专题02 整式乘法15大题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材苏科版

专题02 整式乘法 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 计算单项式乘单项式 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3 计算单项式乘多项式 题型4 单项式乘多项式的应用 题型5 多项式乘多项式 题型6 多项式乘多项式的化简求值 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型8 多项式乘多项式与图形面积 题型9 多项式乘法中的规律性问题 题型10 运用乘法公式进行计算 题型11 求完全平方式中的字母系数 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 完全平方公式在几何图形中的应用 题型14 利用乘法公式求最值 题型15 乘法公式的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 单项式乘法 2. 多项式乘法 3. 乘法公式 1.以单项式、多项式基础乘法为主，区分系数与字母运算易错点 2.平方差、完全平方公式为核心，变形构造式子高频考查逆向运用 3.搭配参数求值题型，借助等式恒成立求解字母数值 4.混合幂的运算综合化简，设置符号、漏乘项易错陷阱 5.结合图形面积列式计算，依托几何背景体现代数应用 考情解码：整式乘法是计算类核心考点，常结合幂的运算综合出题。基础考查单乘单、单乘多、多乘多运算，重难点集中在平方差、完全平方两大乘法公式，侧重变形与逆用。题型含选择、填空、化简求值，常设符号、漏项、配方陷阱，高频搭配含参恒等式、几何面积题型，兼顾运算严谨性与代数转化思维。 知识点一 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 即时即练 1．化简：_____________． 【答案】 【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 2．化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 知识点二 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 即时即练 3．若，则的值是________． 【答案】 【分析】先根据单项式乘以多项式法则将式子变形为含的形式，最后整体代入已知条件求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点三 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 即时即练 5．计算：． 【答案】 【分析】分别按照单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 6．计算：． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则进行计算即可． 【详解】解： ． 知识点四 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 即时即练 7．化简：． 【答案】 【详解】解：原式= =． 8．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先将转化为，再根据完全平方公式展开后计算即可． （2）将转化为，再根据平方差公式去括号，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． 知识点五 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 即时即练 9．如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据分割法和正方形的面积公式作答即可； （2）根据等积法即可得出结果； （3）利用（2）中结论，利用整体代入法进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由上面的结论可知， ，， 原式． 10．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)直接写出图2中空白部分的面积________________； (2)观察图2，探究：，，三个式子之间存在怎样的关系？ (3)根据（2）中数量关系解决下列问题： ①若，，求的值；②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②29 【分析】（1）由拼图可知：图2中空白部分是正方形，且边长为，由此可得出图2中空白部分的面积； （2）根据图2中大正方形的面积为，空白部分正方形的面积为，“图2中大正方形的面积 空白部分正方形的面积图1中矩形的面积”即可得出答案； （3）①由（2）可知，将，代入得，然后根据平方根的意义即可得出的值； ②由（2）可知，将代入得，即可解答． 【详解】（1）解：由拼图可知：图2中空白部分是正方形，且边长为：， ∴图2中空白部分的面积为：； （2）解：∵图2中大正方形的边长为：， ∴图2中大正方形的面积为：， 又∵图2中空白部分是正方形，且边长为：， ∴图2中空白部分正方形的面积为：， 由拼图可知：图2中大正方形的面积 空白部分正方形的面积图1中矩形的面积， ∴， ∴，，三个式子之间存在的关系是：； （3）解：①由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 知识点六 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 即时即练 11．若，则的值为_______． 【答案】26 【详解】解：， ， 原式 ． 12．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是________． 【答案】6 【分析】原式乘以构造平方差公式，进而即可求解 【详解】解： ， 的个位数以2，4，8，6循环， 余0， 故个位为6． 知识点七 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 即时即练 13．如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 【答案】 16 【详解】解：由图可知，， ∴， ∵，， ∴. 14．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； (2)根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； (3)若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)①；②； (3)17 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同表示形式列式即可； （2）①根据，结合完全平方公式求解；②原式化为，再由完全平方公式求解； （3）由已知可得，，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：图1整体上是边长为的正方形，因此面积为，拼成图1的四个部分的面积和为， ∴有 图2阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，阴影部分也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即 ∴有， 图3中左图是长为，宽为的长方形，因此面积为，拼成的右图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， ∴有， （2）解：①； ②； （3）解：∵，， ∴，； ∵， 即， 解得， 即． 题型1 计算单项式乘单项式 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据积的乘方运算法则计算乘方，再算单项式乘法． 【详解】解：． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘法； 【详解】解：． 3．若，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则化简所求代数式，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解： 当时，原式． 4．计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 6．若单项式和的积为，则的值为________． 【答案】625 【分析】首先根据得到，，然后将化简为后代入求解即可． 【详解】解：∵单项式和的积为， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 7．若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 8．若，则求的值． 【答案】． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型3 计算单项式乘多项式 9．已知：，求的值． 【答案】 【分析】先由单项式乘以多项式运算法则化简，再由积的乘方运算的逆运算恒等变形，最后将代入代数式，由含乘方的有理数加法运算计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式乘多项式的计算，用到单项式乘多项式法则，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型4 单项式乘多项式的应用 13．如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，． (1)用表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可知，因为，所以，根据矩形的面积公式可得：； （2）根据矩形的面积公式可得，根据，可得：，从而可求． 【详解】（1）解：四边形为正方形，，， ， ； （2）解：， ， ． 14．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 【答案】(1)把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； (2)在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每地砖的价格是元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出侧面积即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， （元） 答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要平方米的砖，购买所需地砖至少需要元； （2）解：根据题意得：， （元） 答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要平方米的壁纸，购买所需壁纸至少需要元． 15．按要求解题 (1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，如果某种地砖的价格为每平方米元，那么购买地砖至少需要多少元？ (2)如果房屋的高度是米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，如果某种墙纸的价格为每平方米元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度） 【答案】(1)购买地砖所需的费用为元； (2)购买墙纸所需的费用为元． 【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可； （2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h米，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可． 【详解】（1）解：平方米， 元， 答：购买地砖所需的费用为元； （2）解：（平方米）， 元， 答：购买墙纸所需的费用为元． 16．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）小长方形的宽为（2）大长方形的周长为 【分析】本题考查了整式的加减运算和几何图形周长的计算，解题的关键是通过观察图形，建立小长方形长与宽的关系，并用代数式表示出阴影部分的周长． 设小长方形的长为，宽为，由图可知，大长方形的长为，宽为；分别计算图3和图4中阴影部分的周长，再根据两者的差为列出方程求解． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知：， 大长方形的长为，宽为． 图3中阴影部分的周长： 图4中阴影部分的周长： 由题意：，，． 故小长方形的宽为． （2）解：大长方形的长为，宽为，大长方形周长， 将代入：． 故大长方形的周长为． 题型5 多项式乘多项式 17．计算：． 【答案】 【详解】解：原式. 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 19．计算： 【答案】 【详解】解：原式 . 20．在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）化简，对比结果，分别求出，的值； （2）将（1），的值代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：， ∵小泉看错了的值，计算结果为， ∴，， ∵小张看错了的值，计算结果为， ∴． （2）解：∵，， ∴ ． 题型6 多项式乘多项式的化简求值 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】利用多项式乘多项式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项得到最简结果，再代入x和y的数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时 原式． 22．先化简，再求值：，其中x与y满足． 【答案】 ， 【分析】先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据偶次方和绝对值的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 23．先化简再求值：，其中且． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算，绝对值的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的混合运算化简，再根据题意解得，代入化简式计算即可． 【详解】原式 ； 且， ，解得，代入得， 故化简式为，其值为． 24．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 【易错警示】 多项式相乘易漏乘项、符号出错，负系数相乘时常忘变号。混用幂运算法则，指数加减失误。化简后代入数值，负数、分数未加括号计算。完全平方、平方差公式与多项式乘法混淆，不先化简直接代入，步骤繁杂极易计算出错，且缺少验算步骤。 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 25．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含项，可得项的系数为，据此求解的值即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含项， ∴项的系数等于，即， 解得． 26．已知的展开式中，不含有和，则______． 【答案】 【分析】首先根据多项式乘以多项式法则将原式展开，结合展开式中不含有和，可得关于，的二元一次方程组并求解，然后代入求值即可． 【详解】 ， 展开式中不含有和， ，解得，     ． 27．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 【答案】 【分析】由多项式乘以多项式进行化简，然后结合不含和项，求出 ，即可求出答案． 【详解】解： ， ∵其结果中不含和项， ∴， 解得： ． 28．定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 【答案】(1)B是A的“好多项式” (2)2 (3) 【分析】先计算出两个多项式乘积化简后的结果，再根据定义判断或建立方程求解未知数即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 可得 ， ， 满足 ， 符合“好多项式”的定义，因此是的“好多项式”； （2）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”， ， 因此需要， 解得； （3）解：由题意得 ，， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”，则 ， ①当时，则，，此时，故不符合题意； ②当时，则 ， ∴，解得； 因此的值为． 【易错警示】 展开多项式时容易漏乘、符号出错，合并同类项系数计算失误。误将常数项当作一次、二次项系数，分不清不含项即系数为 0。求出参数后不回代验证，忽略负号、分数运算细节，未完整展开就直接判断系数，极易算错字母取值。 题型8 多项式乘多项式与图形面积 29．如图，长方形纸板的长为a，宽为b，在它的四角分别剪去一个边长为x的正方形，然后将四周突出部分折叠起来，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列结论错误的是（   ） A．纸盒的体积为 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 【答案】B 【详解】解：观察图形可知，纸盒的长为，宽为，高为x，所以纸盒的体积为，故选项A正确，不符合题意； 观察图形可知，纸盒的表面积为，故选项B错误，符合题意； 观察图形可知，纸盒的底面的长为，宽为，所以纸盒的底面积为，故选项C正确，不符合题意； 若制成的纸盒是正方体，则，所以，故选项D正确，不符合题意． 30．如图，有A，B，C三种长方形或正方形卡片若干张，小辰用这些卡片拼出一个长，宽的长方形（不重叠、无缝隙），则需要的C类卡片的张数为（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 【答案】D 【分析】求出的展开结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴拼成的长方形的面积为， ∴需要的C类卡片的张数为11． 31．图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，得出，，再得到，即可求解． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵始终为， ∵， ∴． 32．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题： （1）先化简多项式，再根据多项式的值与x的取值无关，可得，即可求解； （2）先化简求出，再由的值与x的取值无关，得到，即可求解； （3）设，观察图形得：，可得，再由当的长变化时，的值始终保持不变，即可求解． 【详解】（1）解： ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∴； （3）设， 观察图形得：， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 【易错警示】 结合图形列多项式算式易看错边长，拼接、挖空图形漏算或多算区域。去括号化简时常弄错符号，合并同类项计算失误。分割图形时等量关系梳理不清，混淆整体与局部面积，代入求值时分负数不加括号，缺少检验步骤造成结果偏差。 题型9 多项式乘法中的规律性问题 33．观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述规律，请解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________________________． (2)猜想第n个等式：________________________．并通过计算说明该猜想的正确性． 【答案】(1) (2) ，理由： 左边 ． ∵左边＝右边， ∴该猜想成立 【分析】（1）根据题中式子直接写出第5个式子即可； （2）根据题意找出规律，然后运用整式的乘法进行验证即可． 【详解】（1）略 （2）略． 34．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（为正整数）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． (1)按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； (2)若，求的值； (3)当代数式的值为1，则的值为 ． 【答案】(1)5； (2)63 (3)3 【分析】（1）根据题干得出规律，展开式中共有5项，其展开式中各项的系数为1，4，6，4，1，据此求解即可； （2）对进行赋值，分别令和，据此求解即可； （3）根据“杨辉三角”将所求式子转化为，再利用其代数式的值为1列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：按题干规律，展开式中共有5项，其展开式中各项的系数为1，4，6，4，1， ， 因此，展开式中第三项为； （2）解：令得：， 令得：， ； （3）解：根据题意得：， ， ， ． 35．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （2）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （3）利用（2）中的规律进行变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵； ； ； … ∴； （3）解： ． 36．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … (1)根据上述规律，请写出第5个等式：__________________． (2)猜想：__________________． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写出第5个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将待求式与（2）中结论的因式对比，可知当时形式相同，再利用结论进行求解． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知：， 即， ∴． 题型10 运用乘法公式进行计算 37．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 39．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）先根据单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．化简：． 【答案】 【详解】解： 【易错警示】 运用平方差、完全平方公式极易混淆结构特征，分不清和与差。完全平方常漏掉中间 2ab 项，符号正负判断失误。两项以上套用公式不会分组，负数、分数未添括号直接平方。混合运算顺序错乱，公式与整式乘法混用出错，化简后不检查展开项。 题型11 求完全平方式中的字母系数 41．已知是完全平方式，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据完全平方式的结构特征建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】 是完全平方式，且，完全平方公式为， ， ， 即或， 解得或． 42．若多项式与某个单项式的和是一个完全平方式，则该单项式可以是______．（填一个符合要求的单项式即可） 【答案】 【分析】根据完全平方式的结构特征，分情况讨论即可得到符合要求的单项式， 写出任意一个符合条件的结果即可． 【详解】解：分三种情况： ①当两个平方项为和常数项时，完全平方式为， 若完全平方式为， 则 ，是单项式，符合要求； 若完全平方式为， 则 ，是单项式，符合要求； ②当平方项为，一次项为时，完全平方式为， 则 ，是单项式，符合要求； ③当一次项为，常数项时，完全平方式为， 则，是单项式，符合要求； 综上，所有符合要求的单项式为、、、，任选一个作答即可． 43．若二次三项式是完全平方式，则________． 【答案】5或/或5 【详解】解：完全平方公式为， 二次三项式是完全平方式， ， ， 当 时， 解得， 当 时， 解得． 综上可知，或5． 44．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方式的特征进行求解即可； （2）利用配方法化简、，进而比较即可； （3）根据题意得到，进而得到，利用完全平方公式和提取公因式对所求式子化简求值即可． 【详解】（1）解：是一个完全平方式， ， ， ， ； （2）解：、 则； （3）解：由题意得：， 得：， ， ． 题型12 通过对完全平方公式变形求值 45．若，，则的值为（    ） A．44 B．42 C．32 D．28 【答案】A 【分析】本题利用完全平方公式变形求解，将所求转化为含已知和的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 46．设，，．若，则的值是________________． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，先根据的表达式得到的值，再利用完全平方公式结合已知条件求出的值，最后将变形为的代数式，代入计算即可． 【详解】解：，，， ，，， ，， ， 解得， ∴． 47．已知，，则_____． 【答案】 /0.5 【分析】将两个已知等式根据完全平方公式展开，再将展开式作差消去和，即可计算出的值． 【详解】解：根据完全平方公式展开已知等式，得： ， ， 由得： ， 整理得， 解得． 48．通过第1章《整式的乘法》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． (1)如图是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式___________________． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想________； A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想 D．转化思想 利用上述公式解决问题： (2)若，，则________； (3)若，求的值； 【答案】(1)，A (2) (3) 【分析】（1）根据图形结合正方形的面积公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式可进行求解； （3）设，则有，然后可得，进而根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴利用这个图形可以验证公式， 这种验证思路体现了数形结合思想； （2）解：∵，， ∴； （3）解：设，则有， ∴， ∴， ∴， 即． 【易错警示】 变形求值易记错和、差平方之间的转化关系，分不清 2ab 前正负符号。已知两数和与积，变形时常漏乘 2。负数平方忽略括号，整体代换时漏添括号。审题忽略正负取值分类，不检验结果合理性，计算过程简单运算失误，最终数值出错。 题型13 完全平方公式在几何图形中的应用 49．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；           (1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米； ①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明） (2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长． 【答案】(1)，①，②C类型，厘米 (2)厘米 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，能够通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释是解题的关键． （1）首先表示出A、B、C、三种型号每块的面积，然后表示出A型2块，B型4块，C型4块纸板的面积和即可；①把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长；②把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （2）首先表示出A型12块，B型12块，C型4块的总面积然后减去一块C型，根据完全平方公式得到此时正方形的边长为． 【详解】（1）解：A型边长为a厘米的正方形；B型长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型边长为1厘米的正方形， 1块A型的面积为平方厘米，B块型的面积为a平方厘米，C块型的面积为1平方厘米， 所以A型2块，B型4块，C型4块的总面积为平方厘米； 故答案为：； ①这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．剩下纸板的总面积为，而，则此正方形的边长为厘米； 故答案为：； ②从这10块纸板中拿掉2块C类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为厘米， （2）解：从这28块纸板中拿掉1块C类型的纸板可满足要求， A型12块，B型12块，C型4块的总面积为， 拿掉1块C类型的纸板后面积为： ， ∴此时正方形的边长为厘米． 50．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 51．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 【答案】(1)需要卡片张，卡片张，卡片张 (2)要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取型卡片张 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式： （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为，则多项式是一个完全平方式，据此求解即可； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）解：设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为， ∵所有卡片可以紧密拼成一个正方形， ∴多项式是一个完全平方式， ∴， ∴或（舍去） ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）解：依题意，设长方形的边长为， ∴ 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 52．已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 题型14 利用乘法公式求最值 53．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 【答案】(1)； (2) (3)当时，有最小值，最小值为 (4)1；大； 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）模仿例1使用配方法进行因式分解； （3）模仿例2使用配方法求代数式的最值； （4）模仿例2使用配方法求代数式的最值． 【详解】（1）解：例1中第二步将写成，依据完全平方公式； 第三步将写成，依据平方差公式， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ， ∴当时，有最小值，最小值为； （4）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：1，大，． 54．【问题背景】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：， ∵，，当时，M有最小值1． 【问题解决】请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． (3)【策略迁移】已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 【答案】(1) (2) 代数式的最大值为，此时 (3) 是等腰三角形 【分析】本题主要考查整式的混合运算，理解材料提示方法，掌握整式运算法则是关键． （1）根据材料提示的配方法计算即可； （2）根据材料提示的配方法计算得到，结合不等式的性质即可求解； （3）根据题意，运用配方法得到，结合非负性即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴，， ∴代数式的最大值为，此时； （3）解：是等腰三角形，理由如下， ， 移项得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，符合题意， ∴是等腰三角形． 55．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、平方的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征以及利用平方非负性解题是关键． （1）观察二次三项式的形式，依据完全平方公式，判断是否符合完全平方式结构来配方． （2）把等式左边的式子通过拆项，凑成两个完全平方式的和，再利用平方的非负性求出、的值，进而计算 ． （3）将代数式通过添项凑成完全平方式，结合平方的非负性确定最小值． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： 平方数具有非负性，两个非负数的和为，则这两个非负数都为 ， ， （3）解： 当时，代数式的最小值是 56．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． 【答案】(1)， (2)证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x取何值，P始终大于Q； (3) 【分析】（1）根据配方法将转化为的形式即可； （2）计算的值，仿照题干作答即可； （3）利用配方法求取最小值时a、b的值，进而相加即可． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴，； （2）略； （3）解： ， ∵，， ∴当，时，取最小值， 此时， ∴． 题型15 乘法公式的新定义问题 57．现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，据此计算求解即可； （2）根据定义求出的结果，再根据得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ； ∵， ∴ ∴， ∴． 58．爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 【答案】(1)①是；②不是 (2)． 【分析】（1）①根据平衡多项式定义，计算即可判断； ②根据平衡多项式定义，计算即可判断； （2）根据平衡多项式定义计算即可． 【详解】（1）解：①∵ ， ∴由定义可知，，，是平衡多项式； ②∵ ， ∴由定义可知，不是平衡多项式； （2）解：∵，，是平衡多项式， ∴， 整理得， ∴， 因为结果是常数，所以含x的项系数为0： ∴， ∴， ∴， ∴平衡因子． 59．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 【答案】(1) 3 (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式的配方以及根据新定义判断多项式的对称轴，解题的关键在于将多项式通过配方转化为完全平方式的形式，再根据定义确定对称轴． （1）首先对多项式进行配方，化成完全平方的形式，求解对称轴即可． （2）先对多项式进行配方，在根据多项式关于对称，求解的值即可． （3）先对整式中的两个多项式分别进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式关于对称 故答案为：3； （2）解：∵， ∴关于对称， ∵关于对称， ∴， ； 故答案为：； （3）解：， ， ∴原式， ∵当取相反数时，相等，故原式值相等， ∴关于对称． 故答案为：． 60．定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 【答案】(1)39 (2)0 (3)16 【详解】（1）解：根据“和差数”的定义，计算如下： ； （2）解：根据题意，得到： 移项，利用完全平方公式得， 解得： 原式． （3）解： ． 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，只需根据单项式乘多项式、单项式乘单项式、平方差公式、完全平方公式，逐一计算每个选项，判断正误即可． 【详解】解：对选项A， ，该项错误． 对选项B， ，该项错误． 对选项C，，该项错误． 对选项D，利用完全平方公式展开可得，，该项正确． 2．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算两个多项式的乘积，合并同类项后，由乘积不含项可知项的系数为，据此列方程求解的值 【详解】解： 又∵ 乘积中不含项， ∴ 项的系数为，即 解得 3．如图1是七年级两个社团的手工创作展示区，图2是从手工创作展示区抽象后的几何模型：两块边长分别为、的正方形，其中重叠部分为公共通道，阴影部分、分别表示两个社团的手工创作展示区面积．若，，则（     ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】先根据，，利用完全平方公式求出的值，得到，根据题意，，求得，最后代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ∴， 根据题意，得，， ． 4．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【分析】本题利用换元思想结合完全平方公式的变形求解，无需展开解方程求，可简化计算，用到完全平方公式的变形公式． 【详解】解：设，， 由完全平方公式可得，变形得 ， ， 由题意得 ， 将，代入公式得：， 即． 5．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先根据已知等式总结规律，化简所求算式，再找出个位数字的循环规律，即可计算出结果的个位数字． 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 6．已知，，则的值为______． 【答案】4 【分析】利用完全平方公式将展开，可发现展开式可由已知两个等式相加得到，直接将已知两式相加计算即可． 【详解】解：， ． 7．已知，则的值是____________． 【答案】 6 【分析】观察原式中三个一次项常数的关系，可利用换元法将原方程转化，整理后即可得到所求代数式的值. 【详解】解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 8．若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的形式是，先确定出、对应的值，即可求出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， ， 解得：或． 9．已知点在线段上，现如图摆放以、为边的两张正方形卡片，若，且两个正方形的面积之和为52，则阴影部分的面积是_____． 【答案】24 【分析】如图所示，连接，由可得阴影部分的面积，根据，代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 设， 即以为边的正方形的边长为，以为边的正方形的边长为， ∴ ， ∵，且两个正方形的面积之和为， ∴，， ∵， ∴， 即阴影部分的面积是． 10．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值等于________． 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 …… 【答案】2 【分析】依据题意，令，得，又令，则，则，从而可得，即可得解． 【详解】解：， 当时，， ， 又令， ， ， ． 11．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 12．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）突破口是完全平方和的展开公式，因为已知和的值，所以将展开为，变形后即可代入已知条件求解． （2）突破口是完全平方差与完全平方和的关系，因为已经求得且已知，所以将展开为，代入对应数值即可求解． 【详解】（1）解： 代入已知条件，， 得； （2）解： 代入，， 得． 13．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合，某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式： (1)根据上面的信息回答：若，则的值为________． (2)如图2，长方形周长为22，以长方形的相邻两边为边长分别向外作正方形、正方形，若正方形、正方形的面积和为78，直线与直线交于点I，求长方形的面积； 【答案】(1)62 (2) 【分析】（1）把，整体代入求值即可； （2）设，，则可推出，根据正方形、正方形的面积和为，可得，根据可得，从而可得，即长方形的面积为． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：设，， ∵长方形周长为22， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长， ∵正方形的面积为、正方形的面积为，正方形、正方形的面积和为， ， ， ， 解得， 长方形的面积为． 14．定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值． (1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系； (3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值． 【答案】(1)多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25 (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义判断即可得到答案； （2）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0即可得到答案； （3）根据完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则求出的结果，再根据定义令含x的项的系数为0求出k和t的值，进而求出常数项的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ∴多项式，，是一组平衡多项式，且该组平衡多项式的平衡值为25； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式， ∴，即； （3）解：∵，，， ∴ ， ∵多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式， ∴， ∴， ∴， ∴该组平衡多项式的平衡值为4． 15．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． 【答案】(1)， (2)证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x取何值，P始终大于Q； (3) 【分析】（1）根据配方法将转化为的形式即可； （2）计算的值，仿照题干作答即可； （3）利用配方法求取最小值时a、b的值，进而相加即可． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴，； （2）略； （3）解： ， ∵，， ∴当，时，取最小值， 此时， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘法 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 计算单项式乘单项式 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 题型3 计算单项式乘多项式 题型4 单项式乘多项式的应用 题型5 多项式乘多项式 题型6 多项式乘多项式的化简求值 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型8 多项式乘多项式与图形面积 题型9 多项式乘法中的规律性问题 题型10 运用乘法公式进行计算 题型11 求完全平方式中的字母系数 题型12 通过对完全平方公式变形求值 题型13 完全平方公式在几何图形中的应用 题型14 利用乘法公式求最值 题型15 乘法公式的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 单项式乘法 2. 多项式乘法 3. 乘法公式 1.以单项式、多项式基础乘法为主，区分系数与字母运算易错点 2.平方差、完全平方公式为核心，变形构造式子高频考查逆向运用 3.搭配参数求值题型，借助等式恒成立求解字母数值 4.混合幂的运算综合化简，设置符号、漏乘项易错陷阱 5.结合图形面积列式计算，依托几何背景体现代数应用 考情解码：整式乘法是计算类核心考点，常结合幂的运算综合出题。基础考查单乘单、单乘多、多乘多运算，重难点集中在平方差、完全平方两大乘法公式，侧重变形与逆用。题型含选择、填空、化简求值，常设符号、漏项、配方陷阱，高频搭配含参恒等式、几何面积题型，兼顾运算严谨性与代数转化思维。 知识点一 单项式乘单项式 1.单项式乘单项式的运算法则： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 2.单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数一起写在积里 3.要点提示： (1)先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，在各系数相乘时，先确定积的符号，再计算绝对值： (2)相同字母相乘时，利用同底数暴的乘法法则“底数不变，指数相加”； (3)单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行： (4)单项式乘单项式，结果仍是单项式，对于暴的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算： (5)对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍然适用 即时即练 1．化简：_____________． 2．化简：_________． 知识点二 单项式乘多项式 【法则】单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 【注意】 (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 即时即练 3．若，则的值是________． 4．计算： (1)； (2)． 知识点三 多项式乘多项式 1.多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 2.运用法则时应注意以下几点： (1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行.例如(m+n)· (a+b+c),可先用第一个多项式中的第一项“m”分别与第二个多项式的每一项相乘，再用第一个多项式的第二项“n”分别与第二个多项式的每一项相乘，然后把所得的积相加.即 （m+n )（a+b+c )=ma+mb+mc+na+nb+nc. (2)在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应是这两个多项式项数的积，如(m+n)(a+b+c),积的项数应为2×3=6. (3)各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. (4)各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. (5)注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负” (6)多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果 即时即练 5．计算：． 6．计算：． 知识点四 完全平方公式 1.完全平方公式： 即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍. 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 完全平方公式的常见变形： 2.完全平方公式的特征： ①左边是两个数的和的平方； ②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． 3.应用完全平方公式时，要注意： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 即时即练 7．化简：． 8．用乘法公式计算： (1)； (2)． 知识点五 完全平方公式的几何意义 如图，大正方形的面积可以表示为,也可以表示为S= 其几何意义：以a+b为边长的正方形的面积等于边长分别为a,b的小正方形及2个长、宽分别是b,a的小长方形的面积之和.从而验证了完全平方公式 即时即练 9．如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形（如图2，阴影部分是一个小正方形）． (1)用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积，完成下面的填空（列式即可）：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得________；由正方形的面积公式可得________； (2)写出三个代数式，，之间的等量关系式________． (3)已知，，请利用发现的结论，求的值． 10．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)直接写出图2中空白部分的面积________________； (2)观察图2，探究：，，三个式子之间存在怎样的关系？ (3)根据（2）中数量关系解决下列问题： ①若，，求的值；②若，求的值． 知识点六 平方差公式 1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差，即(a+b)(a-b)= 2.平方差公式的结构特征： （1）平方差公式(a+b)(a-b)= ，它的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相 同，而另一项互为相反数： （2）公式的右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与互为相反数项的平方差.掌握了这些结构特征，就容易判断哪些多项式相乘可以用此乘法公式，哪些不能用. 3.平方差公式的解读： （1）在平方差公式中，字母α和b可以表示具体的数，也可以表示一个单项式，还可以表示一个多项式， 但字母之间的运算规律是不发生变化的，因此，只要符合公式的特征，就可以直接写出结果； （2）有些多项式乘法，公式特征不明显，所以看起来不符合公式，其实只要经过变形就能使用公式： （3）两数和乘这两数差的积等于这两数的平方差，此公式有时也可以逆用，会使运算简便 即时即练 11．若，则的值为_______． 12．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是________． 知识点七 平方差公式的几何背景 如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形Ⅱ的面积，即若把小长方形V变换到小长方形V的位置，则此时阴影部分的面积又可以看成是=(a+b)(a-b).从而验证了平方差公式(a+b)(a-b)= 即时即练 13．如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为__________． 14．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式． 图1：__________________，图2：__________________，图3：__________________； (2)根据上述图中你探索发现的结论，简便计算： ①；②； (3)若图1中a与b的值分别为和，且满足，请求出的值． 题型1 计算单项式乘单项式 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．若，则的值为_____________． 4．计算：． 题型2 利用单项式乘法求字母或代数式的值 5．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 6．若单项式和的积为，则的值为________． 7．若，则________． 8．若，则求的值． 题型3 计算单项式乘多项式 9．已知：，求的值． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)． 题型4 单项式乘多项式的应用 13．如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，． (1)用表示； (2)若，求的值． 14．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米．这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸． (1)把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元？ (2)已知房屋的高度为米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸？如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱？（计算时不算门、窗所占的面积）． 15．按要求解题 (1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，如果某种地砖的价格为每平方米元，那么购买地砖至少需要多少元？ (2)如果房屋的高度是米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，如果某种墙纸的价格为每平方米元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度） 16．根据以下综合与实践材料，完成问题解决． 实践主题 拼图中的周长探究 实践材料 若干小长方形（如图1）、两个形状及大小完全相同的大长方形（如图2）． 实践操作 小亮操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图3： 小明操作如下： 在大长方形内，互不重叠地放入5个小长方形，未被覆盖的部分用阴影表示，得到图4． 实践数据 图3中阴影部分周长与图4中阴影部分周长的差为m． 问题解决 （1）求小长方形（如图1）的宽（用含m的代数式表示）； （2）求大长方形（如图2）的周长（用含m的代数式表示）． 题型5 多项式乘多项式 17．计算：． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： 20．在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为． (1)求，的值； (2)计算的正确结果． 题型6 多项式乘多项式的化简求值 21．先化简，再求值：，其中，． 22．先化简，再求值：，其中x与y满足． 23．先化简再求值：，其中且． 24．“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【易错警示】 多项式相乘易漏乘项、符号出错，负系数相乘时常忘变号。混用幂运算法则，指数加减失误。化简后代入数值，负数、分数未加括号计算。完全平方、平方差公式与多项式乘法混淆，不先化简直接代入，步骤繁杂极易计算出错，且缺少验算步骤。 题型7 已知多项式乘积不含某项求字母的值 25．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 26．已知的展开式中，不含有和，则______． 27．若的乘积中不含和项，则_______，_______． 28．定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 【易错警示】 展开多项式时容易漏乘、符号出错，合并同类项系数计算失误。误将常数项当作一次、二次项系数，分不清不含项即系数为 0。求出参数后不回代验证，忽略负号、分数运算细节，未完整展开就直接判断系数，极易算错字母取值。 题型8 多项式乘多项式与图形面积 29．如图，长方形纸板的长为a，宽为b，在它的四角分别剪去一个边长为x的正方形，然后将四周突出部分折叠起来，制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列结论错误的是（   ） A．纸盒的体积为 B．纸盒的表面积为 C．纸盒的底面积为 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足 30．如图，有A，B，C三种长方形或正方形卡片若干张，小辰用这些卡片拼出一个长，宽的长方形（不重叠、无缝隙），则需要的C类卡片的张数为（   ） A．4 B．6 C．9 D．11 31．图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 32．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与x的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m的值为 ； (2)已知，，且的值与x的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【易错警示】 结合图形列多项式算式易看错边长，拼接、挖空图形漏算或多算区域。去括号化简时常弄错符号，合并同类项计算失误。分割图形时等量关系梳理不清，混淆整体与局部面积，代入求值时分负数不加括号，缺少检验步骤造成结果偏差。 题型9 多项式乘法中的规律性问题 33．观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述规律，请解答下列问题． (1)请直接写出第5个等式：________________________． (2)猜想第n个等式：________________________．并通过计算说明该猜想的正确性． 34．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（为正整数）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． (1)按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ； (2)若，求的值； (3)当代数式的值为1，则的值为 ． 35．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 36．观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． … (1)根据上述规律，请写出第5个等式：__________________． (2)猜想：__________________． (3)利用（2）中的结论，求的值． 题型10 运用乘法公式进行计算 37．计算： (1) (2) 38．先化简，再求值：，其中． 39．计算： (1)； (2)． 40．化简：． 【易错警示】 运用平方差、完全平方公式极易混淆结构特征，分不清和与差。完全平方常漏掉中间 2ab 项，符号正负判断失误。两项以上套用公式不会分组，负数、分数未添括号直接平方。混合运算顺序错乱，公式与整式乘法混用出错，化简后不检查展开项。 题型11 求完全平方式中的字母系数 41．已知是完全平方式，则的值为（     ） A．或 B． C． D． 42．若多项式与某个单项式的和是一个完全平方式，则该单项式可以是______．（填一个符合要求的单项式即可） 43．若二次三项式是完全平方式，则________． 44．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 题型12 通过对完全平方公式变形求值 45．若，，则的值为（    ） A．44 B．42 C．32 D．28 46．设，，．若，则的值是________________． 47．已知，，则_____． 48．通过第1章《整式的乘法》的学习，我们知道，可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式． (1)如图是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证公式___________________． 这种验证思路体现了下列哪一种数学思想________； A．数形结合思想  B．分类讨论思想  C．类比思想 D．转化思想 利用上述公式解决问题： (2)若，，则________； (3)若，求的值； 【易错警示】 变形求值易记错和、差平方之间的转化关系，分不清 2ab 前正负符号。已知两数和与积，变形时常漏乘 2。负数平方忽略括号，整体代换时漏添括号。审题忽略正负取值分类，不检验结果合理性，计算过程简单运算失误，最终数值出错。 题型13 完全平方公式在几何图形中的应用 49．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，宽为1厘米的长方形；C型：边长为1厘米的正方形；           (1)A型2块，B型4块，C型4块，此时纸板的总面积为 平方厘米； ①从这10块纸板中拿掉一块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，这个大正方形的边长为 厘米； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的边长是多少厘米？（计算说明） (2)A型12块，B型12块，C型4块，从这28块纸板中拿掉一块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请接写出大正方形的边长． 50．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 51．已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．    (1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ (2)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 52．已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 题型14 利用乘法公式求最值 53．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1  因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2  求的最小值． 解：原式 ． ， ∴当，即时，的值最小，最小值为． 任务： (1)例1因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示） (2)用配方法将因式分解． (3)用配方法求：当为何值时，代数式的值最小，最小值是多少． (4)当___________时，代数式有最___________值，是___________． 54．【问题背景】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：， ∵，，当时，M有最小值1． 【问题解决】请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值． (3)【策略迁移】已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断三角形的形状． 55．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 56．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． 题型15 乘法公式的新定义问题 57．现定义一种新运算“”，对于任意数，，都有． 例如． 请根据上述定义回答下列问题： (1)计算：； (2)若，求a的值． 58．爱思考的可可同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义： 对于三个多项式（按顺序排列）：，，（其中，是非零常数），当是一个常数时，称这样的三个多项式是平衡多项式，的值是平衡因子． (1)根据“平衡多项式”的定义，试判断： ①，，______（是或不是）平衡多项式；②，，______（是或不是）平衡多项式； (2)已知，，是平衡多项式，求平衡因子． 59．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于____________对称； (2)若关于的多项式关于对称，则的值为_________； (3)整式关于____________对称． 60．定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 1．下列运算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（     ） A．0 B． C． D． 3．如图1是七年级两个社团的手工创作展示区，图2是从手工创作展示区抽象后的几何模型：两块边长分别为、的正方形，其中重叠部分为公共通道，阴影部分、分别表示两个社团的手工创作展示区面积．若，，则（     ） A．16 B．15 C．14 D．12 4．如果，那么的值为（     ） A．10 B．12 C．16 D．25 5．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 6．已知，，则的值为______． 7．已知，则的值是____________． 8．若是一个完全平方式，则___________． 9．已知点在线段上，现如图摆放以、为边的两张正方形卡片，若，且两个正方形的面积之和为52，则阴影部分的面积是_____． 10．我国南宋数学家杨辉用三角形系数表解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．“杨辉三角”给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：若，请根据上述规律，写出的值等于________． 1 1 2 1 3 3 1 4 6 4 …… 11．先化简，再求值：，其中，． 12．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 13．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合，某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式： (1)根据上面的信息回答：若，则的值为________． (2)如图2，长方形周长为22，以长方形的相邻两边为边长分别向外作正方形、正方形，若正方形、正方形的面积和为78，直线与直线交于点I，求长方形的面积； 14．定义：多项式、、，如果满足（为常数），则称多项式、、为一组平衡多项式，其中是该组平衡多项式的平衡值． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组平衡多项式，9是该组的平衡值． (1)判断多项式，，是否为一组平衡多项式？若是，请求出该组平衡多项式的平衡值；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（，，是常数）是一组平衡多项式，求，，之间的数量关系； (3)多项式，，（，是常数）是一组平衡多项式，请直接写出该组平衡多项式的平衡值． 15．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 配方法是将一个代数式的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，利用配方法可以解决许多数学问题． 如：利用配方法求的最小值． 解： ∵，∴当时，有最小值为． (1)填空：若，则______，______． (2)应用：若，，试说明无论x取何值，P始终大于Q． (3)当取最小值时，________． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $