8.4.2乘法公式第二课时_平方差公式_暑期讲义2026年苏科版七年级数学下册

2026暑期衔接｜苏科版数学七年级下册 苏科版（2024）数学七年级下册 8.4.2 乘法公式（第二课时） 平方差公式 · 结构识别 · 简便计算与综合运用 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 建议2课时 教材定位 本讲义对应现行苏科版七年级下册第8章“整式乘法”，严格按课时边界选题，不提前使用后续知识。 学习目标 1．通过多项式乘法和图形剪拼推导平方差公式，理解等式两边的面积意义。 2．会识别“相同项与相反项”的结构，正确确定公式中的a和b。 3．能运用平方差公式进行整式乘法、简便计算和代数式化简。 4．能综合使用已学乘法公式，但不涉及后续因式分解知识。 一、重难点导航 模块 核心内容 学习重点 学习难点 易错提醒 推导 (a+b)(a-b)=a²-b² 中间项互为相反数 图形剪拼与代数展开 公式是乘法展开，不做因式分解 识别 两个二项式：一项相同，一项相反 找相同项a和相反项b 项的顺序与负号 可先调整书写顺序 应用 直接展开、整体代换、简便计算 平方差结构优先 复合单项式作整体 平方时系数与指数都处理 综合 与完全平方公式配合 选择合适公式 避免公式混淆 后续因式分解内容不出现 二、教材知识点盘点（先填后学） 完成要求 先凭已有知识填写；学习结束后用另一种颜色订正，并把法则或公式完整朗读两遍。 1. (a+b)(a-b)=________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2. 平方差公式的左边是两个数的________与________的积。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 公式左边两个括号中，一项完全相同，另一项互为________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4. 公式右边是相同项的平方减去________的平方。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5. (3x+2y)(3x-2y)中，a=________，b=________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6. 使用公式前，可通过调换项的顺序，把结构整理为________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、知识网络（思维导图） 图示说明：从法则、运算步骤、易错点和题型四个方向构建本课知识网络。 四、核心知识精讲 图1 用剪拼说明a²-b²=(a+b)(a-b) 规范步骤 读结构 → 定符号 → 按法则逐项运算 → 合并同类项（如有）→ 检查是否漏项、指数或括号。 五、典例精讲 典例1｜直接套用 题目：计算：(x+5)(x-5)。 解答： 点拨：相同项是x，相反项对应量是5。 典例2｜系数与字母 题目：计算：(3a+2b)(3a-2b)。 解答： 点拨：平方时系数和字母都要平方。 典例3｜调整结构 题目：计算：(2x-3y)(-3y-2x)。 解答： 点拨：项的顺序或整体负号改变时，要先整理再套公式。 典例4｜简便计算 题目：计算：103×97。 解答： 点拨：两个数以同一基准数为中心，适合平方差公式。 六、随堂练习 建议用时 10—12分钟。先完成，再在题号前标注：○会做、△不熟、×不会。 1. 计算：(x+4)(x-4)。 2. 计算：(2a+b)(2a-b)。 3. 计算：(5m-3n)(5m+3n)。 4. 计算：(x²+2)(x²-2)。 5. 计算：51×49。 6. 判断：(a+b)(a-b)=a²+b²。 7. 化简：(x+3)(x-3)+(x+1)²。 8. 计算：(2x-y)(y+2x)。 七、分知识点专项训练 知识点一｜直接运用平方差公式 1. (a+6)(a-6) 2. (2x+3)(2x-3) 3. (5m-n)(5m+n) 4. (3a+4b)(3a-4b) 5. (x²+y)(x²-y) 6. (2p²+3q)(2p²-3q) 7. (ab+1)(ab-1) 8. (4x³-y²)(4x³+y²) 知识点二｜结构识别与调整 9. (x-2)(x+2) 10. (3a-b)(b+3a) 11. (m+4n)(-m+4n) 12. (2x-5y)(-5y-2x) 13. 判断：(a+2b)(2b-a)=4b²-a²。 14. 改错：(3x+1)(3x-1)=3x²-1。 知识点三｜简便计算与公式综合 15. 计算：42×38 16. 计算：1005×995 17. 计算：79×81 18. 计算：12.3×11.7 19. 化简：(x+2)(x-2)+(x-2)² 20. 化简：(a+b)²-(a+b)(a-b) 八、综合解答题 书写要求 解答题要保留必要步骤：公式或法则依据、展开过程、合并过程及最终结论。 1. 计算：(4x+3y)(4x-3y)，并说明为什么没有xy项。 ________________________________________________________________________________ 2. 化简：(2a+b)(2a-b)-(a-3b)²。 ________________________________________________________________________________ 3. 利用平方差公式计算：2026×2024。 ________________________________________________________________________________ 4. 已知a+b=10，a-b=4，求a²-b²。 ________________________________________________________________________________ 5. 一个大正方形边长为a，右下角挖去边长为b的小正方形。说明剩余面积为什么既可表示为a²-b²，又可剪拼成边长分别为(a+b)、(a-b)的长方形。 ________________________________________________________________________________ 6. 若(3x+m)(3x-m)=9x²-25，求m。 ________________________________________________________________________________ 九、学习自评与错题整理 自评项目 我能做到 还需巩固 能准确说出本课法则或公式 □ □ 能规范写出运算步骤 □ □ 能发现并改正常见错误 □ □ 能独立完成综合解答题 □ □ 本课最易错的一题 错误原因 正确方法 8.4.2 乘法公式（第二课时）｜答案与解析 使用建议 先独立完成学生区，再用不同颜色订正。解析中的“关键点”应写进错题本，而不是只抄答案。 一、知识点盘点参考答案 1. 答案：a²-b² 解析：中间项ab与-ab抵消。 2. 答案：和；差 解析：同样两个量的和与差。 3. 答案：相反数 解析：如+b与-b。 4. 答案：相反项对应量 解析：即b²。 5. 答案：3x；2y 解析：整体识别。 6. 答案：(a+b)(a-b) 解析：先辨认再计算。 二、随堂练习答案 1. 答案：x²-16 解析：平方差。 2. 答案：4a²-b² 解析：a=2a。 3. 答案：25m²-9n² 解析：顺序不影响。 4. 答案：x⁴-4 解析：x²整体平方。 5. 答案：2499 解析：(50+1)(50-1)。 6. 答案：错误，应为a²-b² 解析：右边是差。 7. 答案：2x²+2x-8 解析：第一项x²-9，第二项x²+2x+1。 8. 答案：4x²-y² 解析：第二括号可写2x+y。 三、分知识点专项训练答案 答案｜知识点一｜直接运用平方差公式 1. 答案：a²-36 解析：直接套用。 2. 答案：4x²-9 解析：平方系数。 3. 答案：25m²-n² 解析：同项5m。 4. 答案：9a²-16b² 解析：两项分别平方。 5. 答案：x⁴-y² 解析：x²平方得x⁴。 6. 答案：4p⁴-9q² 解析：2p²平方得4p⁴。 7. 答案：a²b²-1 解析：ab整体平方。 8. 答案：16x⁶-y⁴ 解析：指数也随平方乘2。 答案｜知识点二｜结构识别与调整 9. 答案：x²-4 解析：次序调换即可。 10. 答案：9a²-b² 解析：b+3a=3a+b。 11. 答案：16n²-m² 解析：可看作(4n+m)(4n-m)。 12. 答案：25y²-4x² 解析：整理整体负号。 13. 答案：正确 解析：相同项2b，相反项a。 14. 答案：应为9x²-1 解析：(3x)²=9x²。 答案｜知识点三｜简便计算与公式综合 15. 答案：1596 解析：(40+2)(40-2)。 16. 答案：999975 解析：(1000+5)(1000-5)。 17. 答案：6399 解析：(80-1)(80+1)。 18. 答案：143.91 解析：(12+0.3)(12-0.3)=144-0.09。 19. 答案：2x²-4x 解析：x²-4+x²-4x+4。 20. 答案：2ab+2b² 解析：第一式a²+2ab+b²，第二式a²-b²。 四、综合解答题答案与解析 1. 答案：16x²-9y²；两个交叉项-12xy和+12xy互相抵消 解析：这是平方差公式形成的关键。 2. 答案：3a²+6ab-10b² 解析：第一项4a²-b²；第二项a²-6ab+9b²；相减。 3. 答案：4100624 解析：(2025+1)(2025-1)=2025²-1=4100625-1。 4. 答案：40 解析：a²-b²=(a+b)(a-b)=10×4。 5. 答案：原图面积为大正方形减小正方形；剪拼后面积不变，长×宽=(a+b)(a-b)，故二者相等 解析：用面积不变解释公式。 6. 答案：m=5或m=-5 解析：m²=25；作为代数量m可取±5。 五、订正清单 • 检查所有负号是否随乘法正确分配。 • 检查相同字母的指数是否按对应法则处理。 • 检查每个括号中的每一项是否都参与运算。 • 检查结果是否继续合并同类项并按规范顺序书写。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $