7.3.2 第2课时　正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性，通过苏州乐园过山车“冲上滑下”的情境导入，关联函数图像升降过程，引出性质探究问题，搭建从生活现象到数学概念的学习支架，衔接前期函数图像知识。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实（过山车情境激发兴趣），“数学思维”归纳通法（如定义域结合图像求交集，值域用换元转化为二次函数），“数学语言”精准呈现（表格对比性质，例题分步解析）。含自我诊断、跟踪训练等环节，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

第2课时　 正、余弦函数的定义域、值域、奇偶性与周期性 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 苏州乐园森林世界的冲上云霄（弹射过山车）轨道总长1 040 米，高度62.5米，设计时速可达129公里，是江浙沪速度最快的过山 车.过山车给游客所带来的体验是史无前例的，它将带着你冲上62.5 米的高空，当你还在惊叹高空俯视的壮观之际，瞬间滑落，给人“上 天，入地”的体验. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应 函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的什么性质？函数 y ＝ sin x ， y ＝ cos x 的图 象在什么位置取得最大（小）值？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　正、余弦函数的性质 函数 y ＝ sin x y ＝ cos x 图象 定义 域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] 目录 数学·必修第一册（SJ） 函数 y ＝ sin x y ＝ cos x 最值 x ＝ ， k ∈Z时， ymax＝1； x ＝ ， k ∈Z时， ymin＝－1 x ＝ ， k ∈Z时， ymax＝ 1； x ＝ ， k ∈Z时， ymin＝－1 奇偶 性 ⁠函数 ⁠函数 周期 性 最小正周期为 ⁠ 最小正周期为 ⁠ 2 k π＋ 　 2 k π－ 　 2 k π　 2 k π＋π　 奇　 偶　 2π　 2π　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. y ＝2 sin 的值域是（　　） A. [－2，2] B. [0，2] C. [－2，0] D. [－1，1] 解析： 　因为 sin ∈[－1，1]，所以 y ∈[－2，2]. 故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）下列说法中，正确的是（　　） B. 函数 y ＝3 sin 2 x 是周期为π的奇函数 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析： 　A中，∵ y ＝ sin ＝ cos x ，∴是偶函数，故A错 误；B中， T ＝ ＝π. f （－ x ）＝3 sin （－2 x ）＝－3 sin 2 x ，故 为奇函数，故B正确；C中，余弦函数最大值为1，故C错误；D 中， y ＝ cos 的最小值为－1，则 y ＝1＋ cos 的最小值为0，故D 正确.故选B、D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 函数 y ＝－2 cos x 的最大值为 ，此时 x ＝ . ⁠ 解析：因为－1≤ cos x ≤1，所以当 cos x ＝－1时， ymax＝－2× （－1）＝2.此时 x ＝2 k π＋π， k ∈Z. 2　 2 k π＋π， k ∈Z　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 正、余弦函数的定义域 【例1】　求函数 y ＝ ＋lg（2 sin x －1）的定义域. 解：要使函数有意义，只要即 如图所示， 目录 数学·必修第一册（SJ） cos x ≤ 的解集为{ x ｜ ＋2 k π≤ x ≤ ＋2 k π， k ∈Z}； sin x ＞ 的解集为{ x ｜ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}， 它们的交集为{ x ｜ ＋2 k π≤ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}，即为函数 的定义域. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 用三角函数图象求解定义域的方法 （1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； （2）写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集； （3）根据公式一写出方程或不等式的解集，同时注意区间端点的 取舍. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 函数 f （ x ）＝ 的定义域为 　{ x ｜2 k π－ ≤ x ≤2 k π ⁠. 解析：要使函数有定义，需满足2 cos 2 x ＋ sin x －1≥0，即2 sin 2 x － sin x －1≤0，解得－ ≤ sin x ≤1，由正弦函数的图象，可得函数的定 义域为{ x ｜2 k π－ ≤ x ≤2 k π＋ π， k ∈Z}. { x ｜2 k π－ ≤ x ≤2 k π ＋ π， k ∈Z}　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 正、余弦函数的值域（最值） 【例2】　（链接教科书第201页例4）求下列函数的最大值及取得最 大值时自变量 x 的集合： （1） y ＝ sin ； 解：函数 y ＝ sin 的最大值为1. 因为使 sin t 取得最大值的 t 的集合为{ t ｜ t ＝ ＋2 k π， k ∈Z}. 令 ＝ ＋2 k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋6 k π， k ∈Z， 所以使函数 y ＝ sin 取得最大值的 x 的集合为{ x ｜ x ＝ ＋6 k π， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） y ＝2－ cos 2 x . 解：函数 y ＝2－ cos 2 x 的最大值为2－（－1）＝3. 因为使 cos t 取得最小值的 t 的集合为{ t ｜ t ＝π＋2 k π， k ∈Z}. 令2 x ＝π＋2 k π， k ∈Z，得 x ＝ ＋ k π， k ∈Z， 所以使函数 y ＝2－ cos 2 x 取得最大值的 x 的集合为{ x ｜ x ＝ ＋ k π， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 三角函数值域（最值）问题的求解方法 （1）形如 y ＝ a sin x （或 y ＝ a cos x ）型，可利用正弦函数、余弦函数 的有界性，注意对 a 正负的讨论； （2）形如 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b （或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）＋ b ） 型，可先由定义域求得ω x ＋φ的范围，然后求得 sin （ω x ＋φ） （或 cos （ω x ＋φ））的范围，最后求得值域（最值）； （3）形如 y ＝ a sin 2 x ＋ b sin x ＋ c （ a ≠0）型，可利用换元思想，设 t ＝ sin x ，转化为二次函数 y ＝ at2＋ bt ＋ c 求最值. t 的范围需要 根据定义域来确定. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 求下列函数的值域： （1） y ＝ cos ， x ∈ ； 解：由 y ＝ cos ， x ∈ ，可得 x ＋ ∈ ， 由函数 y ＝ cos x 在区间 上的图象（图略）可得值域为 . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） y ＝ cos 2 x －4 cos x ＋5， x ∈R. 解： y ＝ cos 2 x －4 cos x ＋5，令 t ＝ cos x ， x ∈R，则－1≤ t ≤1. y ＝ t2－4 t ＋5＝（ t －2）2＋1在区间[－1，1]上单调递减， 当 t ＝－1时，函数取得最大值10； 当 t ＝1时，函数取得最小值2， 所以函数的值域为[2，10]. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 正、余弦函数的周期性与奇偶性 【例3】　定义在R上的函数 f （ x ）既是偶函数，又是周期函数，若 f （ x ）的最小正周期为π，且当 x ∈ 时， f （ x ）＝ sin x ，则 f ＝ 　 　. 解析： f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ sin ＝ . 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变条件）在本例条件中，把“偶函数”变成“奇函数”，其他条 件不变，则 f ＝ 　－ 　. 解析： f ＝ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝－ f ＝ － sin ＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （变条件）若本例中条件变为“定义在R上的函数 f （ x ）既是偶函 数，又是周期函数， f ＝－ f （ x ）， f ＝1”，则 f ＝ ⁠. 解析：∵ f ＝－ f （ x ），∴ f （ x ＋π）＝－ f ＝－ [－ f （ x ）]＝ f （ x ），∴ T ＝π，∴ f ＝ f ＝ f ＝ f ＝1. 1　 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 三角函数周期性与奇偶性的解题策略 （1）探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为 y ＝ A sin （ω x ＋φ）或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ是常数， 且 A ≠0，ω＞0）的形式，再利用公式 T ＝ 求解； （2）判断函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）或 y ＝ A cos （ω x ＋φ）（其中 A ，ω，φ是常数，且 A ≠0，ω＞0）是否具备奇偶性，关键是看 它能否通过诱导公式转化为 y ＝ A sin ω x （ A ≠0，ω＞0）或 y ＝ A cos ω x （ A ≠0，ω＞0）其中的一个. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 函数 f （ x ）＝ sin （ω≠0），则 f （ x ）是 （填 “奇函数”或“偶函数”），若 f （ x ）的周期为π，则ω＝ ⁠. 解析： f （ x ）＝ sin ＝－ cos ω x .∴ f （－ x ）＝－ cos （－ω x ）＝－ cos ω x ＝ f （ x ），∴ f （ x ）为偶函数，又 T ＝π， ∴ ＝π，∴ω＝±2. 偶函数　 ±2　 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 函数 f （ x ）＝ sin （－ x ）的奇偶性是（　　） A. 偶函数 B. 奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 解析： 　由于 x ∈R，且 f （－ x ）＝ sin x ＝－ sin （－ x ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函数.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 y ＝｜ cos x ｜， x ∈R的周期为（　　） A. π B. 2π D. 4π 解析： 　 y ＝｜ cos x ｜的图 象如图（实线部分）所示. 由图象可知， y ＝｜ cos x ｜的 周期为π.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ）   解析：要使函数有意义，则必有2 sin x ＋1＞0，即 sin x ＞－ .画出 y ＝ sin x ， x ∈ 的草图，如图所示. { x ｜－ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}　 当－ ＜ x ＜ 时，不等式 sin x ＞－ 成立，所以函数 y ＝log2（2 sin x ＋1）的定义域为{ x ｜－ ＋2 k π＜ x ＜ ＋2 k π， k ∈Z}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知函数 y ＝2 cos ， x ∈ . （1）求函数的最小正周期； 解： 由 T ＝ 知 T ＝ ＝π，即函数最小正周期为π. （2）求函数的值域. 解： ∵ x ∈ ，∴2 x ＋ ∈ ， ∴ cos ∈ ， ∴函数的值域为 . 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $