8.1 培优课　函数零点的综合问题同步练-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点综合应用，分层设计从基础判断到复杂参数讨论，梯度合理，通过选择、填空、解答题递进巩固知识，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|零点存在性定理、简单函数零点计算|单选1-5（如第2题零点区间判断）、填空8-10（如第10题零点所在区间确定），夯实概念理解| |能力提升|函数性质与零点综合（奇偶性、单调性）、二次函数零点分布|多选6-7（如第7题二次函数零点与函数值关系推理）、解答11（1）（2）（零点求解析式及不等式求解），培养推理能力| |综合应用|导数应用、参数讨论、二分法|解答11（3）（闭区间值域）、12题（含参函数零点），第1题导数判断零点个数，提升复杂情境问题解决能力|

培优课　函数零点的综合问题 1. 函数f(x) = x³ + ax + 2存在3个零点，则a的取值范围是（　　） A. (-∞，-2) B. (-∞，-3) C. (-4，-1) D. (-3，0) 2. 函数的零点一定位于下列哪个区间（　　） A.  B.  C.  D.  3.二次函数f（x）＝x2＋（m－3）x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜2＜x2，如图所示，则m的取值范围是（　　） A.m＞0 B.m＞ C.m＞5 D.0＜m＜ 4.  已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（　　）   A．  B．  C．2 D．4 5. 在下列区间中，函数一定存在零点的有（　　） A.  B.  C.  D.  6.（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　） A.  B.  C.  D.  7.（多选）已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（　　） A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0 C.f（2）＜0 D.f（3）＜0 8. 函数的所有零点之和为　　　　. 9. 已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值 (精确度为0.01) ，则应将区间至少等分的次数为　　　　. 10. 若函数f(x)=ln x + x - 3的零点在区间(k, k + 1)，k∈Z内，则k = 　　　　. 11. 已知1与3是函数f (x) = x² + bx + c的两个零点. （1）求f (x)的解析式; （2）若f (x) ≤ 0，求x的取值范围. （3） 若x[-2, 5] ， 求函数f (x)的值域. 12. (2025秋·拱墅区校级月考) 函数. (1) 若, 求函数的零点; (2) 若函数在有两个不同的零点. 培优课　函数零点的综合问题 1.B　由题意得f'(x)= 3x² + a ∵f(x)= x³ + ax + 2有三个零点，∴f(x)有极大值和极小值且异号，∴a < 0. 令f'(x)= 0，解得x₁ = -√(-a/3)，x₂ = √(-a/3)，∴f(x₁)·f(x₂)=(a/3√(-a/3) - a√(-a/3) + 2)·(-a/3√(-a/3) + a√(-a/3) + 2) < 0，解得a < -3 故选：B. 2.C　因为函数的图象连续不断，且，，，，根据零点存在性定理可知函数的零点一定位于区间内. 故答案为：C. 3.D　由题意可得即解得0＜m＜.故选D. 4.A　根据题意，对任意，都有，则．因为是定义在上的单调函数，所以为定值，令，，则，由，得，，又因为在上单调递增，所以是唯一解，则，由，得，则函数的零点为．故答案为：A. 5.B　由题意，得函数在以上区间都连续，因为，，，，，又因为，所以函数在区间内不一定存在零点. 因为，根据函数零点存在定理，所以函数在区间内一定存在零点， 又因为，所以函数在区间内不一定存在零点. 因为，所以函数在区间内不一定存在零点. 综上所得，函数在区间内一定存在零点. 故答案为：B. 6.BC　对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误；对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称. 又，所以是偶函数. 而，所以是偶函数又存在零点，故B正确；对于C，由，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数. 而，所以存在零点. 所以是偶函数又存在零点，故C正确；对于D，由，解得，所以的定义域为. 所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误. 故答案为：BC. 7.CD　函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B错误；由图可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1＜2，x2＝6＞3，此时－＝，所以此时2＜－＜3不成立.故A错误.故选C、D. 8.-2　解析： 由函数, 可知, 令, 得, 令, 即, 令, 由在时单调递减, 在时单调递减, 所以与图像只有两个点,方程有两根, 假设, 可得. 又因为, 所以, 所以, 则. 故答案为: -2 . 9.7　解析：由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的，由题意可得，可得，且，所以，正整数的最小值为7，即至少等分的次数为7.故答案为：7. 10.2　解析：因为f(x)=ln x + x - 3，所以f(x)=ln x + x - 3在(0, +∞)上单调递增，又f(1)=ln 1 + 1 - 3 = -2，f(2)=ln 2 + 2 - 3 = ln 2 - 1 < 0，f(3)=ln 3 + 3 - 3 = ln 3 > 0，所以函数f(x)=ln x + x - 3在(2, 3)上有唯一零点，所以k = 2；故答案为：2. 11.解：（1）由已知得解得所以解析式为f(x) = x² - 4x + 3. （2）由x - 4x + 3 ≤ 0解得1 ≤ x ≤ 3 ，所以x的取值范围为[1, 3]. (3) 因为f(x) = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1 ，结合图象可得函数f (x)的值域为[-1 15]. 12.解：（1） 或. （2）①; ②设,,, 解得, , 整理得, ,, 即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $