8.4 乘法公式 ---完全平方公式同步练习2025-2026学年苏科版七年级数学下册

8.4《乘法公式》---完全平方公式 一、单选题 1．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2●⋯+25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　） A．+10xy B．+10xy或﹣10xy C．+20xy D．+20xy或﹣20xy 2．已知a+b＝5，ab＝6，则a2+b2＝（　　） A．13 B．19 C．26 D．31 3．已知a＝x+2026，b＝x+2024，c＝x+2025，当a2+b2＝8，则c2的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 4．两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 5．已知：x﹣y＝5，（x+y）2＝49，则x2+y2的值等于（　　） A．37 B．27 C．25 D．44 6．已知（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　） A．11 B．13 C．15 D．19 7．若多项式9x2﹣（a+1）xy+16y2是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．25 B．23 C．25或﹣23 D．﹣25或23 8．若m+n＝6，mn＝4，则m2+4mn+n2的值为（　　） A．40 B．44 C．48 D．52 二、填空题 9．若a+b＝1，则3a2+6ab+3b2＝　　 ． 10．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　　 ． 11．已知多项式（2x﹣1）2＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　　 ． 三、解答题 12．计算：（2a﹣b+3c）2． 13．计算： （1）； （2）（2m﹣1）（3m+1）． 14． 计算： 15．先化简，再求值：（x﹣y）2﹣5x（x+y）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣1，y＝2． 16．先化简，再求值：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y），其中，y＝1． 17．先化简（a+1）（a﹣1）+a（1﹣a）﹣a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系？（不必说理）． 18．对于任意一个三位正整数，我们可以记为，即（0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a，b，c均为整数）．若规定：对三位正整数进行F运算，得到整数a3+b2+c1．例如，F（204）＝23+02+41＝12． （1）计算：F（168）； （2）当b＝m+2时，证明：的结果一定是4的倍数． 19．阅读材料：华东师大版八年级上册教材42页为大家介绍了贾宪三角． 如果将（a+b）n（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： （a+b）0＝1，等式右边只有一项，系数为1； （a+b）1＝a+b，等式右边有两项，系数分别为1，1； （a+b）2＝a2+2ab+b2，等式右边有三项，系数分别为1，2，1； （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，等式右边有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述等式右边每个式子的各项系数排成下表： 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 结合以上材料解决以下问题： （1）（a+b）6的展开式共 　　 项，其中最中间一项的系数为 　　 ； （2）已知（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8，请直接写出n的值：　　 ； （3）如果已知（2x﹣1）2025＝a1x2025+a2x2024+a3x2023+…+a2024x2+a2025x+a2026，求a2026和代数式a1+a2+a3+…+a2024+a2025的值． 20．【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　 ． 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 　 ． 【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　　 ． （2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值． 【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和． 21．现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b的关系式：（用含a，b的代数式表示出来） 图1表示：　　 　 　 ； 图2表示：　　 　 　 ； （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：若（7﹣m）（5﹣m）＝9，求（7﹣m）2+（5﹣m）2的值； （3）如图3，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝40，CG＝26，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O，T作MO，MT的垂线，两垂线相交于点R，请直接写出四边形MORT的面积．（结果为具体的数值） 22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是AB边上一动点，PQRS是正方形ABCD的内接正方形，PA＝a，PB＝b．求a2+b2的最小值． 23．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 （1）当x＝　　 　 时，x2+6x﹣15有最小值是 　　 　 （2）多项式﹣x2+2x+18有最 　　 　 （填“大”或“小”）值，该值为 　　 　 （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值 （4）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0，求△ABC的周长． 24．定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，（a，b，c，是常数），当它们满足（x+b）2﹣（x+a）（x+c）＝M，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子．例如：对于多项式x+1，x+3，x+5，因为（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子． （1）已知2，4，6是一组完美数，求该组完美数的完美因子M； （2）当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数，并说明理由． 参考答案 一、单选题 1．解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2， ∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2， ∴墨迹覆盖的这一项是±20xy， 故选：D． 2．解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝25， ∴a2+2ab+b2＝25， ∵ab＝6， ∴a2+b2＝25﹣2×6＝13， 故选：A． 3．解：∵a＝x+2026，b＝x+2024，a2+b2＝8， ∴（x+2026）2+（x+2024）2＝8， ∴[（x+2025）+1]2+[（x+2025）﹣1]2＝8， ∴（x+2025）2+2（x+2025）+1+（x+2025）2﹣2（x+2025）+1＝8， ∴2（x+2025）2+2＝8， ∴（x+2025）2＝3， 即c2＝3， 故选：A． 4．解：如图，设AB＝CD＝CE＝FG＝x，AD＝BC＝EF＝CG＝y， ∴， 解得x＝4或x＝﹣4（负值舍去）， ∴y＝8， ∴2（x+y）＝24， 故选：C． 5．解：将x﹣y＝5两边平方得：（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝25①， 再由（x+y）2＝x2+y2+2xy＝49②， ①+②得：2（x2+y2）＝74， 则x2+y2＝37． 故选：A． 6．解：设t＝x﹣2025，则x＝t+2025， ∴（x﹣2023）2＝（t+2025﹣2023）2＝（t+2）2，（x﹣2027）2＝（t+2025﹣2027）2＝（t﹣2）2， ∵（x﹣2023）2+（x﹣2027）2＝38， ∴（t+2）2+（t﹣2）2＝38， ∴t2+4t+4+（t2﹣4t+4）＝38， ∴t2+4t+4+t2﹣4t+4＝38， ∴2t2+8＝38， 解得：t2＝15， ∴（x﹣2025）2＝（t+2025﹣2025）2＝t2＝15． 故选：C． 7．解：由条件可知﹣（a+1）xy＝±2×3x×4y＝±24xy， ∴a+1＝±24， ∴a＝﹣25或23． 故选：D． 8．解：∵m+n＝6，mn＝4， ∴m2+4mn+n2＝（m+n）2+2mn＝62+2×4＝44． 故选：B． 二、填空题 9．解：3a2+6ab+3b2 ＝3（a2+2ab+b2） ＝3（a+b）2， 当a+b＝1时，原式＝3×12＝3． 故答案为：3． 10．解：定义ad﹣bc， 可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6， 解得：x＝4， 故答案为：4 11．解：（2x﹣1）2＝4x2﹣4x+1， ∵（2x﹣1）2＝ax2+bx+c， ∴a＝4，b＝﹣4，c＝1， ∴a+b+c＝4+（﹣4）+1＝1， 故答案为：1． 三、解答题 12．解：将原式化为[（2a﹣b）+3c]2，再由完全平方公式展开计算可得： 原式＝[（2a﹣b）+3c]2 ＝（2a﹣b）2+（3c）2+2（2a﹣b）•3c ＝4a2+b2﹣4ab+9c2+12ac﹣6bc． 13．解：（1） ＝16x2﹣4xyy2； （2）（2m﹣1）（3m+1） ＝6m2+2m﹣3m﹣1 ＝6m2﹣m﹣1． 14．解：设20012000＝x，则 原式． 15．解：原式＝x2﹣2xy+y2﹣5x2﹣5xy+4x2﹣y2 ＝﹣7xy， 当x＝﹣1，y＝2时， 原式＝﹣7×（﹣1）×2 ＝14． 16．解：（2x+y）2﹣2（x+2y）（2x﹣y） ＝4x2+4xy+y2﹣2（2x2﹣xy+4xy﹣2y2） ＝4x2+4xy+y2﹣4x2+2xy﹣8xy+4y2 ＝5y2﹣2xy， 当，y＝1时，原式＝5×12﹣2×（）×1 ＝5×1+1 ＝5+1 ＝6． 17．解：原式＝a2﹣1+a﹣a2﹣a ＝﹣1． 该代数式与a的取值没有关系． 18．（1）解：F（168）＝13+62+81＝45； （2）证明： ＝a3+b2+c1﹣（a3+m2+c1） ＝b2﹣m2 ＝（m+2）2﹣m2 ＝4m+4 ＝4（m+1）， ∴4（m+1）是4的倍数， 即的结果一定是4的倍数． 19．解：（1）根据题意，可得（a+b）6展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1， 最中间项的系数是20． 故答案为：七，20； （2）∵（m+n）3＝m3+3m2n+3mn2+n3，（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8， 又（m+n）3＝m3﹣3×2m2+3×4m﹣8＝m3+3×m2×（﹣2）+3×m×（﹣2）2+（﹣2）3， ∴n＝﹣2． 故答案为：﹣2； （3）由题意可得： ∴当x＝0时，（2×0﹣1）2025＝a2026， ∴a2026＝﹣1； ∵当x＝1时，， ∴a1+a2+a3+⋯+a2024+a2025＝2． 20．解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； 【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a2+b2， a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90， 故答案为：90； （2）（11﹣x）2+（x﹣8）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝9﹣4＝5， ∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5； 【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE， ∴S△ADEAE2，S△BECCE2， ∵种花区域的面积和为， ∴AE2+CE2＝25， ∵AC＝7， ∴AE•CE＝12， ∴AE•BE＝DE•CE＝12， ∴种草区域的面积和（AE•BE+DE•CE）＝12． 21．解：（1）图1中，由图可知，， 由题意得，S大正方形＝S组成正方形的四部分的面积之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab； 图2中，由图可知，S四个长方形＝4ab，， 由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）由图1可得：（a+b）2＝a2+b2+2ab ∴[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（7﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（7﹣m）（5﹣m）， ∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝[（7﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（7﹣m）（5﹣m）＝22+2（7﹣m）（5﹣m）， ∵（7﹣m）（5﹣m）＝9， ∴（7﹣m）2+（5﹣m）2＝22+2×9＝22． （3）∵DG＝DC﹣CG，ED＝AD﹣AE， ∴DG＝x﹣26，ED＝2x﹣40， ∴MO＝MT＝（2x﹣40）+2（x﹣26）， ∵长方形EFGD的面积是200， ∴（2x﹣40）（x﹣26）＝200， ∴2（2x﹣40）（x﹣26）＝400， 令b＝2（x﹣26），a＝2x﹣40， ∴a﹣b＝12，ab＝400， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝144， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝144+2×400＝944， ∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝944+800＝1744． 22．解：∵正方形ABCD的边长为2， ∴AB＝PA+PB＝2， ∵PA＝a，PB＝b， ∴a+b＝2， ∴b＝2﹣a， ∴a2+b2 ＝a2+（2﹣a）2 ＝a2+4﹣4a+a2 ＝2a2﹣4a+4 ＝2（a﹣1）2+2， ∵（a﹣1）2≥0， ∴2（a﹣1）2≥0， ∴2（a﹣1）2+2≥2， ∴a2+b2≥2， ∴a2+b2的最小值为2． 23．解：（1）x2+6x﹣15＝（x+3）2﹣24， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0， ∴（x+3）2﹣24≥﹣24， ∴当（x+3）2＝0时，（x+3）2﹣24的值最小，最小值是﹣24， ∴x2+6x﹣15的最小值是﹣24； 故答案为：﹣3，﹣24； （2）﹣x2+2x+18＝﹣（x﹣1）2+19， ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，﹣（x﹣1）2的值最大，最大值是0， ∴﹣（x﹣1）2+19≤19， ∴当（x﹣1）2＝0时，﹣（x﹣1）2+19的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）∵﹣x2+5x+y+20＝0， ∴y＝x2﹣5x﹣20， ∴y+x＝x2﹣5x﹣20+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24， ∵（x﹣2）2≥0， ∴当x＝2时，（x﹣2）2的值最小，最小值是0， ∴（x﹣2）2﹣24≥﹣24， ∴当（x﹣2）2＝0时，（x﹣2）2﹣24的值最小，最小值是﹣24； ∴y+x的最小值是﹣24； （4）∵a2+b2﹣2a﹣8b+17＝0， ∴（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a＝1，b＝4， ∴边长c的范围为4﹣1＜c＜4+1． ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴△ABC的周长为1+4+4＝9． 24．解：（1）根据题意，得M＝（x+4）2﹣（x+2）（x+6） ＝x2+8x+16﹣（x+8x+12） ＝4； （2）2b﹣a﹣c＝0． 理由：假设a，b，c是完美数， 则（x+b）2﹣（x+a）（x+c）结果为常数， 原式＝x2+2bx+b2﹣[x2+（a+c）x+ac] ＝（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac， ∵结果为常数， ∴2b﹣a﹣c＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $