2.3.2 两点间的距离公式（5个题型归纳）暑假预习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.3.2 两点间的距离公式】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 两点间的距离 （1）公式：点，间的距离公式__________________. （2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求平面两点间的距离】 【练方法】 公式结论 1.两点距离标准公式 2.特殊简化形式 两点在水平直线 两点在竖直直线 方法技巧 1.分别计算横坐标之差纵坐标之差各自平方后相加再开算术平方根 2.横坐标或纵坐标相等时直接用数轴距离简化计算无需完整套根号公式 3.距离结果恒为非负数计算过程平方后无需区分坐标差正负 （25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. （2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______．小试牛刀1 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出. 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. （23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ．小试牛刀2 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． （25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________．小试牛刀3 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 【题型2：由顶点坐标判断三角形的形状】 【练方法】 公式结论 1.三边长度 2.边长判定规则 等边三角形 两边相等且等腰直角三角形 仅两边相等普通等腰三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 方法技巧 1.先用距离公式算出三角形三条边的长度平方不开根号直接比较大小简化运算 2.先判断有无相等边长再用勾股定理逆定理判断直角最后判定锐角钝角 3.三点共线时无法构成三角形需先检验三边是否满足三角不等式 （25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ）经典例题1例题 A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． （2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积．小试牛刀1 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. （24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，.小试牛刀2 (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明：由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）略 （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. （23-24高二上·广西玉林·阶段检测）已知三个顶点坐标分别为，，.小试牛刀3 (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 【题型3：由距离求点的坐标】 【练方法】 公式结论 1.已知定点动点距离定值列方程 2.等式两边平方消根号 3.单坐标含参时转化一元二次方程求解两点距离相等可列等式消去根号 方法技巧 1.等式两边同时平方去掉二次根式转化整式方程 2.若动点限制在坐标轴、直线上将坐标约束代入方程联立求解 3.解出坐标后代回距离公式检验舍去使距离不等于定值的增根 （25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. （多选）已知，且，则a的取值可能为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD （24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______．小试牛刀2 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． （23-24高一下·北京顺义·阶段检测）已知三角形的顶点为，，.小试牛刀3 (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 【题型4：由两点间的距离公式求函数的最值】 【练方法】 公式结论 1.代数式几何意义：动点与定点的距离 2.若动点在定直线上最值为定点到直线的垂线段长度 3.若动点在圆上最大值=圆心距+半径最小值=|圆心距-半径| 方法技巧 1.根式代数式优先转化为两点距离几何模型避开复杂代数求导配方 2.先确定动点轨迹（直线/曲线）画出草图直观判断最远、最近位置 3.求出距离最值后若题目需求对应自变量联立轨迹与垂线方程求解 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ）经典例题1例题 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． （25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    （25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用两点间的距离公式，结合几何意义求出的最小值；变形，再利用几何意义求出其最小值. 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    故答案为：； （25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【题型5：与距离有关的新定义】 【练方法】 公式结论 1.题干自定义新型距离运算严格遵循题目给出代数表达式不套用课本两点距离公式 2.通用处理逻辑：将坐标代入新定义式转化方程或不等式求解参数、范围 方法技巧 1.逐句拆解新定义文字描述拆分坐标满足的多层运算顺序 2.有限坐标点直接代入计算新型距离含参坐标转化整式方程 3.比较大小、求范围类题目平方消去根式后分析函数单调性 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，如图，其中，即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为.    故选：C. （25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________.小试牛刀1 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即， 所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为. 故答案为：. （25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先设，并根据定义将写成分段函数的形式，再分段求函数的范围，即可求得函数的最小值. 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以． 所以的最小值是3. 故选：C （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）.小试牛刀3 (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题中定义，结合两点间距离公式和平面向量夹角公式进行求解即可； （2）根据余弦距离的定义，绝对值的性质，结合分类讨论思想、平面向量夹角公式进行求解即可； （3）根据题中定义，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.        （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】由光的反射原理可知，点关于轴的对称点到点的距离即为光线从到所经过的路程. 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程. 【详解】设的重心为，外心为， 因为，，，，， 所以重心坐标为，又直线的垂直平分线方程为， 故可设的坐标为， 解得，即 欧拉线方程为：，即： 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：D 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（    ） A．对任意三点，都有 B．点满足，则点组成的图形面积为4 C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D．点.到直线的“切比雪夫距离” 【答案】ABD 【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D. 【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、， 如下图，结合三角形相似可得或，或，或， 若，则，， 若，则，， 所以；    若、或、对调，可得； 若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ； 则对任意的三点、、，都有，故A正确；    对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则； 若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确； 对于C，定点、，动点，满足， 可得不在上，在线段间成立，可得，解得. 由对称性可得也成立，即有两点满足条件；    若在第一象限内，满足，即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误. 对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以； 同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以，故D正确.    故选：ABD. 7．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值即可. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 9．（24-25高二上·山东青岛·期中）数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 【答案】 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因的顶点，则其重心为,即； 显然的外心在线段的中垂线上，故可设， 由，可得，解得, 则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即. 故答案为：. 10．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 11．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 12．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据分式的性质，求出参数之间的等量关系，进而根据两点之间的距离公式，求出结果. 【详解】由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 14．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长； （2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算. 【详解】（1）由已知点坐标可得：， 因为四边形为平行四边形，所以对角线， 因此； （2） 设，则， 由得：，解得，即， 进而得，根据向量夹角公式： . 15．（25-26高二上·上海·期末）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为． (1)如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程； (2)如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）通过斜率确定三点共线，故的球心运动的直线方程就是直线； （2）设两球碰撞时球的球心坐标为，由题意得两球碰撞时，且在直线上，联立方程即可求出坐标，进而可求的球心运动的直线方程. 【详解】（1）若，即，所以， 即，此时三点共线， 故的球心运动的直线方程为，即. （2）若，由（1）知过的直线方程为， 依题意，当两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限， 设两球碰撞时球的球心坐标为，此时， 则有，解得，即， 所以母球的球心运动的直线方程为. 16．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 17．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析，直线的方程为； (2)或或. 【分析】（1）利用坐标代换法求出方程即可得证. （2）求出过点与直线垂直的直线方程及垂足的坐标，再按直角顶点情况分类求解. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 18．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】（1）由题意，设出直线的截距式方程，代入点坐标，根据面积，可求得截距式方程，整理即可得答案. （2）分别分析点M、Q、P为直角顶点时，为等腰三角形，求得对应M点坐标，即可得答案. 【详解】（1）由截距式设直线的方程为， 所以，解得， 所以，即. （2）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则， 因为为等腰直角三角形， 当M为直角顶点时，设， 则，， 所以，即， 解得或（舍）， 所以，即点； 当Q为直角顶点时，点，则，解得， 所以，符合题意； 当P为直角顶点时，设，由可得， 所以，； 综上所以，，，符合题意 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【2.3.2 两点间的距离公式】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 两点间的距离 （1）公式：点，间的距离公式__________________. （2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：求平面两点间的距离】 【练方法】 公式结论 1.两点距离标准公式 2.特殊简化形式 两点在水平直线 两点在竖直直线 方法技巧 1.分别计算横坐标之差纵坐标之差各自平方后相加再开算术平方根 2.横坐标或纵坐标相等时直接用数轴距离简化计算无需完整套根号公式 3.距离结果恒为非负数计算过程平方后无需区分坐标差正负 （25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______．小试牛刀1 （23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ．小试牛刀2 （25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________．小试牛刀3 【题型2：由顶点坐标判断三角形的形状】 【练方法】 公式结论 1.三边长度 2.边长判定规则 等边三角形 两边相等且等腰直角三角形 仅两边相等普通等腰三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 方法技巧 1.先用距离公式算出三角形三条边的长度平方不开根号直接比较大小简化运算 2.先判断有无相等边长再用勾股定理逆定理判断直角最后判定锐角钝角 3.三点共线时无法构成三角形需先检验三边是否满足三角不等式 （25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ）经典例题1例题 A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 （2025高二上·全国·专题练习）已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积．小试牛刀1 （24-25高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，.小试牛刀2 (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. （23-24高二上·广西玉林·阶段检测）已知三个顶点坐标分别为，，.小试牛刀3 (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【题型3：由距离求点的坐标】 【练方法】 公式结论 1.已知定点动点距离定值列方程 2.等式两边平方消根号 3.单坐标含参时转化一元二次方程求解两点距离相等可列等式消去根号 方法技巧 1.等式两边同时平方去掉二次根式转化整式方程 2.若动点限制在坐标轴、直线上将坐标约束代入方程联立求解 3.解出坐标后代回距离公式检验舍去使距离不等于定值的增根 （25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （多选）已知，且，则a的取值可能为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______．小试牛刀2 （23-24高一下·北京顺义·阶段检测）已知三角形的顶点为，，.小试牛刀3 (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【题型4：由两点间的距离公式求函数的最值】 【练方法】 公式结论 1.代数式几何意义：动点与定点的距离 2.若动点在定直线上最值为定点到直线的垂线段长度 3.若动点在圆上最大值=圆心距+半径最小值=|圆心距-半径| 方法技巧 1.根式代数式优先转化为两点距离几何模型避开复杂代数求导配方 2.先确定动点轨迹（直线/曲线）画出草图直观判断最远、最近位置 3.求出距离最值后若题目需求对应自变量联立轨迹与垂线方程求解 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ）经典例题1例题 A．5 B．6 C．7 D．8 （25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________．小试牛刀2 （25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：与距离有关的新定义】 【练方法】 公式结论 1.题干自定义新型距离运算严格遵循题目给出代数表达式不套用课本两点距离公式 2.通用处理逻辑：将坐标代入新定义式转化方程或不等式求解参数、范围 方法技巧 1.逐句拆解新定义文字描述拆分坐标满足的多层运算顺序 2.有限坐标点直接代入计算新型距离含参坐标转化整式方程 3.比较大小、求范围类题目平方消去根式后分析函数单调性 人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________.小试牛刀1 （25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ）小试牛刀2 A．1 B．2 C．3 D．4 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）.小试牛刀3 (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 2．（25-26高二上·安徽合肥·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高所在直线的交点）依次位于同一直线上；这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（   ） 参考公式：若的顶点、、的坐标分别是、、，则该的重心的坐标为 A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（    ） A．对任意三点，都有 B．点满足，则点组成的图形面积为4 C．定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D．点.到直线的“切比雪夫距离” 7．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 三、填空题 8．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 9．（24-25高二上·山东青岛·期中）数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 10．（23-24高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 11．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）函数的最大值是__________. 12．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 13．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 四、解答题 14．（25-26高一下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知． (1)求平行四边形对角线的长； (2)若存在轴上一点满足，求． 15．（25-26高二上·上海·期末）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为． (1)如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程； (2)如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程． 16．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 17．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 18．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $