8.1.1　函数的零点 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数零点概念与应用，通过基础辨析、进阶运算到综合探究的三层设计，培养数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配新授课知识巩固与能力梯度提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-6题）|零点定义、存在性定理、概念辨析|单选直接求零点（如第1题），多选辨析零点本质（如第6题），强化数学抽象与推理意识| |进阶层（7-9题）|零点个数判断、方程转化|构造符合奇偶性的零点函数（第7题），结合绝对值与对数函数图象判零点（第8题），提升运算能力与几何直观| |综合层（10-15题）|含参零点、函数性质综合应用|解答题求零点（第10题），结合单调性与奇偶性分析零点（第11题），参数范围探究（第15题），发展数学建模与问题解决能力|

8.1.1　函数的零点 1.函数f（x）＝lg｜x｜的零点是（　　） A.（1，0） B.（1，0）和（－1，0） C.1 D.1和－1 2.函数f（x）＝2x－3的零点所在的区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 3.函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　） A.（1，3） B.（1，2） C.（0，3） D.（0，2） 4.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f（x） 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.（多选）下列函数存在零点的是（　　） A.y＝x－ B.y＝ C.y＝logax2（a＞0且a≠1） D.y＝ 6.（多选）下列说法中正确的是（　　） A.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为（－1，0） B.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1 C.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点 D.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标 7.请写出同时满足以下条件的一个函数：　　　　. ①该函数的定义域是R，且其图象是一条连续不断的曲线； ②该函数是偶函数； ③该函数恰有2个零点. 8.函数f（x）＝｜x－2｜－ln x的零点的个数为　　　　. 9.函数f（x）＝9x－3x＋1－10的零点为　　　　. 10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点： （1）f（x）＝－x2＋2x－1； （2）f（x）＝x4－x2； （3）f（x）＝4x＋5； （4）f（x）＝log3（x＋1）. 11.若函数f（x）在定义域{x｜x∈R且x≠0}上是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，则函数f（x）的零点（　　 ） A.只有一个 B.只有两个 C.至少有两个 D.无法判断 12.（多选）已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　 ） A.方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解 B.方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解 C.方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解 D.方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解 13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.（用“＜”连接） 14.已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g（x）＝ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间. 15.已知函数f（x）＝2a·4x－2x－1. （1）当a＝1时，求函数f（x）的零点； （2）若f（x）有零点，求a的取值范围. 8.1.1　函数的零点 1.D　函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，令f（x）＝0，则lg｜x｜＝0，解得x＝±1，即函数f（x）的零点是1和－1. 2.B　因为f（1）＝2－3＝－1＜0，f（2）＝4－3＝1＞0，所以f（1）·f（2）＜0，即f（x）的零点所在的区间为（1，2）. 3.C　由条件可知f（1）f（2）＜0，即（2－2－a）（4－1－a）＜0，即a（a－3）＜0，解得0＜a＜3.故选C. 4.B　由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点. 5.ABC　令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点. 6.BD　根据函数零点的定义，可知f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.因此B、D正确. 7.f（x）＝x2－1（答案不唯一）　 解析：因为函数为定义在R上的偶函数，且恰有两个零点，故可取f（x）＝x2－1（答案不唯一）. 8.2　解析：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），函数f（x）在（0，＋∞）内的零点就是方程｜x－2｜－ln x＝0的根.令y1＝｜x－2｜，y2＝ln x（x＞0），在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程｜x－2｜－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点. 9.log35　解析：由f（x）＝9x－3x＋1－10＝0得（3x）2－3·3x－10＝0，即（3x＋2）·（3x－5）＝0，∵3x＞0，∴3x－5＝0，解得x＝log35，即函数零点为log35. 10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x＝1， 所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1. （2）令x4－x2＝0，即x2（x－1）（x＋1）＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝－1， 故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1. （3）令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点. （4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0， 所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0. 11.B　因为f（x）在（0，＋∞）上单调递减，f（2）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上有且仅有一个零点2.又f（x）是偶函数，所以f（x）在（－∞，0）上有且仅有一个零点－2.故函数f（x）只有两个零点－2和2. 12.AD　设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个.故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确. 13.a＜b＜c　解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c. 14.解：∵－1和2是函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点， ∴－1和2是x2＋ax＋b＝0的两个实数解， ∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2. ∴g（x）＝－x3－2x＋4. ∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0， ∴g（x）在区间（1，2）内有零点. 又∵g（x）在R上是单调函数， ∴g（x）只有一个零点. 综上可知，函数g（x）的零点所在的大致区间为（1，2）. 15.解：（1）当a＝1时，f（x）＝2·4x－2x－1. 令f（x）＝0，即2·（2x）2－2x－1＝0， 解得2x＝1或2x＝－（舍去）.∴x＝0， ∴函数f（x）的零点为0. （2）若f（x）有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解，于是2a＝＝（）x＋（）x， 令（）x＝t，则g（t）＝t＋t2＝（t＋）2－. ∵t＞0，∴g（t）在（0，＋∞）上单调递增，其值域为（0，＋∞）， ∴2a＞0，∴a＞0，即a的取值范围是（0，＋∞）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $