26.2.2 二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x−h)²+k的图象、性质及与y=ax²的平移关系。通过复习y=ax²+k和y=a(x−h)²的平移规律，引导学生猜想y=a(x−h)²+k的平移方式，搭建前后知识衔接的学习支架。 此资料亮点在于以探究活动为主线，通过描点画图直观感知图象特征，两种平移路径对比突破难点，培养几何直观与空间观念。性质表格对比归纳培养推理意识，实际喷水池问题建立模型体现模型意识，助力学生深化理解，提升教师教学效率。

26.2.2 二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质教学设计 课标要求 能用描点法画出函数y=a(x−h)²+k的图象，知道二次函数y=a(x−h)²+k的图象和性质，理解二次函数y=a(x−h)²+k与y=ax²之间的关系；会利用平移变换理解二次函数图象之间的关系，体会数形结合的思想方法。 教学目标 1. 会用描点法画出函数y=a(x−h)²+k的图象，能说出其开口方向、对称轴和顶点坐标。 1. 理解二次函数y=a(x−h)²+k的图象与y=ax²的图象之间的平移关系，掌握“上加下减常数项，括号内左加右减”的平移规律。 1. 能用待定系数法求二次函数的顶点式解析式，初步了解二次函数在实际问题中的应用。 1. 在探究过程中体会数形结合的数学思想，培养观察、归纳和推理能力。 教学重点 二次函数y=a(x−h)²+k的图象特征和性质，以及与y=ax²之间的平移关系。 教学难点 理解平移的先后顺序与最终结果的关系，能用顶点式解决实际问题。 教学过程 一、复习回顾 教师活动： 展示课件，提出问题：“抛物线y=ax²+k与抛物线y=a(x−h)²由抛物线y=ax²怎样平移得到？”引导学生回顾上节课的平移规律。 师生活动： 学生回顾回答： - y=ax²+k：由y=ax²向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位得到，即“上加下减常数项”。 - y=a(x−h)²：由y=ax²向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位得到，即“括号内左加右减”。 教师追问： 如果先左右平移再上下平移呢？引导学生猜想：抛物线y=a(x−h)²+k由抛物线y=ax²怎样平移得到？ 设计意图： 通过复习y=ax²+k和y=a(x−h)²的平移规律，为本节课探究y=a(x−h)²+k的平移关系做好铺垫，培养学生的迁移能力。 二、探究新知 探究1：画出函数y=−(x+1)²−1的图象 教师活动： 引导学生在同一坐标系中画函数y=−(x+1)²−1的图象，填写列表、描点、连线。 师生活动： 学生完成列表： … … … … 描点、连线，画出函数的图象。 教师引导观察： 开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 学生归纳： 开口 向下，对称轴是 直线x=−1，顶点坐标是 (−1, −1)。 设计意图： 通过列表描点法画图，让学生直观感受y=−(x+1)²−1的图象特征，为后续探究平移关系提供直观依据。 探究2：探究平移关系 教师活动： 提出思考题：“抛物线y=−(x+1)²−1与抛物线y=−x²有什么关系？” 师生活动： 学生在同一坐标系中观察三条抛物线y=−x²、y=−(x+1)²、y=−(x+1)²−1的图象，发现平移关系： 方法一： y=−x² → 向左平移1个单位 → y=−(x+1)² → 向下平移1个单位 → y=−(x+1)²−1 教师追问： 还有其他的平移方法吗？ 师生活动： 学生思考并发现： 方法二： y=−x² → 向下平移1个单位 → y=−x²−1 → 向左平移1个单位 → y=−(x+1)²−1 教师引导归纳： 无论先左右平移还是先上下平移，最终结果相同。 设计意图： 通过两种不同的平移路径得到同一个图象，帮助学生理解平移的先后顺序不影响最终结果，突破“先上下还是先左右”的困惑。 归纳小结：y=a(x−h)²+k与y=ax²的平移关系 教师活动： 引导学生归纳一般规律，展示平移关系图。 师生活动： 学生归纳平移关系： 第一步： （向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位长度） 第二步： （向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位长度） 也可以分两步： 先上下平移： 再左右平移： 简记： 上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减。二次项系数a不变。 设计意图： 从特殊到一般，帮助学生建立完整的平移知识体系，掌握平移口诀，便于记忆和应用。 探究3：二次函数y=a(x−h)²+k的性质 教师活动： 引导学生从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等方面总结y=a(x−h)²+k的性质。 师生活动： 学生填写性质表： 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 当时，随增大而减小；当时，随增大而增大。 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小。 最值 时，最小值 时，最大值 教师强调： y=a(x−h)²+k的形式叫做顶点式。 设计意图： 通过表格对比a>0和a<0两种情况，帮助学生系统掌握顶点式的图象性质，形成完整的知识框架。 探究4：待定系数法求二次函数解析式 教师活动： 讲解待定系数法求二次函数解析式的步骤。 师生活动： 学生归纳步骤： 一设： 先设出二次函数的解析式，如 二代： 根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程（组）。 三解： 解此方程（组），求待定系数。 四还原： 将求出的待定系数还原到解析式中。 设计意图： 明确待定系数法的规范步骤，为学生后续解题提供方法指引。 三、课堂练习 1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1） 开口向上，对称轴为，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大。 （2） 开口向下，对称轴为，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小。 （3） 开口向上，对称轴为，顶点坐标为；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大。 （4） 开口向下，对称轴为，顶点坐标为；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小。 2. 写出下列函数的对称轴、顶点坐标和最值： （1） 当时，最大值。 （2） 当时，最小值。 3. 对称轴是直线的抛物线是（ ）。 A. B. C. D. 答案：C 4. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ）。 A. B. C. D. 答案：C 5. 若抛物线的顶点为，则此抛物线的解析式可设为（ ）。 A. B. C. D. 答案：B 6. 已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，则抛物线的解析式是： 设，将 代入得： 7. 将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）。 A. B. C. D. 答案：C 8. 小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 的一部分，若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是（ ）。 A. 3.5 m B. 4 m C. 4.5 m D. 4.6 m 答案：B 四、实际应用 例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管的长应为多少？ 师生活动： 教师引导： 建立平面直角坐标系，以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。 由题意知，抛物线的顶点坐标为，故设解析式为： 水柱落地处离池中心3.6 m，即抛物线过点，代入得： 所以抛物线的解析式为： 水管的长即为时的值： 答：水管的长应为m。 设计意图： 通过实际问题让学生体会二次函数顶点式的应用价值，掌握建立数学模型解决实际问题的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $