2.1.2 两条直线平行和垂直的判定课件-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线平行和垂直的判定，课前通过“要点”梳理斜率存在与不存在时的判定条件，“入木三分”环节以问题辨析纠正“斜率相等即平行”等常见错误，搭建从概念理解到易错点突破的学习支架。 其亮点在于以数学抽象（提炼判定条件）、逻辑推理（如例1通过求斜率及共线判断平行）和数学运算（如例3求直角三角形参数m）为核心，“探究”环节总结判定方法，“日积月累”归纳解题步骤。学生能深化理解，教师可高效开展分层教学。

课前自学 内容导航 课时学案 课后巩固 Content Navigation 01 02 03 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 素养目标 1.理解两条直线平行与垂直的条件．(数学抽象)2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算) 课前自学 4 要点1　两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则l1∥l2⇔______________． (2)若两条不重合直线l1与l2都没斜率，则直线l1与l2______________． k1＝k2 平行 第页 要点2　两条直线垂直的条件 (1)设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则l1⊥l2⇔______________． (2)若两条直线中一条斜率不存在，同时另一条斜率等于0，则两条直线______________． k1·k2＝－1 垂直 第页 下列说法是否正确？ (1)若两直线斜率相等，则两直线平行； (2)若两直线平行，则它们的斜率相等； (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行． 答：(1)若两直线斜率相等，则两直线平行或重合，∴不正确． (2)可能两直线都没有斜率，∴不正确． (3)正确． (4)两直线还可能重合，∴不正确. 返 回 课时学案 8 例 1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过C(3，－3)，D(8，－7)； 题型一　 两条直线平行的判定 【思路分析】　根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况． 第页 9 第页 (3)l1平行于y轴，l2经过P(0，－2)，Q(0，5)； 【解析】　(3)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1∥l2. 第页 (4)l1经过E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过G(3，4)，H(2，3)． 第页 探究1 (1)判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．课本中的结论只有在斜率都存在的情况下方可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断． (2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件：若同位角相等，则两直线平行． (3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合． 第页 思考题1　(1)已知直线l1的一个方向向量为(－1，2)，直线l2的一个方向向量为(m，6)，若l1∥l2，则m＝(　　) A．－3　　　　　　　　 B．3 C．6 D．9 √ 【解析】　设直线l1的方向向量a＝(－1，2)，直线l2的方向向量b＝(m，6)，由于l1∥l2，所以a∥b，因此可得2m＝－6，解得m＝－3. 第页 －6 第页 例 2　判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)； 题型二　 两条直线垂直的判定 【思路分析】　判断两直线是否垂直，当斜率存在时，利用k1k2＝－1，当有一条直线斜率不存在时，判断另一条直线斜率是否为0. 第页 16 (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； 第页 (3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． 第页 探究2 判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给直线上两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若横坐标不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 第页 √ 第页 (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________． 5或2 第页 例 3　已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值． 题型三　 两直线平行与垂直的综合应用 第页 22 第页 例 4　已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，求顶点D的坐标． 【思路分析】　本题主要考查两直线平行的性质以及综合应用．思路一，利用平行四边形的对角线互相平分求得D点的坐标；思路二，利用平行四边形的对边平行求得D的坐标． 第页 第页 第页 探究3 关于直线平行与垂直的综合应用 (1)设出点的坐标，当直线斜率存在时，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)求解． (2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论． 第页 思考题3　(1)已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)． ①若点Q在y轴上，且满足PQ⊥MN，求点Q的坐标； ②若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 第页 (2)已知四边形MNPQ的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ为矩形． 第页 1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤： 第页 2．利用图形中的平行和垂直关系求点的坐标的方法： 返 回 课后巩固 32 √ 第页 2．【多选题】直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两个根，则下列说法正确的是(　　) A．若l1⊥l2，则m＝－2 B．若l1⊥l2，则m＝2 C．若l1∥l2，则m＝－2 D．若l1∥l2，则m＝2 √ √ 第页 √ 第页 4．已知A(2，3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D 的坐标为_________________时，AB∥CD，当点D的坐标为___________时，AB⊥CD. (－9，0) 第页 5．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 返 回 请做：课时作业（十六） 教师备用资料 【解析】　(1)由题意知，k1＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)，k2＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5)，所以l1与l2重合或平行． 需进一步研究A，B，C，D四点是否共线． 连接BC，因为kBC＝eq \f(5－（－3）,－3－3)＝－eq \f(4,3)≠－eq \f(4,5)， 所以A，B，C，D四点不共线．所以l1∥l2. 【解析】　(2)由题意知，k1＝tan 60°＝eq \r(3)， k2＝eq \f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq \r(3)， 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合． (2)l1的倾斜角为60°，l2经过M(1，eq \r(3))，N(－2，－2eq \r(3))； 【解析】　(4)由题意知，k1＝eq \f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq \f(3－4,2－3)＝1，所以l1与l2重合或平行，需进一步研究E，F，G，H四点是否共线． 连接FG，因为kFG＝eq \f(4－（－1）,3－（－2）)＝1，所以E，F，G，H四点共线． 所以l1与l2重合，不平行． 【解析】　∵直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，∴kl2＝eq \f(1＋2,1－0)＝3，∵直线l1经过点A(0，－1)和点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)，1))，∴kl1＝eq \f(2,－\f(4,a))＝－eq \f(a,2)，∵l1与l2没有公共点，∴l1∥l2，∴－eq \f(a,2)＝3，解得a＝－6.经检验，符合题意． (2)已知直线l1经过点A(0，－1)和点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,a)，1))，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 【解析】　(1)k1＝eq \f(2－（－2）,1－（－1）)＝2，k2＝eq \f(1－（－1）,2－（－2）)＝eq \f(1,2)，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． 【解析】　(2)k1＝－10，k2＝eq \f(3－2,20－10)＝eq \f(1,10)，k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. 【解析】　(3)由A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴． 由k2＝eq \f(40－40,10－（－10）)＝0，得l2⊥y轴，∴l1⊥l2. 【解析】　∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率k2存在，且k1·k2＝－1，即eq \f(3,4)×eq \f(a2＋1－（－2）,0－3a)＝－1，解得a＝1或a＝3. 思考题2　(1)若直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 【解析】　因为直线l2经过点C(2，3)，D(1，a－2)，所以l2的斜率存在，设为k2.当k2＝0，即a＝5时，A(3，5)，B(3，3)，显然直线l1的斜率不存在，满足l1⊥l2；当k2≠0，即a≠5时，显然l1的斜率存在，设为k1，要满足题意，则k1k2＝－1，得eq \f(3－a,a－2－3)·eq \f(a－2－3,1－2)＝－1，解得a＝2.综上可知，a的值为5或2. 【解析】　易知△ABC三边所在的直线斜率均存在． 若∠A为直角，则AC⊥AB， ∴kAC·kAB＝－1， 即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(1＋1,1－5)＝－1，解得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC， ∴kAB·kBC＝－1， 即eq \f(1＋1,1－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－1， 即eq \f(m＋1,2－5)·eq \f(m－1,2－1)＝－1，解得m＝±2. 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 【解析】　方法一：设D(m，n)，连接AC，BD交于E，则E既是线段AC的中点，又是线段BD的中点，又E(2，2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝\f(m＋1,2)，,2＝\f(n＋0,2).)) 解得m＝3，n＝4，所以D(3，4)． 方法二：设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，易知▱ABCD四条边所在的直线斜率均存在，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC. 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(0－1,1－0)＝\f(3－n,4－m)，,\f(n－1,m－0)＝\f(3－0,4－1).))解得m＝3，n＝4， 所以D(3，4)． 【解析】　①设Q(0，y)，因为kMN＝eq \f(2＋1,2－1)＝3，PQ⊥MN，故kPQ＝－eq \f(1,3)， 故eq \f(y,－3)＝－eq \f(1,3)，即y＝1，即Q(0，1)． ②设Q(x，0)，易知x≠2.因为∠NQP＝∠NPQ，故kNQ＝－kNP， 而kNQ＝eq \f(2,2－x)，kNP＝－2，故eq \f(2,2－x)＝2.∴x＝1. 即Q(1，0)，结合M(1，－1)，得MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°. 【证明】　因为kMN＝eq \f(1＋1,1－3)＝－1，kPQ＝eq \f(2－0,2－4)＝－1，所以MN∥PQ. 又因为kMQ＝eq \f(2－1,2－1)＝1，kNP＝eq \f(0＋1,4－3)＝1，所以MQ∥NP， 所以四边形MNPQ为平行四边形． 又kMN·kMQ＝－1，所以MN⊥MQ， 所以四边形MNPQ为矩形． 解析　由l1⊥l2可得，当a≠0时，kl2＝－eq \f(1,a)，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D. 1．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A.eq \f(1,a)　　　　　　　　　 B．a C．－eq \f(1,a) D．－eq \f(1,a)或不存在 解析　因为直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两个根，所以Δ＝16－8m≥0，k1k2＝eq \f(m,2).若l1⊥l2，则k1k2＝eq \f(m,2)＝－1，解得m＝－2，满足Δ＞0；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝0，解得m＝2.故选AD. 解析　过点(eq \r(3)，eq \r(6))，(0，3)的直线的斜率k1＝eq \f(\r(6)－3,\r(3)－0)＝eq \r(2)－eq \r(3)，过点(eq \r(6)，eq \r(2))，(2，0)的直线的斜率k2＝eq \f(\r(2)－0,\r(6)－2)＝eq \r(3)＋eq \r(2).因为k1·k2＝－1，所以两条直线互相垂直． 3．过点(eq \r(3)，eq \r(6))，(0，3)的直线与过点(eq \r(6)，eq \r(2))，(2，0)的直线的位置关系为(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不正确 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) 解析　设D(x，0)，易知AB，CD斜率存在． 当AB∥CD时，kAB＝kCD， ∴eq \f(3＋1,2－1)＝eq \f(0＋2,x＋1)，∴x＝－eq \f(1,2)，∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)). 当AB⊥CD时，kAB·kCD＝－1， ∴eq \f(3＋1,2－1)·eq \f(0＋2,x＋1)＝－1，∴x＝－9，∴D(－9，0)． 解析　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝eq \f(5－3,2－（－4）)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)，∴kAB＝kCD，∴AB∥CD.又kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形． $