8.1.1　函数的零点同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第8章　函数应用 8.1　二分法与求方程近似解 8.1.1　函数的零点 基础过关练 题组一　函数的零点与方程的根 1.下列函数有变号零点的是(　　) A. f(x)=3x　　　　 B. f(x)=x2 C. f(x)=log3x　　　　D. f(x)= 2.函数f(x)=log2x-log4(x+20)的零点为(　　) A.4　　　　B.4或5　　　　 C.5　　　　D.-4或5 3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是　　　　.  题组二　函数零点(方程根)所在的区间 4.已知函数f(x)=(2m-1)xm为幂函数,若函数g(x)=ln x+2f(x)-6,则g(x)的零点所在的区间为(　　) A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　 C.(2,3)　　　　D.(3,4) 5.方程2x+1-x=5的正数解所在的区间是(　　) A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　 C.(2,3)　　　　D.(3,4) 6.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　) A.(3,4)　　　　B.(2,3)　　　　 C.(1,2)　　　　D.(0,1) 题组三　确定零点的个数 7.(教材习题改编)对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则　(　　) A.方程f(x)=0一定有实数解 B.方程f(x)=0一定无实数解 C.方程f(x)=0一定有两个实数解 D.方程f(x)=0可能无实数解 8.函数f(x)=x2+ln x-2 023的零点个数是(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 9.已知函数f(x)=若实数m∈(0,1),则方程f(x)-m=0的不同实根个数为(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 题组四　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围 10.若二次函数f(x)=x2-2mx-5在区间(3,4)上存在一个零点,则实数m的取值范围是(　　) A.<m<　　　　B.m< C.m>　　　　D.m<或m> 11.(教材习题改编)关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内,则k的值为　　(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 12.若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围是　　　　.  13.若关于x的方程x2-4|x|-5=k+1有两个解,则实数k的取值范围是　　　　.  能力提升练 题组一　函数的零点与方程的根 1.(多选题)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的有(　　) A.x0∈　　　　B.ln(4-2x0)=x0 C.>1　　　　D.2x0+1->0 2.(多选题)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则下列结论中错误的是(　　) A.-1<x2≤-　　　　B.-1≤m<0 C.x1x2=　　　　D.x3+x4=2 3.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为　　　　.  题组二　函数零点的个数及应用 4.(多选题) 已知函数f(x)=则下列结论正确的有(　　) A.∀x∈R, f(x)≥-3 B.函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点 C.方程f(x)+f(-x)=0有唯一的解 D.直线y=-x与函数y=f(x)的图象有3个交点 5.已知函数f(x)=则函数y=(f(x))2-3f(x)+2的零点个数是(　　) A.6　　　　B.5　　　　 C.4　　　　D.3 6.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-ln x)=1+e,则方程xf(x)-2x-1=0的解的个数为(　　) A.0　　　　B.1　　　　 C.2　　　　D.3 题组三　根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围 7.已知f(x)为偶函数,对任意的实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=x3.若函数f(x)的图象与函数g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则a的取值范围是(　　) A.(3,5)　　　　B.(3,5]　　　　 C.(5,7)　　　　D.(5,7] 8.已知函数f(x)=则“-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的(　　) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.已知函数f(x)=若关于x的方程(f(x))2-3f(x)+a=0(a∈R)有8个不相等的实数根,则实数a的取值范围是(　　) A.　　　　B.(2,3)　　　　 C.　　　　D. 答案与分层梯度式解析 基础过关练 1.C　对于A,函数f(x)=3x>0恒成立,不存在零点,故A不符合题意;对于B,函数f(x)=x2存在零点x=0,但当x<0时, f(x)>0,当x>0时, f(x)>0,不是变号零点,故B不符合题意;对于C,函数f(x)=log3x存在零点x=1,且当0<x<1时, f(x)<0,当x>1时, f(x)>0,故C符合题意;对于D,函数f(x)=不存在零点,故D不符合题意. 2.C　由题意得解得x>0, 所以f(x)的定义域为(0,+∞). 令f(x)=log2x-log4(x+20)=0,得log2x=log4(x+20),即log2x=log2. 因为函数y=log2x在定义域内单调递增,所以x=,整理,得x2-x-20=0,解得x=5或x=-4,又x>0,所以x=5. 易错警示　函数的零点必须在其定义域内. 3.答案　-1和4 解析　依题意,得或 所以x=-1或x=4. 4.C　因为函数f(x)=(2m-1)xm为幂函数,所以2m-1=1,得m=1,所以f(x)=x,所以g(x)=ln x+2x-6, 易得g(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上单调递增, 因为g(1)=-4<0,g(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,g(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,g(4)=ln 4+2>0, 所以g(x)的零点所在的区间为(2,3). 5.B　方程2x+1-x=5的解,即曲线y=2x+1与直线y=x+5的交点的横坐标. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x+1,y=x+5的图象,如图所示. 设f(x)=2x+1-x-5,则f(0)=-3<0, f(1)=-2<0, f(2)=1>0. 因为f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2),即方程2x+1-x=5的正数解所在的区间是(1,2). 6.B　f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1}, 当x∈(0,1)时, f(x)=ln x-<0恒成立,不存在零点,排除D; 当x∈(1,+∞)时, f(x)=ln x-,因为f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0, 且f(x)在(1,+∞)上的图象是不间断的,所以f(x)的零点所在的区间是(2,3). 解题模板　判断函数零点所在区间,要根据函数解析式,借助函数的图象,综合运用函数的值域、单调性,判断函数零点的个数,再结合函数零点存在定理判断零点所在的区间. 7.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解. 8.A　易知函数f(x)的定义域为(0,+∞). 因为函数y=x2-2 023与函数y=ln x在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 又f(1)=1-2 023=-2 022<0, f(50)=502+ln 50-2 023=2 500-2 023+ln 50=477+ln 50>0, 所以f(1)f(50)<0,根据零点存在定理, f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一的零点, 所以函数f(x)的零点个数是1. 9.D　由f(x)-m=0,得f(x)=m. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)与y=m的图象,如图所示. 由图可知,两函数图象有3个交点,所以方程f(x)-m=0的不同实根个数为3. 方法技巧　对于函数零点(方程根)的个数问题,数形结合是解决问题的有效方法,必要时对方程变形,转化为两个函数的图象的交点个数问题. 10.A　由题意得, f(3)f(4)<0,即(4-6m)(11-8m)<0,解得<m<, 所以实数m的取值范围是<m<. 11.A　关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内可转化为函数f(x)=sin x+x-3的唯一零点在区间(k∈Z)内 破题关键,又f(2)=sin 2+2-3=sin 2-1<0,且f=sin+-3>sin+-3=0,  故由函数零点存在定理,得f(x)在区间上有零点,因此k=2. 12.答案　 解析　根据题意,若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,则有解得1<a<,即a的取值范围是. 13.答案　(-6,+∞)∪{-10} 解析　令f(x)=x2-4|x|-5,则方程x2-4|x|-5=k+1有两个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=k+1有两个不同的交点.当x≥0时, f(x)=x2-4x-5=(x-2)2-9; 当x<0时, f(x)=x2+4x-5=(x+2)2-9. 作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,需满足k+1>-5或k+1=-9,解得k>-6或k=-10. 能力提升练 1.ABD　易知函数f(x)在R上单调递增, f =-3<0, f(1)=e-2>0,所以x0∈,故A正确. 因为x0是函数f(x)的零点,所以+2x0-4=0,即=4-2x0,又x0∈,所以ln(4-2x0)=x0,故B正确. 由A知x0∈,所以<<1,故C错误. 2x0+1-=2x0+1-==>0,故D正确. 2.BCD　因为函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点, 所以f(x)=m有4个不同的解,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的交点, 作出函数y=f(x)的图象,如图所示: 当x=0时, f(0)=1,由图象可得,0<m≤1,故B中结论错误; 由|ln(-x)|=1,得x=-或x=-e,所以由图象可得-1<x2≤-,故A中结论正确; 由题及上述可得,|ln(-x1)|=|ln(-x2)|,-e≤x1<-1,-1<x2≤-,故ln(-x1)=-ln(-x2),即ln(x1x2)=0,所以x1x2=1,故C中结论错误; 由图象可得,x3,x4关于直线x=2对称,所以x3+x4=4,故D中结论错误. 3.答案　{-1,1,4} 解析　由f(f(x))-1=0,得或解得f(x)=0或f(x)=2, 所以或或或 解得x=-1或x=1或x=4. 故函数y=f(f(x))-1的所有零点构成的集合为{-1,1,4}. 4.ABD　对于A,作出函数y=f(x)的图象如图①所示: 由图①可知,∀x∈R, f(x)≥f(2)=-3,故A正确; 对于B,当g(x)=0时, f(x)=sin x-1,则函数g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=sin x-1的图象的交点个数,令h(x)=sin x-1. 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=h(x)的图象如图②所示: 由图②可知,函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点,故B正确; 对于C,根据题意,得-f(-x)= 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象如图③所示: 由图③可知,函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象有4个交点,即方程f(x)=-f(-x)有4个不同的解,故C错误; 对于D,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=-x,如图④所示: 由图④可知,直线y=-x与函数y=f(x)的图象有3个交点,故D正确. 5.C　令y=(f(x))2-3f(x)+2=[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2. 作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,方程f(x)=1的解的个数为1,方程f(x)=2的解的个数为3,所以函数y=(f(x))2-3f(x)+2的零点个数为4. 6.B　设t=f(x)-ln x,则f(t)=1+e. 对于t=f(x)-ln x,令x=t,得f(t)=ln t+t. 易知f(t)在(0,+∞)上单调递增, f(e)=1+e,所以t=e,所以f(x)=ln x+e, 所以xf(x)-2x-1=0,即x(ln x+e)-2x-1=0,两边同时除以x,得ln x-+e-2=0.设g(x)=ln x-+e-2(x>0), 易知g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=e-3<0,g(e)=e--1>0, 所以g(x)在(1,e)上有唯一零点,即方程xf(x)-2x-1=0的解的个数为1. 7.A　因为f(x)为偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x3, 所以当x∈[-1,0]时, f(x)=-x3. 又f(x+2)=f(x), 所以f(x)的周期为2. 易得g(x)=log a|x|为偶函数,所以要想f(x)的图象与g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,只需f(x)的图象与函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象有3个交点 破题关键.令h(x)=logax(a>0,且a≠1),由题意可知,a>1,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和h(x)的图象,如图所示: 由图可得,若函数f(x)和h(x)的图象有3个交点,则需h(3)=loga3<1=f(1),h(5)=loga5>1=f(5),故3<a<5. 8.B　当x<0时,令2×3x-a-5=0,得a=2×3x-5,当x≥0时,令ln(x2-4x-a)=0,得a=x2-4x-1,所以函数f(x)=有3个零点可转化为直线y=a与函数y=的图象有3个交点. 作出函数y=的图象,如图所示. 由图可知,当-5<a<-3时,直线y=a与函数y=的图象有3个交点. 因为x2-4x-a>0对任意的x∈[0,+∞)恒成立(易错点), 所以x2-4x>a对任意的x∈[0,+∞)恒成立, 对于函数y=x2-4x=(x-2)2-4,当x=2时,ymin=-4, 所以a<-4. 综上,当-5<a<-4时,函数f(x)有3个零点. 所以“-5<a<-3”是“f(x)有3个零点”的必要不充分条件. 方法技巧　已知函数零点的情况求参数的取值范围的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的关系式,通过关系式确定参数的取值范围. (2)分离参数法:将参数分离,转化成求函数的值域问题. (3)数形结合法:先对函数解析式变形,然后在平面直角坐标系中画出函数的图象,通过数形结合求解. 9.D　作出函数f(x)的图象,如图所示. 令t=f(x),则由(f(x))2-3f(x)+a=0,得t2-3t+a=0. 因为关于x的方程(f(x))2-3f(x)+a=0(a∈R)有8个不相等的实数根,所以t2-3t+a=0必须有两个不相等的实数根,且这两根均在区间(1,2)内, 设g(t)=t2-3t+a,则解得2<a<. 故实数a的取值范围是. 41 学科网（北京）股份有限公司 $$