1.41.3空间中直线、平面的垂直课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面垂直的向量表示，通过学习目标引导，先回顾方向向量与法向量概念，再系统呈现线线、线面、面面垂直的向量条件，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于采用一题多解（如坐标法与基向量法）和AI思考辨析，结合例题探究培养数学思维与推理能力。通过规律方法总结和变式训练，帮助学生用数学语言表达垂直关系，提升逻辑推理与创新意识，也为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

学 习 目 标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 3.体会直线的方向向量和平面的法向量的作用. 目 录 索 引 基础落实 ·必备知识全过关 重难探究 ·能力素养速提升 学以致用 ·随堂检测促达标 基础落实 ·必备知识全过关 垂直关系 对应线面 图形 满足条件 线线垂直 l₁ 与 I₂ I₁ ⊥l₂ ⇔ u₁Lu 2⇔u ·u₂=0 线面垂直 与 α 1la⇔ull n ⇔3λ∈R, 使得 uan 面面垂直 α 与 β aIBnIn2n1.n2=0 知识点 空间中直线、平面垂直的向量表示 设直线l₁,l₂的方向向量分别为u₁,u₂,平面a,β 的法向量分别为n₁,n₂, 则 AI·思考辨析 参考线面垂直的判定定理，还可以如何用向量法证明线面垂直? 提示 可先求出平面内两个不共线的向量，然后证明直线的方向向量与这 两个不共线的向量的数量积均为0. 体验新知 1.设直线l₁,l₂的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l₁⊥l₂,则实数m等于 ( B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析因 为l₁⊥l₂, 所以a⊥b, 则a·b=-2+6-2m=0, 解得m=2.故选B. 2.若平面α⊥平面β,平面α的一个法向量为n=(-2,1,=), 则平面β的法向量m可 以为( C ) A B.(2,-1,0) C.(1,2,0)D. 解析当 m=(1,2,0)时，mn =0,故C选项符合题意. 3.(北师大版教材习题)已知l为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，且l∈a, 判断直线l与平面α的位置关系是平行还是垂直. (1)L=(-1,1,1),n=(1,4,-3); (2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4). 解(1)L·n=(-1,1,1)·(1,4,-3)=(-1)×1+1×4+1×(-3)=0, 所以lIn, 所以1/l a. ② 所以1// n,所以1⊥a. 4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AC的中点.求证： (1)BD₁⊥AC; (2)BD₁⊥EB₁ . 证明 以D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y 轴、z轴，建立如图所 示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则 (1)∵BD₁=(-1,-1,1),AC=(-1,1,0), ∴BD₁·AC=1-1+0=0,∴BD₁⊥AC, ∴BD₁⊥AC. (2). ∴BD₁⊥EB₁,∴BD₁⊥EB₁. 重难探究 ·能力素养速提升 能力提升点一 利用向量方法证明线线垂直 【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形， PA=AB=1,F是PB的中点，点E在棱BC上移动.求证：无论点E在棱BC上的何 处，都有PE⊥AF. 一题多解 C 思路分析 只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 证明(方法1)以A为原点，以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立 空间直角坐标系，设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0), 于是 ∵E在BC上，∴设E(m,1,0),0≤m≤a, ∵PE·AF=0, ∴PE⊥AF∴无论点E在棱BC上何处，总有PE⊥AF. (方法2)因为点E 在棱BC上，可设BE=λBC,O≤λ≤1, (AB+AP) 因此PE1 AF. 故无论点E在棱BC上的何处，都有PE⊥AF. 因为AF·BC=0, 所以AF⊥BC. 例题探究2(变结论)本例条件不变，求证：AF⊥FE. 证明同例1建系(图略). 证明 同例1建系(图略),易知 例题探究1(变结论)本例条件不变，求证：AF⊥BC. ∴AF⊥FE. ,BC=(a,0,0), 易 则 规 律 方 法 利用向量方法证明线线垂直的方法 求方向向 量的坐标 结论 用基底表示直 线的方向向量 结论 计算数 量积 计算数 量积 选基底 坐标法 建系表示 点的坐标 基向量法 C (1)建立适当的空间直角坐标系并求点P的坐标； (2)求证：MB⊥DP. 变式训练1 (2026吉林高二期中)如图所示，MA⊥平面ABCD,底面ABCD是 边长为1的正方形，MA=2AB,点P是MC上一点，且 所示的空间直角坐标系，则M(0,0,2),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0). 设P( x,y,z), 则CP=( x-1,y-1,z),CM=(-1,-1,2). (1)解因为MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形，则AB,AD,AM 两两互相垂直，以A为原点，AB,AD,AM所在直线为x轴、y 轴、z轴，建立如图 由 ,可 故点P 的坐标为 (2)证 明 由(1)得MB=( 1,0,-2), 因为 则MB1DP, 故MB⊥DP. 能力提升点二 利用向量方法证明线面垂直 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E,F,M分别为棱AB,BC, B₁B的中点.求证：D₁M⊥平面EFB₁. 证明(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B₁B的中点， 因此D₁ M⊥B₁E. 所 于 因此D₁M⊥B₁ F. 又因为B₁E,B₁F 不共线，B₁E∩B₁F=B₁,B₁E,B₁Fc 平面EFB₁, 所以D₁M⊥平面EFB₁. 同 (方法2)以D为原点，DA,DC,DD₁所在直线为x轴、y 轴、z轴，建立如图所示 又B₁E,B₁F 不共线，B₁E∩B₁F=B₁B₁E,B₁Fc 平面EFB₁, 所以D₁M⊥平面EFB₁ . 的空间直角坐标系， 故D₁M ⊥B₁ F. 故D₁M ⊥B₁ E. (方法3)以D为原点，DA,DC,DD₁所在直线为x轴、y 轴、z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则D₁(0,0,1), 于 设平面EFB₁ 的法向量为n=(x,y,z), 所以D₁ M// n,所以D₁M⊥平面EFB1₁ . 取x=2,则y=2,z=-1, 即n=(2,2,-1). 基 向 量 法 坐 标 法 法 向 量 法 选取基向量，用基向量表示直线所在的 向量，在平面内找出两个不共线的向量， 也用基向量表示，然后根据数量积运算 律分别证明直线所在向量与两个不共线 向量的数量积均为零，从而证得结论 建立空间直角坐标系，求出直线方向向 量的坐标以及平面内两个不共线向量的 坐标，然后根据数量积的坐标运算法则 证明直线的方向向量与两个不共线向量 的数量积均为零，从而证得结论 建立空间直角坐标系，求出直线方向向 量的坐标以及平面法向量的坐标，然后 证明直线方向向量与平面法向量共线， 从而证得结论 规律方法 利用空间向量证明线面垂直的方法 变式训练2 (北师大版教材习题)如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱长 AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B' 上的动点，点F 是CD的中点.试确定点E 的位置，使D'E⊥平面AB'F. 解 以A 为原点，AB,AD,AA的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系(图略), 则A(0,0,0),F(1,2,0),B'(2,0,3),D'(0,2,3). 因为点E 在平面BCC'B'上，所以可设E(2,y,z). 因为D'E⊥平面AB'F,所以D'E 1AF,D'E1AB. 因为AF=(1,2,0),AB=(2,0,3),D'E=(2,y-2,z-3), 解得 所 以 能力提升点三 利用向量方法证明面面垂直 【例3】 如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°,A₁A⊥平面ABC, A₁A=√ 3,AB=AC=2A₁C₁=2,D为BC的中点.求证：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁ . B (方法1)∵AD=(1,1,0),AA₁=(0,0,√3),BC=(-2,2,0), ∴AD·BC=1×(-2)+1×2+0×0=0, AA₁·BC=0×(-2)+0×2+√3×0=0, ∴AD⊥BC,AA₁⊥BC ,即BC⊥AD,BC⊥AA₁ . 又A₁A∩AD=A,A₁AC平面A₁AD,ADC平面A₁AD, ∴BC⊥ 平面A₁AD. 又BCc 平面BCC₁B₁,∴平 面A₁AD⊥平 面BCC₁B₁ . 证明 如图，以A为原点，AB,AC,AA₁所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A₁(0,0,√3),C₁(0,1,√3),D(1,1,0). 令x₁=1, 则y₁=-1,z₁=0, 则n₁=(1,-1,0) 为平面A₁AD的一个法向量. 由 令x₂= 1,则y₂= 1, 则 为平面BCC₁B₁的一个法向量. ∵n₁·n₂=1-1+0=0,∴ n₁Ln₂,∴ 平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁ . (方法2)由题得，AA₁=(0,0,√3),AD=(1,1,0),BC=(-2,2,0),CC₁=(0,-1,√3). 设平面A₁AD的法向量为n₁=(x₁,V1,z1),平面BCC₁B₁的法向量为n₂=(x₂ ,V2,Z₂). 规律方法 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为 线面垂直、线线垂直去证明. (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. C₁ 变式训练3 (2026陕西高二期末)如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为 棱CC₁上的动点. (1)求证：A₁E⊥BD; (2)若平面A₁BD⊥平面EBD,求证：E为CC₁的中点. 设正方体的棱长为a, 则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A₁ (a,0,a),C₁ (0,a,a),D(0,0,0). 设E(0,a,e)(0≤e≤a), 则A₁ E=(-a,a,e-a),BD=(-a,-a,0). ∵A₁E·BD=a²-a²+(e-a)-0=0, ∴A₁ E⊥BD,即A₁E⊥BD. C₁ A₁ D AL B x 证明(1)以D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系， E Cy D₁ B (2)设平面A₁BD和平面EBD的法向量分别为n₁=(x₁ ,yY1,z1),n₂=(x₂ ,V2,z₂), 且DB=(a,a,0),DA₁=(a,0,a),DE=(0,a,e), . 卩 ∴当E为CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面EBD. 令x₁=1, 则y₁=z₁=- 1,则n₁= (1,-1,-1). 由平面A₁BD⊥平面EBD,得n₁ ⊥n₂, 本节要点归纳 1.知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示； (2)直线与平面垂直的向量表示； (3)平面与平面垂直的向量表示. 2.方法归纳：转化法、法向量法. 3.常见误区：容易混淆直线的方向向量、平面的法向量之间的关系与线面 间的垂直关系的对应. 学以致用 ·随堂检测促达标 2 3 4 5 1.下列命题中真命题的个数为( C) ①若n₁,n₂ 分别是平面α,β的法向量，则α⊥β⇔nn₂=0; ②若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a=0; ③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直. A.1 B.2 C.3 D.0 2.已知平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2), 若α⊥β,则x的值为 (B) A.10 B.-10 D 解析 因为α⊥β,则a⊥b,即a·b=-x+(-1)×2+4×(-2)=0,解得x=-10. 45 3.已知点P₀(-1,2,3)在平面α 内，平面 α={P|n·P₀P=0}, 其中n=(1,-1,1)是平面 α 的一个法向量，则下列各点在平面α内的是( B) A.(2,-4,8) B.(3,8,5) C.(-2,3,4) D.(3,-4,1) 解析 设P(x,y,z)是平面a内的一点，则P₀P =(x+1,y-2,z-3), 所以(x+1)-(y-2)+(z-3)=0, 即y=x+z, 则选项B满足.故选B. 12 3 1 2 3 4 5 4.(AI原创)直线l的方向向量为d=(-1,-2,k),平面α的法向量为n=(2,4,-8), 且 lla, 则k的值为 4 _. 解析 因为11α,则d// n,故 解得k=4. 1 23 4 5.如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB= 30°,E,F分别是AC,AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC. A F B E D C ∵∠BCD=90°,∴CD⊥BC. ∵AB⊥ 平面BCD, ∴AB⊥CD. 又AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC. . 为平面ABC的一个法向量. 设平面BEF 的法向量n=(x,y,z),∴n· EF=0, 1 23 4 5 证明 建立空间直角坐标系，如图， 设A(0,0,a),则易得B(0,0,0), 即(x,y,z) · ∴x=y. 由n·BF=0, 即(x,y,z) · ∴z=-√3y. ∴n⊥CD∴平面BEF⊥平面ABC. 取y= 1,得n= (1,1,- √3). 1 2 3 4 5 本 课 结 束 $