8.4.1乘法公式第一课时_完全平方公式_暑期讲义 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

2026暑期衔接｜苏科版数学七年级下册 苏科版（2024）数学七年级下册 8.4.1 乘法公式（第一课时） 完全平方公式 · 几何推导 · 结构识别与灵活计算 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 建议2课时 教材定位 本讲义对应现行苏科版七年级下册第8章“整式乘法”，严格按课时边界选题，不提前使用后续知识。 学习目标 1．通过多项式乘法与面积模型推导完全平方公式，理解公式中每一项的来源。 2．会正确运用(a+b)²和(a-b)²展开整式，并处理系数、符号和整体。 3．能识别“首平方、2倍乘积、尾平方”的结构，纠正常见漏项与符号错误。 4．能利用完全平方公式进行简便计算、化简求值和简单几何应用。 一、重难点导航 模块 核心内容 学习重点 学习难点 易错提醒 推导 (a±b)²=(a±b)(a±b) 由一般乘法得到公式 中间项来源 中间项是2ab，不是ab 结构 首平方±2×首×尾+尾平方 三项完整 负号只影响中间项 末项b²恒为正 应用 直接展开、整体代换、简便计算 识别a与b 复合单项式作整体 先找“谁是首、谁是尾” 边界 本课只用完全平方公式 巩固单一模型 不出现平方差公式 不使用后续公式或因式分解 二、教材知识点盘点（先填后学） 完成要求 先凭已有知识填写；学习结束后用另一种颜色订正，并把法则或公式完整朗读两遍。 1. (a+b)²=a²+________+b²。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2. (a-b)²=a²-________+b²。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 完全平方公式可概括为“首平方，________，尾平方”。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. (a-b)²的最后一项b²的符号是________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5. (2x+3y)²中，公式里的a可看作________，b可看作________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6. 运用公式前，应先确认整个式子是两个量的________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、知识网络（思维导图） 图示说明：从法则、运算步骤、易错点和题型四个方向构建本课知识网络。 四、核心知识精讲 图1 用正方形面积推导(a+b)²=a²+2ab+b² 规范步骤 读结构 → 定符号 → 按法则逐项运算 → 合并同类项（如有）→ 检查是否漏项、指数或括号。 五、典例精讲 典例1｜直接套用 题目：计算：(x+4)²。 解答： 点拨：三项缺一不可，尤其不能漏中间项。 典例2｜差的平方 题目：计算：(2a-3b)²。 解答： 点拨：首尾都是整体，平方时系数也要平方。 典例3｜整体思想 题目：计算：(3x²+y)²。 解答： 点拨：把3x²看作a，把y看作b。 典例4｜简便计算 题目：计算：99²。 解答： 点拨：选择接近整百的数，可显著简化运算。 六、随堂练习 建议用时 10—12分钟。先完成，再在题号前标注：○会做、△不熟、×不会。 1. 展开：(x+5)²。 2. 展开：(a-6)²。 3. 展开：(2m+n)²。 4. 展开：(3x-2y)²。 5. 展开：(x²+3)²。 6. 判断：(a-b)²=a²-b²。 7. 计算：101²。 8. 化简：(x+2)²+(x-2)²。 七、分知识点专项训练 知识点一｜公式直接展开 1. (x+2)² 2. (x-7)² 3. (2a+b)² 4. (3m-n)² 5. (4x+3y)² 6. (5p-2q)² 7. (a²+b)² 8. (2x²-3y)² 知识点二｜辨错、填空与结构识别 9. 判断：(x+3)²=x²+9。 10. 判断：(2a-b)²=4a²-4ab+b²。 11. 填空：(x+□)²=x²+8x+16。 12. 填空：(2a-□)²=4a²-12ab+9b²。 13. 改错：(3x+y)²=9x²+3xy+y²。 14. 改错：(a-2b)²=a²-4b²。 知识点三｜简便计算与化简 15. 计算：102² 16. 计算：98² 17. 计算：49² 18. 计算：203² 19. 化简：(x+3)²-(x-3)² 20. 化简：(2a+b)²+(2a-b)² 八、综合解答题 书写要求 解答题要保留必要步骤：公式或法则依据、展开过程、合并过程及最终结论。 1. 展开并化简：(2x-3)²-(x+1)²。 ________________________________________________________________________________ 2. 计算：(3a+2b)²，并说明中间项12ab是怎样得到的。 ________________________________________________________________________________ 3. 利用完全平方公式计算：1002²。 ________________________________________________________________________________ 4. 已知x+y=7，xy=10，求x²+y²。提示：从(x+y)²展开。 ________________________________________________________________________________ 5. 一个正方形边长由a增加到(a+3)，用完全平方公式表示新面积，并求面积增加量。 ________________________________________________________________________________ 6. 若(x+m)²=x²+12x+n，求m、n。 ________________________________________________________________________________ 九、学习自评与错题整理 自评项目 我能做到 还需巩固 能准确说出本课法则或公式 □ □ 能规范写出运算步骤 □ □ 能发现并改正常见错误 □ □ 能独立完成综合解答题 □ □ 本课最易错的一题 错误原因 正确方法 8.4.1 乘法公式（第一课时）｜答案与解析 使用建议 先独立完成学生区，再用不同颜色订正。解析中的“关键点”应写进错题本，而不是只抄答案。 一、知识点盘点参考答案 1. 答案：2ab 解析：来自两项交叉乘积ab+ab。 2. 答案：2ab 解析：中间项为负。 3. 答案：2倍乘积 解析：完整口诀：首平方±2倍乘积+尾平方。 4. 答案：正 解析：(-b)²=b²。 5. 答案：2x；3y 解析：把单项式整体看待。 6. 答案：和或差的平方 解析：外层必须是平方。 二、随堂练习答案 1. 答案：x²+10x+25 解析：2·x·5=10x。 2. 答案：a²-12a+36 解析：末项为正36。 3. 答案：4m²+4mn+n² 解析：中间项2·2m·n。 4. 答案：9x²-12xy+4y² 解析：首尾系数平方。 5. 答案：x⁴+6x²+9 解析：x²整体平方为x⁴。 6. 答案：错误，应为a²-2ab+b² 解析：中间项不能漏。 7. 答案：10201 解析：(100+1)²。 8. 答案：2x²+8 解析：两式展开后中间项抵消。 三、分知识点专项训练答案 答案｜知识点一｜公式直接展开 1. 答案：x²+4x+4 解析：直接套公式。 2. 答案：x²-14x+49 解析：中间项为-14x。 3. 答案：4a²+4ab+b² 解析：2·2a·b。 4. 答案：9m²-6mn+n² 解析：中间项-6mn。 5. 答案：16x²+24xy+9y² 解析：系数也平方。 6. 答案：25p²-20pq+4q² 解析：2·5p·2q=20pq。 7. 答案：a⁴+2a²b+b² 解析：a²整体平方。 8. 答案：4x⁴-12x²y+9y² 解析：2x²与3y作首尾。 答案｜知识点二｜辨错、填空与结构识别 9. 答案：错误，应为x²+6x+9 解析：漏中间项。 10. 答案：正确 解析：中间项-2·2a·b=-4ab。 11. 答案：4 解析：2·x·4=8x。 12. 答案：3b 解析：尾项平方为9b²。 13. 答案：应为9x²+6xy+y² 解析：中间项系数应为6。 14. 答案：应为a²-4ab+4b² 解析：中间项和尾平方均错误。 答案｜知识点三｜简便计算与化简 15. 答案：10404 解析：(100+2)²。 16. 答案：9604 解析：(100-2)²。 17. 答案：2401 解析：(50-1)²。 18. 答案：41209 解析：(200+3)²。 19. 答案：12x 解析：展开后平方项和常数项抵消。 20. 答案：8a²+2b² 解析：中间项相互抵消。 四、综合解答题答案与解析 1. 答案：3x²-14x+8 解析：第一式4x²-12x+9；第二式x²+2x+1；作差。 2. 答案：9a²+12ab+4b²；12ab=2×3a×2b 解析：中间项是首尾乘积的2倍。 3. 答案：1004004 解析：(1000+2)²=1000000+4000+4。 4. 答案：29 解析：(x+y)²=x²+2xy+y²，所以49=x²+y²+20。 5. 答案：新面积a²+6a+9；增加6a+9 解析：新面积减原面积a²。 6. 答案：m=6，n=36 解析：2m=12，n=m²。 五、订正清单 • 检查所有负号是否随乘法正确分配。 • 检查相同字母的指数是否按对应法则处理。 • 检查每个括号中的每一项是否都参与运算。 • 检查结果是否继续合并同类项并按规范顺序书写。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $