8.1.2 用二分法求方程的近似解-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦二分法的原理、适用条件、实施步骤及应用，通过“维修线路查故障”的实际问题导入，衔接函数零点知识，以猜价格情境搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解逐步逼近思想。 其特色在于用数学眼光观察现实（故障排查情境），数学思维思考问题（例题中的逻辑推理），数学语言表达方法（操作流程步骤化）。结合情境创设与跟踪训练，小结强调化归与逼近思想，能培养学生理性思维和应用能力，为教师提供结构化教学支持。

第8章 函数应用 1 8.1 二分法与求方程近似解 8.1.2 用二分法求方程的近似解 2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生 了一处故障，如果沿着线路一小段一小段查找，每查一个点要爬一次电线 杆， 长的线路大约有200根电线杆. 事实上，维修线路的工人师傅只 要至多爬7次电线杆就能把故障排除了.你知道他是如何做到的吗？ 返回导航 新课导入 3 1.了解二分法的原理及其适用条件． 2.掌握二分法的实施步骤． 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 二分法的概念 在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若 猜中了，就把物品奖励给选手.某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一 款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”， 主持人说“低了”. 思考1 如果是你，你知道接下来如何竞猜吗？ 提示 接下来应猜“600”，即区间 的中点值. 思考2 通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示 可以，通过不断地缩小价格所在的区间，能猜到手机的价格. 返回导航 7 ［知识梳理］ 条件 （1）函数在区间 上①__________； （2）在区间端点的函数值满足②_____________ 方法 不断地把函数 的零点所在的区间③__________,使区间的两 个端点逐步④__________,进而得到零点近似值 连续不断 一分为二 逼近零点 点拨 用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点 （曲线通过零点,且在零点两侧函数值异号）,对函数的不变号零点 （曲线通过零点,且在零点两侧函数值不异号）不适用 . 返回导航 8 ［例1］ （1）（多选）下列函数图象与 轴均有交点，其中能用二分法求 函数零点近似值的有( ) A. B. C. D. 解析：根据二分法的定义，知函数在区间 上的图象连续不断，且 ，即函数的零点是变号零点，才能将区间 一分为二，逐 步得到零点的近似值.对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不 能用二分法求函数零点的近似值，故A错误.对于B，C，D，三个函数图象 均符合二分法求函数零点近似值的条件，故B，C，D正确.故选 . √ √ √ 返回导航 9 （2）设，用二分法求方程在 上的近 似解时，经过两次二分法后，可确定方程的近似解所在区间为( ) A.或都可以 B. C. D.不能确定 解析：， ，第 一次取，有 ，故第二次取 ，有 ，故此时可确定方程的近似 解所在区间为 . √ 返回导航 10 运用二分法求函数的零点应具备的条件 （1）函数图象在零点附近连续不断; （2）在该零点左右的函数值异号. 只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数的零点. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ( ) A. B. C. D. 解析：选.，，当 时， ；当时， ，在零点两侧函数值同号，不能用二分法 求零点，故B错误.其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，能用二分法 求零点，故A,C,D正确. √ √ √ 返回导航 12 （2）函数的零点，对区间 利用一次“二分 法”，可确定 所在的区间为______. , 解析：设，则 , ，取区间的中点为 ， ，所以可确定所在的区间为, . 返回导航 13 二 二分法求方程近似解的操作流程 ［知识梳理］ 返回导航 14 ［例2］ （对接教材例3）已知函数 .用二分法求方程 在区间上的一个近似解（精确到 ）. 【解】 因为函数在区间 上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间 上的解， 且，，可得在 内有且仅有一个零点 ， 返回导航 15 在区间 上利用二分法列表如下： 区间 中点 函数值 2.5 2.75 2.625 因为与2.625精确到0.1的近似值都是，所以方程 在区 间 上的一个近似解为2.6. 返回导航 16 二分法求近似解的基本方法 （1）依据函数图象估计零点所在的初始区间<m></m>（一般采用估计值的方 法完成）. （2）取区间端点的平均数<m></m>，计算<m></m>，确定有解区间是<m></m>还是<m></m>， 逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合要求，终止计算，得到 函数零点的近似值. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ 用二分法求在内的近似解（精确到 ）. 参考数据： 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 返回导航 18 解：令，则 ， .用二分法逐步计算，列表如下： 区间 中点 函数值 1.5 1.25 1.375 因为1.375与精确到0.1的近似值都为，所以在 内的近似解可取为1.4. 返回导航 19 三 二分法思想的实际应用 ［例3］ 工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起，从其 外形无法分辨，仅仅知道假纪念币的质量要比真纪念币稍轻一点点，现用 一台天平，通过比较质量的方法来找出那枚假纪念币，则最少只需称量 ( ) A.4次 B.5次 C.6次 D.7次 解析：将64枚纪念币均分为两组，分别称其质量，假的一定在轻的那一组， 再将这一组（共32枚）均分为两组，称其质量，这样一直均分下去，6次 就能找出那枚假的，即最少只需称量6次.故选C. √ 返回导航 20 二分法的思想方法除了可以用来处理生活中的对称问题,还可以处理一些现实 中的不对称问题.要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ “从地到 地的海底电缆有15个接点”,现某接点发生故障, 需及时修理,为了尽快找出故障的发生点,则怎样检测最合理? 返回导航 22 解：如图所示,把从地到 地的海底电缆抽象成一条线段,图中的15个点代 表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1,2,3, ,15.先检查 最中间的接点,即第8号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障点,检 查完毕；若其中一端为断路,则故障点必在此端.假设此时左端断路,则检查 号中间的接点,即第4号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为故障 点,检查完毕；若其中一端为断路,则故障点必在此端.假设此时左端断路,则 检查 号中间的接点,即第2号接点,若此时两端都是通路,则此接点即为 故障点；若左端断路,则故障点为第1号接点；若右端断路,则故障点为第3 号接点,到此检查完毕. 返回导航 PART 02 课堂巩固 自测 24 1.已知函数的图象如图，则 零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( ) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 解析：选D.图象与 轴有4个交点，所以零点的个数为4；左、右两侧函数 值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3. √ 返回导航 25 2.用二分法求函数 的零点时,第一次所取的区间可选为( ) A. B. C. D. 解析：选C.,,, , ,则,即初始区间可选 . 3.已知函数， ，用二分法逐次计算时，若 是的中点，则 _________. 解析：由题意，， . √ 返回导航 26 4.用二分法求函数 的一个零点,其参考数据如下： 的近似值 0.200 0.133 0.067 0.003 据此数据,可得方程的一个近似解（精确到 ）可取 ______.（答案不唯一） 1.56 解析：由题知,,因为与 精 确到0.01的近似值都为 ,所以原方程的一个近似解可取1.56. 返回导航 27 1.已学习：（1）二分法的概念. （2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解. 2.须贯通：（1）化归思想：把求方程 的近似解转化为求函数 的近似零点. （2）逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的 数学思想. 3.应注意：并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足条件： （1）在区间 上的图象连续不间断； （2） 的函数方可采用二分法求得零点的近似值. 返回导航 28 $