7.2.2　第2课时　同角三角函数关系的应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本同步练聚焦同角三角函数关系应用，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，实现从单一公式运算到数学探究的进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|同角三角函数基本公式直接应用（如tanα计算、sin²θ+cos²θ=1）|选择填空为主，强调公式记忆与基本运算| |提升层|综合应用（结合三角形内角、单位圆坐标）|解答题与多选题结合，培养逻辑推理与综合分析能力| |拓展层|探究性问题（证明、规律推测）|开放题设计，发展数学思维与创新意识，衔接后续公式学习|

第2课时　同角三角函数关系的应用 1.已知＝，则tan α＝（　　） A.0 B.1 C.－ D.－3 2.若tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ＝（　　） A.10 B.± C.2 D. 3.已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝，那么这个三角形的形状为（　　） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.若α∈（0，），tan α＝，则tan α＝（　　） A. B.1 C. D. 5.已知＝5，则sin2α－sin αcos α＝（　　） A. B.－ C.－2 D.2 6.（多选）下列计算或化简结果正确的是（　　） A.＝2 B.若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋＝2 C.若tan x＝，则＝1 D.若α为第一象限角，则＋＝2 7.化简＝　　　　. 8.已知cos θ＝，则sin θ（tan θ＋）＝　　　　. 9.若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝　　　　. 10.已知角θ的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点P（x，y），若点P位于x轴上方且x＋y＝. （1）求sin θ－cos θ的值； （2）求sin4θ＋cos4θ的值. 11.若＝2，则（cos θ＋3）（sin θ＋1）＝（　　） A.0 B.2 C.4 D.0或4 12.（多选）已知sin θcos θ＝，｜sin θ｜＝－sin θ，则下列选项正确的有（　　） A.是第二象限角 B.sin θ＋cos θ＝－ C.sin θ－cos θ＝ D.tan θ＝或3 13.若sin θ，cos θ是关于x为未知数方程x2－ax＋a＝0的两个实数根，则实数a的值为　　　　. 14.已知x∈（，π）. （1）化简：cos x； （2）若sin x＋cos x＝，求－tan x的值. 15.（1）计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？ （2）计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？ （3）证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x； （4）推测：x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明. 第2课时　同角三角函数关系的应用 1.C　上下同除以cos α得＝，解得tan α＝－. 2.D　已知tan θ＝2，则2sin2θ－3sin θcos θ＝＝＝＝.故选D. 3.B　由sin α＋cos α＝，得2sin αcos α＝－，又∵α∈（0，π），∴sin α＞0，cos α＜0，∴α为钝角，故选B. 4.C　因为tan α＝，所以＝，即2sin α－sin2α＝cos2α，所以2sin α＝sin2α＋cos2α＝1，即sin α＝，又因为α∈（0，），所以cos α＝，则tan α＝. 5.A　由＝5得sin α＋3cos α＝5（3cos α－sin α），即sin α＝2cos α，所以tan α＝2，所以sin2α－sin αcos α＝＝＝＝. 6.ABD　A正确，＝·＝2；B正确，tan θ＋＝＋＝＝2；C不正确，＝＝＝2；D正确，∵α为第一象限角，∴原式＝＋＝2.故选A、B、D. 7.cos 20°　解析：＝＝＝＝｜cos 20°｜＝cos 20°. 8.3　解析：原式＝sin θ（＋）＝sin θ·＝＝3. 9.1或2　解析：由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ，显然cos θ≠0，sin θ≠0，所以tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2. 10.解：（1）由三角函数的定义，cos θ＋sin θ＝，sin θ＞0， 两边平方，得cos2θ＋sin2θ＋2sin θcos θ＝， 则2sin θcos θ＝－＜0，sin θ＞0，cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＞0，sin θ－cos θ＝＝. （2）由（1）知，sin θcos θ＝－， sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝. 11.C　若＝2，则sin2θ＋2＝2cos θ，即1－cos2θ＋2＝2cos θ，即（cos θ－1）（cos θ＋3）＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3（舍去），故有cos θ＝1，sin θ＝0.∴（cos θ＋3）（sin θ＋1）＝4×1＝4.故选C. 12.BD　对于A，｜sin θ｜＝－sin θ，sin θcos θ＝，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴θ为第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜π＋2kπ（k∈Z），∴＋kπ＜＜π＋kπ（k∈Z），当k为偶数时，为第二象限角，当k为奇数时，为第四象限角，故A错误；对于B，（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝，由于sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＜0，∴sin θ＋cos θ＝－，故B正确；对于C，（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ＝，∵sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θ－cos θ可能正，也可能负，∴sin θ－cos θ＝±，故C错误；对于D，当sin θ－cos θ＝，sin θ＋cos θ＝－时，sin θ＝－，cos θ＝－，故tan θ＝，当sin θ－cos θ＝－，sin θ＋cos θ＝－时，sin θ＝－，cos θ＝－，∴tan θ＝3，∴tan θ＝或3，故D正确.故选B、D. 13.1－　解析：∵sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个实数根.∴∴（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ，整理可得a2－2a－1＝0，解得a＝1±，又∵Δ＝a2－4a≥0，∴a≥4或a≤0，∴a＝1－. 14.解：（1）原式＝cos x＝cos x·＝cos x， 因为x∈（，π），所以cos x＜0，所以原式＝cos x·（－）＝－1. （2）因为sin x＋cos x＝，所以（sin x＋cos x）2＝，即1＋2sin xcos x＝， 所以sin xcos x＝－. 所以（sin x－cos x）2＝1－2sin xcos x＝. 因为x∈（，π），所以sin x＞0，cos x＜0.所以sin x－cos x＞0. 所以sin x－cos x＝. 所以－tan x＝－ ＝ ＝＝. 15.解：（1）cos4－sin4 ＝ ＝cos2－sin2 ＝－＝＝cos. （2）cos4－sin4 ＝ ＝cos2－sin2 ＝－＝0 ＝cos. （3）证明：cos4x－sin4x ＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x） ＝cos2x－sin2x. （4）推测：cos2x－sin2x＝cos 2x. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $