1.1探索勾股定理知识梳理与题型突破（四大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以勾股定理为核心，通过“知识梳理+四大题型+综合训练”分层设计，实现从基础计算到综合应用的递进，强化运算能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|勾股定理基本计算|直接应用公式求边长，如已知直角边求斜边，培养运算能力| |能力提升|面积关系转化、勾股树问题|结合正方形/半圆面积及勾股树图形，体现数形结合，发展空间观念| |综合应用|定理证明、实际应用|通过赵爽弦图等证明方法及测量距离等情境，培养推理意识与应用意识|

1.1探索勾股定理知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（四大题型） 知识梳理： 考点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 考点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 题型突破： 题型一：利用勾股定理求边长 1.如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是　　 A．1 B．2 C．3 D．5 2.直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为　　 A．13 B．14 C． D．15 3.设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为．已知，，则的值为　　 A．2 B．6 C．5 D．36 4.一个直角三角形的两边长分别为、，则第三条边长为　　 A． B． C． D． 或 5.已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为　　 A．30 B． C．或30 D．36 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D．8 2．如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是（    ） A．1 B．5 C．7 D． 3.如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 4.如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 5.如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝　 　． 题型三：勾股定理解勾股树问题 1.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 2.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　） A．13 B． C．47 D． 3．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 4.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 5．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 题型四：勾股定理的证明 1．下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 4.4个全等的直角三角形的直角边分别为、，斜边为．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 5.【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以． 【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理． 【定理应用】在中，，、、所对的边长分别为、、． 求证：． 综合训练 1.△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 2.在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　） A．AC2+BC2＝AB2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+AB2＝BC2 3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（　　） A．2 B．7 C．9 D．14 4.如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝40，S3＝18，则S2＝（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 5.如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（　　） A．20m B．40m C．30m D．50m 6.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（　　） A．128 B．64 C．32 D．144 7.如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 8.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 9.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 10.如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为 　 　cm2． 11.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1探索勾股定理知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版八年级上册（四大题型） 知识梳理： 考点 1 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2） 利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3） 理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 考点2 勾股定理证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　　　 图（1）中，所以. 　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　　　　 　　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　　 　　　　 ，所以. 题型突破： 题型一：利用勾股定理求边长 1.如图，在三角形中，已知，，，则的大小有可能是　　 A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】． 2.直角三角形的两条直角边长分别为9和12，则该直角三角形的斜边长为　　 A．13 B．14 C． D．15 【答案】． 3.设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为．已知，，则的值为　　 A．2 B．6 C．5 D．36 【答案】． 4.一个直角三角形的两边长分别为、，则第三条边长为　　 A． B． C． D． 或 【答案】． 5.已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为　　 A．30 B． C．或30 D．36 【答案】． 题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积 1.若三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　） A．6 B．36 C．64 D．8 【答案】B 2．如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是（    ） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】C 3.如图，阴影部分是两个正方形，图中还有一个直角三角形和一个空白的正方形，阴影部分的面积为25cm2，直角三角形①中较长的直角边长12cm，则直角三角形 ①的面积是（　　） A．16cm2 B．25cm2 C．30cm2 D．169cm2 【答案】C 4.如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 【答案】 5.如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若S1＝9π，S2＝16π，则S3＝　 　． 【答案】25π 题型三：勾股定理解勾股树问题 1.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C． 2.如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　） A．13 B． C．47 D． 【答案】B 3．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 【答案】D． 5．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2027 题型四：勾股定理的证明 1．下面图形能够验证勾股定理的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 2.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】． 4.4个全等的直角三角形的直角边分别为、，斜边为．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 【答案】解：图形的总面积可以表示为：， 也可以表示为：， 所以，， 所以，． 5.【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以． 【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理． 【定理应用】在中，，、、所对的边长分别为、、． 求证：． 【答案】证明：【尝试探究】梯形的面积为， 利用分割法，梯形的面积为， ， ； 【定理应用】，， ． 综合训练 1.△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（　　） A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对 【答案】C。 2.在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　） A．AC2+BC2＝AB2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+AB2＝BC2 【答案】A。 3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是（　　） A．2 B．7 C．9 D．14 【答案】B。 4.如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝40，S3＝18，则S2＝（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】D。 5.如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（　　） A．20m B．40m C．30m D．50m 【答案】B。 6.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（　　） A．128 B．64 C．32 D．144 【答案】A。 7.如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（　　） A．5m B．6m C．7m D．8m 【答案】C 8.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 【答案】C。 9.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（　　） A．225 B．250 C．275 D．300 【答案】D。 10.如图，已知所有的四边形是正方形，三角形是直角三角形，且其中最大的正方形面积为6cm2，则图中所有的正方形的面积之和为 　 　cm2． 【答案】12。 11.如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是14，整个图形（连同空白部分）的面积是36，则大正方形ABCD的边长是 　 　． 【答案】5。 学科网（北京）股份有限公司 $