精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年第二学期高二年级期末练习数学Ⅱ卷

2025-2026学年度第二学期高二年级期末练习 数学 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷19道题，共100分；Ⅱ卷10道题，共50分.Ⅰ卷、Ⅱ卷共29题，合计150分，练习时长120分钟，练习日期：2026年7月7日；请在密封线内填写个人信息. Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 又因为，故. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对任意的，，求出的等式，根据可求出实数的值. 【详解】对任意的，，则， 因为函数为奇函数，则， 故当时，由可得，即， 所以，解得. 3. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 【答案】C 【解析】 【分析】求出，，，，根据互斥事件与独立事件概率计算公式即可求解. 【详解】由题意可得 ，，，，故选项A,B错误； 对于C,，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 4. 正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设，分析可知数列为递增数列，结合题中数据估算可知，即可得结果. 【详解】设，则， 因为， 可知数列为递增数列， 且， ， 可知，所以. 5. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 6. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题是一道函数新定义题，核心在于理解集合 的含义，逐一验证给定的三个函数是否满足“若 ，则 ”即可. 【详解】对于①，在上单调递减， ，若，则， 由于与无关， 故，成立， 因此函数是“势函数”； 对于②，，令，得或， 令，得 ； 故函数在上单调递增，在上单调递减， 取，可得 ，， 又， ， 此时，故函数不是“势函数”； 对于③，易知函数在上单调递增， 当时，要使， 那么，若 ，则需 ，且 ； 若 ，则 ，而 ，不等式不可能成立, 故此时； 当 时，要使 ，那么，若 时，； 若 时，，均不成立，故此时； 当 时，要使 ， 那么，若 ，则左边 ，右边为负数，不等式恒成立，此时 ； 若 ，则需 ， 故此时， 若时，存在三种情况，分别为，，； 当时，，，由于， 故； 当时，,，故； 当时,，, 由于，故. 综上所述，函数①③为“势函数”. 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） 7. 数列满足，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再结合等比数列的定义即可得到的通项公式． 【详解】由， 得，即， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 8. 如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则_________，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设质点向右移动的次数为随机变量，则服从二项分布，建立最终位置与的线性关系，利用方差的性质求解. 【详解】设6次移动中，向右移动了次，则向左移动了次，最终质点对应的数值满足. 当时，代入得，解得，即6次移动里恰好5次向右、1次向左. 每次移动向左/向右的概率均为，总移动情况共种，符合要求的情况数为组合数， 因此. 设向右移动的次数为，则，. 由，根据方差的性质. 9. 直线与函数和的图象分别相切于点和点，则_________（用表示），_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】令，，则，， 则函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 又直线与函数和的图象分别相切于点和点， 则，可得，即， 则，即，所以． 10. 数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】1个m对应范围内的所有整数k，k从小到大取值为，1个k对应一个解集，当这些解集存在交集时，存在此m，当m增大到一定程度后，交集为空，临界状态得，的交集就是q的范围. 【详解】由题干可知，，，由可以解得， 当时，；当时，, 当时，（解为）. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 即的下限随着k增大先增大后减小，只要考虑下限最大值，在或3时取到数列最大项. 由于，所以数列的最大项是，得到下限最大值， 下面考虑上限情况. 令，则. 令，则， 所以在单调递减，所以，则，在单调递减. 可以发现：的上限随着k增大而减小，有交集的临界情况为上限刚好大于下限最大值， 因此临界需满足的第项大于，第项小于， 即， 注意到，当时，有满足条件， 得到对应的，交集解q的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高二年级期末练习 数学 说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷19道题，共100分；Ⅱ卷10道题，共50分.Ⅰ卷、Ⅱ卷共29题，合计150分，练习时长120分钟，练习日期：2026年7月7日；请在密封线内填写个人信息. Ⅱ卷（共10道题，满分50分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，独立 D. ，独立 4. 正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） 7. 数列满足，，则_________． 8. 如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则_________，_________. 9. 直线与函数和的图象分别相切于点和点，则_________（用表示），_________． 10. 数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $