26.2.3 用待定系数法求二次函数的解析式 第2课时 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

教案：26.2.3 用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时）

一、核心素养目标

1. 逻辑推理

通过"回顾一次函数待定系数法→迁移到二次函数→分类讨论三种形式→归纳选择策略"的探究过程，经历从特殊到一般、从已知到未知的推理过程。在一般式法、顶点式法和交点式法的分类学习中，体会"条件决定方法"的逻辑关系，建立"已知条件→选择表达式形式→代入求解"的推理链条。

2. 数学运算

在用一般式法求二次函数解析式时，通过解三元一次方程组求出a、b、c的值，巩固方程组的求解方法。在顶点式法和交点式法中，将求出的表达式化为一般式，训练代数运算的准确性和规范性。在已知顶点坐标、对称轴、最值等条件时，能准确转化为参数的代数关系。

3. 数学抽象

从具体的三点坐标、顶点坐标、交点坐标等条件中，抽象出二次函数解析式的三种表达式形式：一般式、顶点式、交点式。理解三种表达式之间的内在联系——它们都是同一二次函数的不同表现形式，可以根据条件相互转化。理解交点式与一元二次方程根的关系：是方程的两根。

4. 数学建模

能够根据实际问题中给出的条件（如已知图象上三点、已知顶点和另一点、已知与x轴交点等），建立合适的数学模型（选择一般式、顶点式或交点式），并通过待定系数法求解。体会"实际问题→数学条件→选择合适的表达式→求解参数→得到解析式"的建模过程，培养根据条件选择最优模型的决策能力。

二、教学重难点

教学重点

1. 掌握用一般式法求二次函数解析式的步骤：设，代入三点坐标，解三元一次方程组，写出解析式。

2. 掌握用顶点式法求二次函数解析式的步骤：设，代入顶点坐标，再代入另一点求a，写出解析式。

3. 掌握用交点式法求二次函数解析式的步骤：设，代入两交点横坐标，再代入另一点求a，写出解析式。

4. 能够根据已知条件（三点坐标、顶点及另一点、与x轴两交点及另一点、对称轴、最值等）灵活选择最合适的方法。

教学难点

1. 根据已知条件灵活判断应该使用一般式、顶点式还是交点式。当条件为"对称轴"、"最值"、"与x轴交点"等间接信息时，能准确转化为对应的表达形式。

2. 顶点式和交点式化为一般式时的代数运算，特别是完全平方展开和多项式乘法中容易出错。

3. 理解交点式的推导过程：从一般式因式分解得到，理解它与一元二次方程根的联系。

三、教学过程

环节一：回顾旧知，引入新课（5分钟）

【教师活动】同学们，我们在学习一次函数时，已经学过用待定系数法求一次函数的解析式。请同学们回忆一下，一次函数有几个待定系数？确定一次函数的表达式需要几个条件？

【学生活动】一次函数y=kx+b有两个待定系数k和b，需要两个条件（两个点的坐标）才能确定。

【教师活动】很好！那待定系数法的一般步骤是什么？

【学生活动】待定系数法求一次函数解析式有四步：第一步"设"——设函数解析式为y=kx+b；第二步"代"——代入已知点的坐标列方程（组）；第三步"解"——解方程（组）求出k和b的值；第四步"写"——写出函数解析式。

【教师活动】总结得非常到位！"设、代、解、写"四步，是我们用待定系数法求函数解析式的通用方法。那么，二次函数有几种常用表达式？分别有几个待定系数？

二次函数的两种常用表达式：一般式（a、b、c为待定系数，共3个）；顶点式（a、h、k为待定系数，共3个，其中(h,k)为顶点坐标）。确定二次函数的表达式需要3个条件。

【过渡语】在之前的学习中，我们已经知道二次函数有三种表达式形式。今天，我们就在"设、代、解、写"四步框架下，根据不同的已知条件，学习三种用待定系数法求二次函数解析式的方法——一般式法、顶点式法和交点式法。

【设计意图】通过回顾一次函数待定系数法的"设、代、解、写"四步，既唤醒了学生的已有知识经验，又为二次函数待定系数法的学习搭建了方法框架。同时复习二次函数的两种常用表达式，为后续分类学习做好知识储备。强调"条件决定方法"的核心思想，为后续灵活选择方法埋下伏笔。

环节二：一般式法——已知三点求解析式（10分钟）

一、例题讲解：已知三点求解析式

【教师活动】请同学们看大屏幕上的问题：一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，求这个二次函数的解析式。已知条件是三个点的坐标，应该选择哪种表达式形式？

【学生活动】已知三个点的坐标，应该设一般式y=ax²+bx+c，然后把三个点的坐标分别代入，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c，最后写出解析式。

【教师活动】思路非常清晰！请同学们动手写一下完整的解题过程。

解：设所求的二次函数为。

把点(-1, 10)、(1, 4)、(2, 7)代入可得：

a-b+c=10,  a+b+c=4,  4a+2b+c=7