2.3.4 两条平行线之间的距离暑假预习讲义（7个题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.3.4 两条平行线之间的距离】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 两平行直线间的距离 （1）概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． （2）公式：两条平行直线与之间的距离______． 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求平行线之间的距离】 【练方法】 公式结论 1.平行线间距离标准公式 2.推导依据：在其中一条直线上任取一点用点到直线距离公式计算该点到另一条直线距离 3.距离恒为非负数两条重合直线间距 方法技巧 1.先将两条直线统一整理为x、y系数完全相同的一般式 2.常数项分别记作代入公式计算分子必须加绝对值 3.系数含分数时等式两边同乘整数消去分母简化运算 （25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. （25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. （25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，可得a值，代入两平行线间距离公式，即可得答案. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，则直线为，即， 则两直线间的距离. 【题型2：由距离求已知直线的平行线】 【练方法】 公式结论 1.与平行的直线常设为（为待求参数） 2.设间距为定值列方程 3.去掉绝对值得解出两组取值 方法技巧 1.平行直线保持一次项系数不变仅更换常数项设参 2.绝对值方程分正负两种情况求解一般得到两条符合条件平行线 3.解出参数后代回核验间距排除与已知直线重合的解 （25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程：经典例题1例题 (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. （25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是.小试牛刀1 (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将方程化为，利用两平行线距离公式列式求解即可； （2）先联立方程求得直线与的交点，然后利用垂直关系设所求直线方程为，将点的坐标代入计算即可； （3）由题可设所求直线方程为，利用平行线距离列式求得，即可得解. 【详解】（1）因为：，：， 所以与间的距离为， 即，因为，所以，解得； （2）由直线与的方程联立方程组，解得. 即两直线的交点坐标为， 设所求直线方程为，代入得 解得， 故所求的直线方程为，即. （3）直线：，：， 由题可设所求直线方程为，则有， 所以，所以，解得， 故所求的直线方程为，即. （25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程：小试牛刀2 (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. （25-26高二上·河南·阶段检测）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 【题型3：关于平行直线的对称直线】 【练方法】 公式结论 1.若直线关于平行线对称三条直线互相平行 2.介于中间到距离=到距离 3.设直线依次： 满足 方法技巧 1.三条直线统一系数形式利用常数项算术平均关系列式求解 2.已知两条直线求对称轴：常数项相加除以2 3.已知一条直线与对称轴求对称直线： （25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示）经典例题1例题 【答案】 【分析】根据已知直线平行，并求出它们的距离，再设所求直线为，根据对称性及平行线的距离公式求参数，即可得. 【详解】由、，显然两条直线平行，且它们的距离， 可设所求直线为，则或（舍）， 所以，所求直线为. 故答案为： 已知直线，，．小试牛刀1 （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． （24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程.小试牛刀2 【答案】 【分析】由直线斜率得与直线平行，由两条平行线距离公式得与直线间的距离，由对称关系得与平行和与距离，接着设直线方程，依据与距离列式求解并检验即可得解. 【详解】易知，所以与直线平行， 与直线间的距离为， 又因为与关于直线对称， 所以与平行，且两直线间的距离为， 设直线，所以，解得或， 当时，直线与直线间的距离为， 即直线与关于直线不对称； 当时，直线与直线间的距离为，符合， 所以. （24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．小试牛刀3 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【题型4：求直线关于点对称的直线】 【练方法】 公式结论 1.直线关于定点对称后的直线与原直线互相平行 2.定点到两条平行线距离相等 3.实操规律：任取原直线上两点求出两点关于定点的对称点两点连线即为对称直线 方法技巧 1.方法一：设平行直线利用点到两直线距离相等求 2.方法二：取两点求对称点两点式写直线方程更直观不易出错 3.定点在直线上时对称直线与原直线重合 （25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　）经典例题1例题 A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求：小试牛刀1 (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______.小试牛刀2 【答案】2 【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，. 故答案为：. （24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______.小试牛刀3 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 【题型5：将军饮马的最值问题】 【练方法】 公式结论 1.核心几何模型：两点在直线同侧求直线上动点到两点距离之和最小值 2.作法：作其中一点关于定直线的对称点对称点与另一点连线长度即为最小值 3.两点在直线异侧时两点线段长直接为距离和最小值 方法技巧 1.同侧定点优先构造对称点化折线段为直线段依据两点之间线段最短求解 2.距离差最值需区分同侧异侧结合三角形三边关系判定边界 3.涉及平行线区域最值可借助平行线间距平移线段简化路径 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．经典例题1例题 【答案】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：.    （25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）．小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C （24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    （25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ）小试牛刀3 A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即点， 因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是4. 故选：D 【题型6：直线关于直线的对称问题】 【练方法】 公式结论 分两类情形 1.两直线互相平行：套用平行线对称规律常数项取平均值 2.两直线相交：交点为公共不动点在已知直线上任取一点求该点关于对称轴的对称点两点确定对称直线 方法技巧 1.第一步判断两直线位置关系（平行/相交）分情况解题 2.相交型：先求交点再找定点对称点两点联立写方程 3.平行型：利用平行线间距相等、常数项平均计算参数 （25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】求出两直线的交点坐标，再求出直线上另外一点关于直线的对称点坐标，然后可得对称直线方程. 【详解】解方程组得，即直线和直线的交点坐标为， 又是直线上一点，设它关于直线的对称点坐标为， 则，解得， 所以所求直线方程为，即. 故答案为：. （25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______.小试牛刀1 【答案】 【分析】直接根据点的对称变换可得对称直线的方程. 【详解】设直线上任意一点坐标为，它关于直线的对称点坐标为， 该对称点在原直线上，代入得： ， 整理得直线的方程：. （2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ）小试牛刀2 A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A （25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与直线的交点，再在直线上取点关于直线对称的点为，即，解出，利用点斜式即可求解. 【详解】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 【题型7：平行线之间的距离公式的应用】 （25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________.经典例题1例题 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. （25-26高二上·安徽·阶段检测）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____.小试牛刀1 【答案】4 【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】不妨设，， 因为，所以，所以，由题意，所以或， 不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 故答案为：4 （25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. （25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】确定，分别在直线上，由平行线间距离即可求解. 【详解】因为两条直线和都经过点， 所以，， 所以，分别在直线上， 所以两点，间的最短距离为两平行线间距离，即， 故答案为： 课后过关检测 一、单选题 1．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果. 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 3．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线平行求出，设出直线，根据直线l到的距离与l到的距离相等列出等式解出，进而求出答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得，故直线， 而直线可以写成，设直线， 因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得， 故直线，即直线l的方程为. 故选：D. 5．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求得关于直线的对称点，代入点的坐标于的方程，由此可求的值. 【详解】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上，所以，解得， 故选：A. 6．（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解． 【详解】直线和直线满足， 两条直线互相平行， 又、分别为与上任一点， 的最小值就是平行线（即）与之间的距离， . 故选：C 7．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 二、多选题 8．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【分析】应用点关于直线对称，结合饮马模型求的最小值，利用三角形的三边关系及点线位置关系求的最值，即可得答案. 【详解】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 9．（25-26高二上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 【答案】ABD 【分析】利用点关于直线的对称的性质求解判断A；利用直线关于点对称直线的求法求解以判断B；利用平行求出斜率，再利用点斜式求出直线方程判断C，利用直线垂直的系数关系判断D. 【详解】对于A，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点关于直线的对称点为，正确； 对于B，设直线上的点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，正确； 对于C，直线的斜率为2，所以所求直线的斜率也是2， 则所求直线为，即，错误； 对于D，当时，， 故直线与垂直，正确； 故选：ABD. 10．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 【答案】AD 【分析】先求出，再由两平行线间的距离公式求解． 【详解】因为两条平行直线与，所以，解得， 所以 ，而两平行直线间的距离是，则， 所以，得或，解得或. 故选：AD 11．（22-23高三上·山东青岛·开学考试）（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 【答案】ACD 【分析】逐一分析选项，核心是直线过定点、平行、垂直的判定及平行线间距离公式． 【详解】解：对于A，变形为，令，则 因此直线过定点，故A正确； 对于B，当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C，当时，，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D，当时，则满足，得， 此时，，， 则两直线间的距离为，故D正确． 故答案为：ACD. 三、填空题 12．（1）已知直线，，求直线关于直线 的对称直线的方程. ①若，则设所求直线方程为，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 也可由平行线间的距离相等构建关于的方程求解. ②若不平行于，则先找出与的交点，然后在上确定一点（不同于交点），求出这一点关于的对称点，由直线的两点式方程确定所求直线方程. （2）常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. ①关于轴对称的直线的方程是___________________； ②关于轴对称的直线的方程是___________________； ③ 关于直线 对称的直线的方程是___________________； ④ 关于直线 对称的直线的方程是___________________； ⑤关于直线 对称的直线的方程是___________________； ⑥关于直线对称的直线的方程是___________________. 【答案】 【分析】设为所求直线上任一点，结合各空的条件，求出对称点，代入化简即可求解. 【详解】设为所求直线上任一点， ①因为关于轴对称的点为，其在直线上， 所以，即关于轴对称的直线的方程是； ②因为关于轴对称的点为，其在直线上， 所以，即关于轴对称的直线的方程是； ③设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； ④设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； ⑤设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； ⑥设关于直线对称的点为，则，解得， 即，又在，则， 所以关于直线对称的直线的方程是； 故答案为：；；；； ；. 13．（25-26高一上·河北邯郸·期末）两平行直线与间的距离为______. 【答案】/ 【分析】根据两直线平行的性质可求得参数，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得； 此时两直线方程分别为：与， 所以两条直线间的距离为. 故答案为：. 四、解答题 14．已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行线间距离公式求距离； （2）设的方程为），再根据平行线间距离公式求解． 【详解】（1）易知与平行，所以两平行直线与间的距离． （2）由与平行，可设的方程为）． 由题意知与之间的距离为，所以有，解得或（舍去）， 所以的方程为． 15．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）由的平分线所在直线的方程为，可设，利用AB中点在中线上可得，然后可得点关于直线对称的点的坐标，据此可得直线的方程； （2）由，可得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点A到直线的距离，据此可得答案. 【详解】（1）如图，由点在直线上，设，又， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即． 显然在直线上，则直线的斜率， 则直线的方程为，整理得． （2）点到直线的距离． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则，解得或8， 所以直线的方程为或．    16．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知三条直线：，且与间的距离是， (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由两平行线间的距离公式求解； （2）设存在点，由条件②、③分别得到点满足的直线方程，求两者交点判断. 【详解】（1） 与间的距离为， 即 ； （2）假设存在，设点，由条件②知，点在与平行的直线上，且 或 或， 由条件③知， ， 即或， 因为点在第一象限， （舍）， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③. 17．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 18．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知直线与直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离. 【答案】(1)0或7 (2) 【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可. （2）先利用直线平行求出，然后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，直线与的斜率分别为：， 若，则， 即，解得：或， 故实数的值为0或7； （2）由（1）知直线与的斜率分别为：， 若，则，即，解得：， 此时，直线的方程为，直线的方程为， 将两直线方程分别化为和， ∴直线与之间的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.3.4 两条平行线之间的距离】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 两平行直线间的距离 （1）概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． （2）公式：两条平行直线与之间的距离______． 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求平行线之间的距离】 【练方法】 公式结论 1.平行线间距离标准公式 2.推导依据：在其中一条直线上任取一点用点到直线距离公式计算该点到另一条直线距离 3.距离恒为非负数两条重合直线间距 方法技巧 1.先将两条直线统一整理为x、y系数完全相同的一般式 2.常数项分别记作代入公式计算分子必须加绝对值 3.系数含分数时等式两边同乘整数消去分母简化运算 （25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______．经典例题1例题 （25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______．小试牛刀1 （25-26高二上·云南保山·期末）已知直线与平行，则两直线间的距离为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型2：由距离求已知直线的平行线】 【练方法】 公式结论 1.与平行的直线常设为（为待求参数） 2.设间距为定值列方程 3.去掉绝对值得解出两组取值 方法技巧 1.平行直线保持一次项系数不变仅更换常数项设参 2.绝对值方程分正负两种情况求解一般得到两条符合条件平行线 3.解出参数后代回核验间距排除与已知直线重合的解 （25-26高二上·江苏无锡·期中）求下列直线方程：经典例题1例题 (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． （25-26高二上·江苏扬州·期中）已知三条直线：，：，：，且与间的距离是.小试牛刀1 (1)求的值； (2)求过直线与的交点，且垂直于的直线方程； (3)求与平行且到，距离相等的直线的方程. （25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程：小试牛刀2 (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. （25-26高二上·河南·阶段检测）已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C．或 D．或 【题型3：关于平行直线的对称直线】 【练方法】 公式结论 1.若直线关于平行线对称三条直线互相平行 2.介于中间到距离=到距离 3.设直线依次： 满足 方法技巧 1.三条直线统一系数形式利用常数项算术平均关系列式求解 2.已知两条直线求对称轴：常数项相加除以2 3.已知一条直线与对称轴求对称直线： （25-26高二上·四川成都·期中）直线关于直线对称的直线的方程为___________．（用一般式表示）经典例题1例题 已知直线，，．小试牛刀1 （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． （24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与关于直线对称，求直线的方程.小试牛刀2 （24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________．小试牛刀3 【题型4：求直线关于点对称的直线】 【练方法】 公式结论 1.直线关于定点对称后的直线与原直线互相平行 2.定点到两条平行线距离相等 3.实操规律：任取原直线上两点求出两点关于定点的对称点两点连线即为对称直线 方法技巧 1.方法一：设平行直线利用点到两直线距离相等求 2.方法二：取两点求对称点两点式写直线方程更直观不易出错 3.定点在直线上时对称直线与原直线重合 （25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　）经典例题1例题 A．2 B．1 C． D． （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知直线，试求：小试牛刀1 (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 已知直线与直线关于点对称，则实数的值为______.小试牛刀2 （24-25高二上·重庆·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______.小试牛刀3 【题型5：将军饮马的最值问题】 【练方法】 公式结论 1.核心几何模型：两点在直线同侧求直线上动点到两点距离之和最小值 2.作法：作其中一点关于定直线的对称点对称点与另一点连线长度即为最小值 3.两点在直线异侧时两点线段长直接为距离和最小值 方法技巧 1.同侧定点优先构造对称点化折线段为直线段依据两点之间线段最短求解 2.距离差最值需区分同侧异侧结合三角形三边关系判定边界 3.涉及平行线区域最值可借助平行线间距平移线段简化路径 （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______．经典例题1例题 （25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）．小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ）小试牛刀2 A．1 B． C．2 D． （25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（    ）小试牛刀3 A． B． C．2 D．4 【题型6：直线关于直线的对称问题】 【练方法】 公式结论 分两类情形 1.两直线互相平行：套用平行线对称规律常数项取平均值 2.两直线相交：交点为公共不动点在已知直线上任取一点求该点关于对称轴的对称点两点确定对称直线 方法技巧 1.第一步判断两直线位置关系（平行/相交）分情况解题 2.相交型：先求交点再找定点对称点两点联立写方程 3.平行型：利用平行线间距相等、常数项平均计算参数 （25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）求直线关于直线对称的直线方程为__________.经典例题1例题 （25-26高二下·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，若直线l与直线关于直线对称，则直线l的方程为______.小试牛刀1 （2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ）小试牛刀2 A．3 B．3 C．3 D．3 （25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：平行线之间的距离公式的应用】 （25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________.经典例题1例题 （25-26高二上·安徽·阶段检测）“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____.小试牛刀1 （25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南通·期中）已知两条直线和都经过点，则两点，间的最短距离为__________.小试牛刀3 课后过关检测 一、单选题 1．（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽池州·期中）已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 7．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 8．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 9．（25-26高二上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．点关于直线的对称点为 B．直线关于点的对称直线为 C．经过点，且与直线平行的直线方程是 D．当时，直线与垂直 10．（2026高二上·浙江温州·专题练习）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 11．（22-23高三上·山东青岛·开学考试）（多选）已知直线，，则（    ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线，之间的距离为1 三、填空题 12．（1）已知直线，，求直线关于直线 的对称直线的方程. ①若，则设所求直线方程为，然后在上找一点，求出点关于直线的对称点，再代入即可解出. 也可由平行线间的距离相等构建关于的方程求解. ②若不平行于，则先找出与的交点，然后在上确定一点（不同于交点），求出这一点关于的对称点，由直线的两点式方程确定所求直线方程. （2）常见的直线关于直线的对称方程 设直线为. ①关于轴对称的直线的方程是___________________； ②关于轴对称的直线的方程是___________________； ③ 关于直线 对称的直线的方程是___________________； ④ 关于直线 对称的直线的方程是___________________； ⑤关于直线 对称的直线的方程是___________________； ⑥关于直线对称的直线的方程是___________________. 13．（25-26高一上·河北邯郸·期末）两平行直线与间的距离为______. 四、解答题 14．已知直线，在上任取一点，在上任取一点，过线段的靠近点的三等分点作的平行线． (1)求直线与之间的距离； (2)求直线的方程． 15．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 16．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知三条直线：，且与间的距离是， (1)求的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，说明理由 17．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 18．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知直线与直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $