾股定理求出AC的长即可。 5．【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， ∵为的角平分线，，DE⊥AB， ∴ ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可. 6．【答案】7 【解析】【解答】解：如图所示， 由勾股定理可得， ∵， ∴． 故答案为：7． 【分析】利用勾股定理求出，再计算求解即可。 7．【答案】解：根据勾股定理，设斜边为c， cm， ∴阴影部分的面积为：17×3=51cm2. 【解析】【分析】设斜边为c，根据勾股定理求出直角三角形的斜边长度，再根据长×宽即可求出阴影部分面积. 8．【答案】解：∵，，∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 又， ∴根据勾股定理得：， 则． 【解析】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理得到长，然后根据勾股定理得到长，然后利用解答即可． 9．【答案】C 【解析】【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据勾股定理得：a2+b2=c2， ∵a2+b2+c2=200，∴2c2=200， ∴c2=100，∴c=10. 故答案为：C. 【分析】设出直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，利用勾股定理得a2+b2=c2，再由三边的平方和为200，得a2+b2+c2=200，根据两式即可求出斜边的长． 10．【答案】B 【解析】【解答】 解：，，，，∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 【分析】由勾股定理可知，由翻转的性质知、、，则在中求DE长，需知道BD长，又中，，再次利用勾股定理即可算出BD。当然也可以使用面积法来求DE，因为前面用勾股定理能算出BC与BD的长，则AD长就知道了，此时利用就可求出DE长。 11．【答案】C 【解析】【解答】此题应分两种情况说明： （ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中， =， 解得BD=9 在Rt△ACD中， 解得CD=5. ∴BC=5+9=14 ∴△ABC的周长为：15+13+14=42； （ 2 ）当△ABC为钝角三角形时， 在Rt△ABD中，BD=9， 在Rt△ACD中，CD=5， ∴BC=9-5=4. ∴△ABC的周长为：15+13+4=32 ∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32. 综上所述，△ABC的周长是42或32. 故答案为：C. 【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 . 12．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，中间小正方形的边长为， ∵小正方形面积为5， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴， ∴大正方形的面积为13， 故答案为：B． 【分析】由题意可知中间小正方形的边长，然后由正方形的面积、利用完全平方公式、勾股定理即可求出大正方形的面积为． 13．【答案】B 【解析】【解答】解：如图： 由题意得，， 则， ． 故答案为：B 【分析】先根据勾股定理结合题意得到，，则，再计算即可求解。 14．【答案】18 【解析】【解答】解：由勾股定理得， ， 解得BC=13cm ∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm）， 故答案为：18. 【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案. 15．【答案】1.75 【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， BC=10， BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，连接BD， ∴BC的垂直平分线为DE， ∴CD=BD， 在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， BC=10， 由勾股定理得： 设CD =x， 则BD =x， AD =8﹣x， 在直角三角形由ABD中，由勾股定理： 解得x=6.25， ∴AD=8-6.25=1.75. 故答案为：1.75. 【分析】连接BD， 由勾股定理求得AC =8，推导出CD=BD， 设CD=x， 则BD=CD=x，AD=8-x， 由勾股定理得 进一步解答即可得解. 16．【答案】55 【解析】【解答】解：进行如下图所示标注， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【分析】根据勾股定理及正方形的面积公式可得，，，，，，然后整体代入待求式子即可算出答案. 17．【答案】（1）解：∵∠ACD＝90°，∠A＝24° ∴∠B＝66°． ∵BD＝BC， ∴∠BCD＝∠BDC＝=57° ∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57°＝33° （2）解：∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝12 由勾股定理得：AB＝=13 ∵AB＝AD+BD，BD＝BC＝5 ∴AD＝13﹣5＝8 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质求出∠BCD的度数，最后根据余角的定义即可求解； （2）利用勾股定理求出AB的长度，最后根据线段间的数量关系计算即可. 18．【答案】（1）解：因为在中，，，， 所以. 因为垂直平分， 所以. （2）解：因为垂直平分， 所以. 设，则. 故. 解得. 所以. 【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AB=10，再根据线段垂直平分线性质即可求出答案. （2）根据垂直平分线性质可得，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 19．【答案】D 【解析】【解答】解：过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E， ∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°， ∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°， ∴∠ADE=∠CAN， 又∵AD=CA， ∴△ADE≌△CAN（AAS）， ∴，AE=CN 同理可证△BGH≌△CBN， ∴，BH=CN ∴， ∴ ， ∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积， 故答案为：D. 【分析】过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN，△BGH≌△CBN，得到，AE=CN，，BH=CN，则，即可得到即可解题． 20．【答案】 【解析】【解答】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【分析】本题考查勾股定理．观察图形，利用勾股定理可得：，进而可得：，再根据，两个式子联立可求出的值． 21．【答案】（1）解：在中，，，，∴； （2）解：依题意，，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 【解析】【分析】（1）运用勾股定理解题即可； （2）根据作图可得，设，然后利用勾股定理可得，进而求得长，然后计算面积即可． （1）解：在中，，，， ∴； （2）解：依题意，，设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为． 22．【答案】（1）解：过点A作AM⊥BC于点M，如图所示： ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴M是BC的中点， ∵AB＝5，BC＝6， ∴BM＝CM＝3， ∴AM＝＝4， ∴△ABC的面积＝BC•AM＝×6×4＝12； （2）解：过点B作BN⊥AC于点N，如图所示： ∵BD＝AB， ∴AN＝DN＝AD， ∵△ABC的面积＝AC•BN＝×5•BN＝12； ∴BN＝， AN＝ ∴AD＝2AN＝． 【解析】【分析】（1）过点A作于点M，根据等腰三角形的性质可得M是中点，利用勾股定理求出，最后根据三角形的面积公式计算即可. （2）过点B作于点N，先根据三角形的面积求出BN，再根据勾股定理求出AN即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $