7.4　三角函数应用课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数的实际应用，核心知识点为简谐运动的三角函数模型及振幅、周期、频率等概念。课堂通过弹簧振子、钟摆等生活周期运动实例导入，以问题引导学生从已学三角函数知识过渡到实际应用模型，搭建学习支架。 其亮点在于紧扣数学建模与数学运算核心素养，通过单摆运动、摩天轮高度等物理及生活实例，结合“通性通法”总结应用问题解决步骤，培养学生用数学思维分析现实问题的能力。学生能提升建模与运算能力，教师可借助系统实例与方法总结优化教学。

7.4　三角函数应用 新课程标准解读 核心素养 1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数 学运算 2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的 数学模型 数学建模、数 学运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的振动等.这些都是物体在某一中心位置附近 做循环往复的运动. 在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 y ＝ A sin （ω x ＋ φ）， A ＞0，ω＞0描述.描述简谐运动的物理量如振幅、周期和频率 等都与这个解析式中的常数有关. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　（1）物理学中，这种“物体在某一中心位置附近做循环 往复的运动”称为什么运动？ 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）在适当的坐标系下，简谐运动可以用什么函数模型表示？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　简谐运动 简谐运动（单摆、弹簧振子等）是一种周期运动，其运动规律可以用 三角函数表达为 y ＝ A sin （ω x ＋φ），其中， x 表示 ， y 表 示相对于 的偏离： （1） A 表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为 ⁠； （2）往复运动一次所需的时间 T ＝ 称为这个运动的 ⁠； （3）单位时间内往复运动的次数 f ＝ ＝ 称为运动的 ⁠； （4）ω x ＋φ称为 ， x ＝0时的相位φ称为 ⁠. 时间　 平衡位置　 振幅　 周期　 频率　 相位　 初相位　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 y ＝ sin 的周期、振幅、初相位分别是（　　） 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 电流强度 I （单位：A）随时间 t （单位：s）变化的关系式是 I ＝5 sin ，则当 t ＝ 时，电流强度为（　　） A. 1.5 A B. 2.5 A C. 3.5 A D. 4.5 A 解析： 　将 t ＝ 代入 I ＝5 sin ，得 I ＝2.5，故电流 强度为2.5 A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 函数 y ＝3 sin 的频率为 　 　. 解析： f ＝ ＝ ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 三角函数模型在物理中的应用 【例1】　（链接教科书第214页例1）一根细线的一端固定，另一端 悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移 s （单位：厘 米）与时间 t （单位：秒）的函数关系是 s ＝6 sin . 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）画出它在一个周期内的图象； 解：周期 T ＝ ＝1（秒）.列表： π 2π t 0 1 3 6 0 －6 0 3 描点画图，如图所示. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）回答以下问题： ①小球开始摆动（ t ＝0）时，离开平衡位置多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多长时间？ 解：①当 t ＝0时， s ＝6 sin ＝3，故小球开始摆动（ t ＝0） 时，离开平衡位置3厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米. ③小球来回摆动一次需要1秒（即周期）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同 的特点是具有周期性； （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概 念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知简谐运动 f （ x ）＝2 sin 的图象经过点 （0，1），则该简谐运动的最小正周期 T 和初相位φ分别为 ⁠. 解析： T ＝ ＝ ＝6，∵图象过点（0，1），∴ sin φ＝ .∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝ . 6， 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置（静止时的位 置）的距离 h （cm）与时间 t （s）的函数关系式为 h ＝3 sin . （1）求小球开始振动的位置； 解：令 t ＝0，得 h ＝3 sin ＝ ，所以开始振动的位置为 . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标. 解：由题意知，当 h ＝3时， t 的最小值为 ，即所求最高点为 ； 当 h ＝－3时， t 的最小值为 ，即所求最低点为 . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 三角函数模型在生活中的应用 【例2】　（链接教科书第215页例2）如图，游乐场中的摩天轮匀速 旋转，每转一圈需要12分钟，其中心 O 距离地面40.5米，半径40米. 如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而 变化，从你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题. 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）求出你与地面的距离 y （单位：米）与时间 t （单位：分钟）之 间的函数解析式； 解：如图，建立直角坐标系，设 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B ， 由摩天轮的半径为40米，其中心 O 距离地面 40.5米，∴ A ＝40， B ＝40.5， 又摩天轮每转一圈需要12分钟，∴ T ＝12， ∴ω＝ ，又从最低处登上摩天轮，∴φ＝－ ， 故所求的函数解析式为 y ＝40 sin （ t － ）＋40.5＝－40 cos t ＋40.5（ t ≥0）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）当你第四次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解：令 y ＝40.5－40 cos t ＝60.5， 得 cos t ＝－ ， ∴ t ＝ π＋2 k π， k ∈Z或 t ＝ π＋2 k π， k ∈Z， 解得 t ＝4＋12 k ， k ∈Z或 t ＝8＋12 k ， k ∈Z， 又∵ t ≥0，故第四次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20（分 钟）. 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天 轮，问：你的朋友登上摩天轮多长时间后，你和你的朋友与地 面的距离之差最大？并求出最大值. 解：与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上 方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你 恰好在你的朋友的正上方；再过半个周期时，恰相反，故过（6 k ＋2）（ k ∈N）分钟后，你和你的朋友与地面的距离之差最 大，最大值为40米. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 解三角函数应用问题的基本步骤 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因 此第 n 个月的月平均最高气温 G （ n ）可近似地用函数 G （ n ）＝ A cos （ω n ＋φ）＋ k 来刻画，其中正整数 n 表示月份且 n ∈[1，12]，例 如 n ＝1表示1月份， A 和 k 是正整数，ω＞0，φ∈（0，π）.统计发 现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平 均最高气温为3 ℃，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月 递增，直到7月份达到最高，为33 ℃. 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）求 G （ n ）的解析式； 解：因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气 温最高， 所以最小正周期 T ＝2×（7－1）＝12， 所以ω＝ ＝ ，所以 cos （ ＋φ）＝－1， cos （ ＋φ）＝1. 因为φ∈（0，π），所以φ＝ . 因为1月份的月平均最高气温为3 ℃，7月份的月平均最高气温为 33 ℃，所以－ A ＋ k ＝3， A ＋ k ＝33，所以 A ＝15， k ＝18. 所以 G （ n ）的解析式为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n 为正整数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，求一年 中该植物在该地区可生存的月份数. 解：因为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n 为正整数， 所以 G （ n ）在区间[1，7]上单调递增，在区间[7，12]上单调 递减. 目录 数学·必修第一册（SJ） 因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，且 G （3）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝10.5， G （4）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝18， 所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存. 又 G （10）＝ G （4）＝18， G （11）＝ G （3）＝10.5， 所以该植物在11月份、12月份也可生存. 即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 三角函数模型的拟合 【例3】　（链接教科书第217页习题7题）连云港连岛大沙湾海水浴 场位于连岛中部，沙滩长约1 800米，平均宽约150米，是江苏省最大 的海滨浴场，其沙滩沙质细腻，海水洁净，水温适中，也是华东地区 屈指可数的健康型海水浴场之一.某“帆板”集训队在该海滨区域进 行集训，该海滨区域的海浪高度 y （米）随着时间 t （0≤ t ≤24，单 位：时）呈周期性变化，每天各时刻 t 的浪高数据的平均值如下表： t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y （米） 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）试在图中描出所给点； 解：描出所给点如图所示. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：由（1）知选择 y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b 作为函数模型 较合适. 令 A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜π. 由图知， A ＝0.4， b ＝1， T ＝12，所以ω＝ ＝ . 把 t ＝0， y ＝1代入 y ＝0.4 sin ＋1，得φ＝0. 故所求拟合模型的解析式为 y ＝0.4 sin t ＋1（0≤ t ≤24）. （2）观察图象，从 y ＝ at ＋ b ， y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b ， y ＝ A cos （ω t ＋φ）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解 析式； 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才 进行训练，试安排恰当的训练时间. 解：由 y ＝0.4 sin t ＋1≥0.8，则 sin t ≥－ ， 则－ ＋2 k π≤ ≤ ＋2 k π（ k ∈Z）， 即12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z）， 注意到 t ∈[0，24]，所以0≤ t ≤7，或11≤ t ≤19，或23≤ t ≤24. 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 处理曲线拟合与预测问题的一般步骤 （1）根据原始数据绘出散点图； （2）通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合 直线或拟合曲线； （3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式； （4）利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便 为决策和管理提供依据. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　一物体相对于某一固定位置的位移 y （cm）和时间 t （s）之间的一 组对应值如下表所示，求可近似地描述该物体的位置 y 和时间 t 之间的 关系的一个三角函数式. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：设 y ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），则从表中数据可以得 到 A ＝4，ω＝ ＝ ＝ ， 又由4 sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取φ＝－ ，故 y ＝4 sin （ t － ），即 y ＝－4 cos t . 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知 f （ x ）＝2 sin ，则下列说法错误的是（　　） A. 振幅是2 C. 图象有无数个对称中心 D. 是奇函数 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、 OB 为终边的角 θ（－π＜θ＜π）与时间 t （s）满足函数关系式θ＝ sin （2 t ＋ ），则当 t ＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是（　　） D. 2，π 解析： 　当 t ＝0时，θ＝ sin ＝ ，由函数解析式易知单摆的周 期为 ＝π，故单摆的频率为 . 目录 数学·必修第一册（SJ）   h ＝ －6 sin t （0≤ t ≤24）　 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：设 h ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），由图象知 A ＝6， T ＝12，∴ ＝12，得ω＝ ＝ .点（6，0）为“五点法”作图中 的“第一点”，故 ×6＋φ＝0，得φ＝－π，∴ h ＝6 sin ＝－6 sin t （0≤ t ≤24）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $