2.4.2圆的一般方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 围绕“圆的一般方程”设计基础巩固、中档应用、提升综合三级梯度，覆盖从概念理解到轨迹问题、综合建模的完整路径，适配新授课知识内化与数学思维初步培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的一般方程条件、半径计算、点与圆位置关系|单选题1-5、填空题12-14直接考查概念，强化数学语言表达| |中档|圆的对称性、轨迹问题、综合判断|多选题10-11、填空题15-17结合性质应用，培养逻辑推理| |提升|三角形外接圆、动点最值综合应用|解答题18-21需多步建模，发展数学眼光与问题解决能力|

2.4.2 圆的一般方程 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 5．点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆关于直线对称，则（   ） A．4 B． C．2 D． 7．已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值的和为（   ） A．160 B．158 C． D． 8．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 9．已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 11．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 三、填空题 12．圆的半径为________． 13．若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 14．曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 15．若直线与两坐标轴的交点为A，B，则过A、B及原点O三点的圆的方程是________． 16．已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 17．已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________. 四、解答题 18．已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 19．已知的三个顶点分别为，，． (1)求的面积； (2)求的外接圆的标准方程． 20．已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 21．已知直线与圆 (1)求点到直线的距离； (2)若三个点在圆上，求该圆的圆心和半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.4.2 圆的一般方程 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C A A A B ABD 题号 11 答案 BCD 1．A 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．B 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 3．C 【知识点】圆的弧长、面积、圆心角等计算、由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积. 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积. 4．C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 5．C 【知识点】点与圆的位置关系求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 6．A 【知识点】圆的对称性的应用、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 7．A 【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】利用两点距离公式，结合圆的性质计算即可. 【详解】不妨设，则， 且 ， 显然最大值和最小值的和为. 故选：A 8．A 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 9．B 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 10．ABD 【知识点】圆的对称性的应用、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、判断点与圆的位置关系 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 11．BCD 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、直线的点斜式方程及辨析、由斜率判断两条直线平行、直线斜率的定义 【分析】当直线斜率不存在时可判断A，利用圆的标准方程可判断B，利用两点式直线方程可判断C，利用直线的斜率和截距满足的条件可判断D. 【详解】若两条直线互相平行，当它们垂直于轴时，斜率不存在，故A错误； 由可得，即圆心为，半径为，故B正确； 方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 若直线不经过第二象限，则， 解得，故D正确. 故选：BCD 12． 2 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程通过配方转化为标准方程，即可求解半径. 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. 13． 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 14． 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 15． 【知识点】求圆的一般方程、求直线交点坐标、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的方程，代入三点即可求出. 【详解】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 16． 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 17． 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】判断出两圆外离，根据求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以圆与圆外离，    所以. 故答案为： 18．(1) (2) 【知识点】求圆的一般方程、平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 19．(1) (2) 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）方法一：求直线的方程，算点到直线的距离，计算的长度，最后代入面积公式计算即可； 方法二：计算的斜率，判定垂直关系，定直角边长度最后代入直角三角形面积公式计算即可. （2）方法一：设圆的一般方程，代入三点坐标得方程组，求解系数，最后配方转化为标准方程即可； 方法二：判定为直角三角形，确定斜边为外接圆直径，求斜边中点（圆心）和半径，最后写出标准方程即可. 【详解】（1）方法一：根据已知条件，所在直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 又， 故的面积. 方法二：根据已知条件，，， 则有，所以， 所以为直角三角形，为其直角边， 而， ， 故的面积. （2）方法一：设的外接圆方程为. 将，，代入， 得，解得， 所以的外接圆方程为， 其标准方程为. 方法二：由（1）可知为直角三角形，为其斜边， 则的外接圆直径即为， 由已知可得，的中点为，即圆心为， 又半径， 故的外接圆的标准方程为. 20．(1) (2) 【知识点】求圆的一般方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 21．(1)； (2)圆心为，半径为. 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）应用点线距离公式求距离； （2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】（1）由题设，点到直线的距离为； （2）由题设，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $