第1章 培优课 集合的综合问题 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦集合综合问题，分层设计从基础运算到综合应用，梯度合理，助力知识巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合基本运算|单选形式，如Venn图分析、补集交集运算，巩固概念理解| |能力层|新定义与元素分析|单选与多选结合，如“☉运算”“好元素”判断，培养抽象与推理能力| |综合层|参数讨论与应用|填空与解答题，如“鲸吞”定义、集合长度计算，发展应用意识与逻辑思维|

培优课　集合的综合问题 1.如图所示，已知全集U＝R，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{4，5，6，7，8}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A.{1，3} B.{5，7} C.{1，3，5} D.{1，3，7} 2.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩（∁UA）＝（　　） A.{1，6} B.{1，7} C.{6，7} D.{1，6，7} 3.定义集合运算：A☉B＝{z｜z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{a，b}，则集合A☉B的所有元素之和为（　　） A.1 B.0 C.－1 D.a＋b 4.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y｜x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　） A.1 B.3 C.5 D.9 5.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　） A.6个 B.12个 C.9个 D.5个 6.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝，若M与N“相交”，则实数a＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 7.（多选）已知全集U＝{2，4，6，8，10，12}，M＝{4，6，8}，N＝{8，10}，则集合{2，12}＝（　　） A.M∪N B.（∁UM）∩（∁UN） C.∁U（M∪N） D.∁U（M∩N） 8.（多选）定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则集合∁（A*B）A中的元素是（　　） A.0　　　　　　　　　B.2 C.4　　　　　　　　　D.6 9.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”.对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的值为　　　　. 10.已知集合S＝{0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有　　　　个，其中的一个是　　　.（写出一个即可） 11.设集合M＝xm≤x≤m＋，N＝{xn－≤x≤n}，且M，N都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a称为集合{x｜a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值为　　　　. 12.已知集合A＝{x｜－4≤x≤－2}，集合B＝{x｜x－a≥0}. （1）若A⊆B，求a的取值范围； （2）若全集U＝R，且A⊆（∁UB），求a的取值范围. 13.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围. 培优课　集合的综合问题 1.A　因为Venn图表示的集合为A∩（∁UB），所以A∩（∁UB）＝{1，3}.故选A. 2.C　∵ U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，∴∁UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩（∁UA）＝{6，7}.故选C. 3.B　因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为a，b，所以xy的所有可能取值为－a，0，a，－b，b，所以所有元素之和为0.故选B. 4.C　x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知集合B中的元素为－2，－1，0，1，2，共5个. 5.A　要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A. 6.B　M＝，由＝，得a＝4，由＝1，得a＝1.当a＝4时，M＝，此时M⊆N，不合题意；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意.综上，实数a的值为1. 7.BC　M∪N＝{4，6，8，10}，M∩N＝{8}，∁UM＝{2，10，12}，∁UN＝{2，4，6，12}，则（∁UM）∩（∁UN）＝{2，12}，∁U（M∪N）＝{2，12}，∁U（M∩N）＝{2，4，6，10，12}.故选B、C. 8.ACD　因为A∩B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0，1，2，3，4，6，所以A*B＝{0，1，2，3，4，6}，所以∁（A*B）A＝{0，4，6}.故选A、C、D. 9.0　解析：当a＝0时，B＝⌀，显然B⊆A，符合题意；当a≠0时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合A、B之间不存在子集关系，不符合题意，故a的值为0. 10.6　{0，1，2，3}　解析：因为集合S＝{0，1，2，3，4，5}，根据题意知只要有元素与之相邻，则该元素不是孤立元素，所以S中无“孤立元素”的4个元素的子集有{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个.其中一个可以是{0，1，2，3}. 11.　解析：由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝. 12.解：∵A＝{x｜－4≤x≤－2}，B＝{x｜x≥a}， （1）由A⊆B，结合数轴，如图，可知a的范围为a≤－4. （2）∵U＝R，∴∁UB＝{x｜x＜a}，要使A⊆（∁UB），如图，可知a＞－2. 13.解：若B∪A＝A，则B⊆A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况： ①当B＝⌀时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4； ②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2}⊈A；若a＝4，则B＝{－2}⊆A； ③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，∴∴a＝－2. 综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}. ∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $