7.3.2.4正切函数的图象与性质课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，通过类比正余弦函数的学习过程，以“如何画一个周期内的图象”“如何得出性质”为问题引导，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生迁移探究方法。 其亮点在于采用“三点两线法”简化图象绘制，通过“整体代换”解决定义域、单调性等问题，结合自我诊断和跟踪训练实例，培养数学思维与数学语言表达能力。通性通法总结清晰，助力教师高效教学，提升学生知识迁移与问题解决能力。

第4课时　 正切函数的图象与性质 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　前面我们学习了正、余弦函数的图象与性质，我们知道研究一个 新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单 调性、最值（值域）等方面来进行.我们知道正切是正弦与余弦的比 值，正切函数是以π为周期的函数. 【问题】　（1）类比正、余弦函数图象的学习过程，你能否画出正 切函数在一个周期内的图象？ 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）类比正、余弦函数性质的研究过程，你能否得出正切函数的 性质？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　正切函数的图象与性质 函数 y ＝tan x 图象 定义域 目录 数学·必修第一册（SJ） 函数 y ＝tan x 值域 R 周期性 π 奇偶性 ⁠函数 单调性 在区间 （ k ∈Z）上单调递增 对称性 奇　 　 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）正切函数在定义域上不具备单调性，在每一个单调区间 内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，无 单调递减区间，没有最大值和最小值；（2）画正切函数图象常用三 点两线法：“三点”是指点 ，（0，0）， ，“两 线”是指直线 x ＝－ 和 x ＝ ，大致画出正切函数在 上的 简图后向左、向右平移（每次π个单位）即得正切曲线. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. （多选）下列说法中，正确的是（　　） A. 正切函数的定义域和值域都是R B. 函数 y ＝tan 2 x 的周期为π C. 正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心 D. 正切函数的最小正周期为π 解析： 　A中， y ＝tan x 的定义域为{ x ｜ x ≠ ＋ k π， k ∈Z}， 故A错误；B中， y ＝tan 2 x 的周期为 ，故B错误；C、D正确.故选 C、D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 y ＝tan 3 x 的定义域为 解析：因为3 x ≠ k π＋ ， k ∈Z，所以 x ≠ π＋ ， k ∈Z. 3. 函数 y ＝tan x ， x ∈ 的值域是 ⁠. 解析： y ＝tan x 在 x ∈ 上单调递增，所以tan 0≤ y ≤tan ， 0≤ y ≤1. [0，1]　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 函数 y ＝tan 的单调增区间是 ______________________________________________________________________ .⁠ 解析：令 k π－ ＜ x － ＜ k π＋ ， k ∈Z，得 k π－ ＜ x ＜ k π＋ ， k ∈Z，即函数 y ＝tan 的单调增区间是 ， k ∈Z. ， k ∈Z　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 正切函数的定义域及值域 【例1】　（链接教科书第204页例6）（1）求函数 y ＝tan（2 x － ） 的定义域； 解：因为 y ＝tan t 的定义域为{ t ｜ t ≠ k π＋ ， k ∈Z}， 令 t ＝2 x － ，由2 x － ≠ k π＋ ， k ∈Z， 得 x ≠ ＋ ， k ∈Z， 所以函数 y ＝tan（2 x － ）的定义域为{ x ｜ x ≠ ＋ ， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） 求函数 y ＝tan2 x －2tan x ＋3， x ∈［ ， ］的值域. 解：由题意得 y ＝（tan x －1）2＋2. 因为 x ∈［ ， ］， 所以tan x ∈[1， ]， 所以原函数的值域为[2，6－2 ]. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 1. 求正切函数定义域的方法 （1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的 一般要求外，还要保证正切函数 y ＝tan x 有意义，即 x ≠ ＋ k π， k ∈Z. 而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图 象求解； （2）求正切型函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（ A ≠0，ω＞0）的定义域 时，要将“ω x ＋φ”视为一个“整体”.令ω x ＋φ≠ k π＋ ， k ∈Z，解得 x . 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 求正切函数值域的方法 （1）对于 y ＝ A tan（ω x ＋φ）的值域，可以把ω x ＋φ看成整体， 结合图象，利用单调性求值域； （2）对于与 y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用 配方法求值域. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 函数 y ＝3tan（π＋ x ），－ ＜ x ≤ 的值域为 　（－3， ]　. 解析：函数 y ＝3tan（π＋ x ）＝3tan x ，因为正切函数在 上单调递增，所以－3＜ y ≤ ，所以值域为（－3， ]. （－3， ]　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 y ＝lg（ －tan x ）的定义域是 　 解析：由题意得所以函数的定义域是 . . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 正切函数的周期性、奇偶性 【例2】　（1）函数 f （ x ）＝tan（－4 x ＋ ）的最小正周期为 （　A　） C. π D. 2π 解析： T＝ ＝ ＝ . A 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）函数 f （ x ）＝ sin x ＋tan x 的奇偶性为（　A　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 解析： f （ x ）的定义域为 ，关于原点对 称，又 f （－ x ）＝ sin （－ x ）＋tan（－ x ）＝－ sin x －tan x ＝ － f （ x ），∴ f （ x ）为奇函数. A 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略 （1）一般地，函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）的最小正周期为 T ＝ ， 常常利用此公式来求周期； （2）判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点 对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f （－ x ） 与 f （ x ）的关系.特别地，函数 y ＝tan（ω x ＋φ）（ω＞0）是奇 函数的充要条件是φ＝ （ k ∈Z）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若 f （ x ）＝tan ω x （ω＞0）的周期为1，则 f ＝（　　） 解析： 　依题意 T ＝ ＝1，ω＝π，所以 f （ x ）＝tan π x .所以 f ＝tan ＝ .故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 f （ x ）＝｜tan 2 x ｜是（　　） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 解析： 　 f （－ x ）＝｜tan（－2 x ）｜＝｜tan 2 x ｜＝ f （ x ）为 偶函数， T ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 正切函数的单调性 角度1　求正切函数的单调区间 【例3】　求函数 y ＝tan 的单调区间. 解： y ＝tan ＝－tan ， 由 k π－ ＜ x － ＜ k π＋ （ k ∈Z）， 得2 k π－ ＜ x ＜2 k π＋ （ k ∈Z）， ∴函数 y ＝tan 的单调递减区间是 （ k ∈Z），无单调递增区间. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　求函数 y ＝ A tan（ω x ＋φ）（ A ，ω，φ都是常数）的单调区间的 方法 （1）若ω＞0，由于 y ＝tan x 在每一个单调区间上都单调递增，故可 用“整体代换”的思想，令 k π－ ＜ω x ＋φ＜ k π＋ （ k ∈Z），求得 x 的范围即可； （2）若ω＜0，可利用诱导公式先把 y ＝ A tan（ω x ＋φ）转化为 y ＝ A tan[－（－ω x －φ）]＝－ A tan（－ω x －φ），即把 x 的系数化 为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　利用正切函数的单调性比较大小 【例4】　（链接教科书第204页练习3题）不求值，比较下列各组中 两个三角函数值的大小： （1） tan 与tan ； 解：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ， 又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在 上单调递增， 所以tan ＜tan ，即tan ＜tan . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）tan 与tan . 解：因为tan ＝－tan ，tan ＝－tan ， 又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在 上单调递增， 所以tan ＞tan ，所以－tan ＜－tan ， 即tan ＜tan . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 运用正切函数单调性比较大小的方法 （1）运用函数的周期性或诱导公式将待比较的两个正切值的角转化 到同一个单调区间内； （2）运用正切函数的单调性比较大小. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若函数 y ＝tan ω x 在 内单调递减，求ω的取值范围. 解：由题意知其周期 T ≥π，即 ≥π.∴｜ω｜≤1，又函数单 调递减，∴ω＜0.故－1≤ω＜0. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 不求值，比较tan 和tan 的大小. 解：∵tan（－ ）＝－tan（2π－ ）＝tan ，tan（－ ）＝－tan （2π－ ）＝tan . 又0＜ ＜ ＜ ， y ＝tan x 在 内单调递增， ∴tan ＜tan ，即tan ＞tan . 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 y ＝－2＋tan 的单调递增区间为（　　） 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　由－ ＋ k π＜ x ＋ ＜ ＋ k π， k ∈Z，解得－ π＋2 k π ＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z. 故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）已知函数 f （ x ）＝tan（3 x ＋ ），则下列说法正确的是（　　） C. 函数 f （ x ）在定义域上是增函数 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　对于A，由3 x ＋ ≠ k π＋ （ k ∈Z）可得 x ≠ ＋ （ k ∈Z），所以函数 f （ x ）的定义域为 ，故A正确；对于B，函数 f （ x ）的最小正周期为 T ＝ ，故B正确；对于C，函数 f （ x ）在定义域上不单调，故C错误； 对于D，因为3× ＋ ＝ ，故（ ，0）不是函数 f （ x ）的 对称中心，故D错误.故选A、B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 函数 y ＝tan x 在［－ ， ］上的值域为 　[－1， ]　. 解析：∵－ ≤ x ≤ ，∴－1≤tan x ≤ . 4. 比较大小：tan tan . 解析：∵tan ＞0，tan ＜0，∴tan ＞tan . [－1， ]　 ＞　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $