1.1 探索勾股定理-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时 探索勾股定理 已课内基础闯关 知识点② 利用勾股定理求面积 知识点① 勾股定理的初步认识及计算 5.如图，点E在正方形ABCD的边 D 1.若a,b,c是△ABC的三边长，且对角分别 AB上.若EB=1,EC=2,则正方 是∠A,∠B,∠C,则下列说法正确的是 形ABCD的面积为 ( ( A.3 B.4 第5题图 A.总有a2+b2=c C.5 D.6 B.当∠B+∠C=90时，a2+b2=c 变式题1如图，在△ABC中，∠BAC= C.当∠C=90时，a2+c2=b 90°，BC=6,分别以AB,AC为边向外作正 D.当∠A=90时，b2+c2=a 方形.这两个正方形的面积和为 ) 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC= A.6 B.36 C.16 D.49 12,则AB的长度为 A.12 B.13 C.14 D.15 3.为了防止羊丢失，牧羊人要 225 289 在如图所示的宽9dm、长 A 12dm的长方形栅栏门的 变式题1图 变式题2图 相对角的顶点钉一根加固 第3题图 变式题2（2025一2026萍乡上栗检测)如 图，中间的三角形为直角三角形，两个较大 木条，则这根木条的长至少为 正方形的面积分别为225,289，则字母A A.9 dm B.12 dm C.15 dm D.21 dm 所代表的正方形的面积为 4.(教材变式)若一个直角三角形的一条直角 A.514 B.8 C.16 D.64 边长为7，其斜边长比另一条直角边长长1， 求该直角三角形的斜边长， 6.(教材变式)如下图，在四边形ABCD中， ∠BAD=∠CBD=90°，AD=4,AB=3,BC =5.求正方形DCEF的面积. 已课外拓展提高 综合能力提升 10.推理能力如图，在△ABC中，BC=a,AC 易错点未分清直角边和斜边造成漏解 =b,AB=c.若∠C=90°，如图①，根据勾 7.若直角三角形的两边长分别为a,b,且 股定理，得a2十b2=c2;若△ABC不是直 满足(a一3)2+|b一4|=0，则该直角三 角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三 角形的第三边长的平方为 ( 角形和钝角三角形. A.25 B.7 (1)请你类比勾股定理，猜想a2+b2与c2 C.25或7 D.25或16 的关系：图②中，a2+b2 c2;图③ 8.对角线互相垂直的四边形叫作 中，a2+b2 c2. “垂美四边形”.现有如图所示 (2)说明你在(1)中猜想结论的正确性， 的“垂美四边形”ABCD,对角 (3)在图②中，若c=140m,b=130m,a 线AC,BD交于点O.若AD= 150m,请你求出△ABC的面积. 2,BC=4,则AB2+CD2的值 第8题图 为 9.如右图，在Rt△ABC中， ∠B=90°，AB=7cm, AC=25cm.点P从点A 出发沿AB方向以1cm/s的速度向终点B 运动，点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s 的速度向终点C运动，P,Q两点同时出发， 设点P的运动时间为ts. (1)求BC的长. (2)当t=2时，求P,Q两点之间的距离。 (3)当AP=CQ时，求t的值. 知识要点归纳 1.勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方 和等于斜边长度的平方】 2.利用勾股定理求面积：关键是应用转化思想 把所求的面积转化到已知的数量关系中去， 八年级数学BS版 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 色课内基础闯关 尺)，中间有一处折断，竹梢接触地面处离竹 根3尺，则折断处离地面 () 知识点① 勾股定理的验证 A.4尺 B.3.6尺 1.(2025一2026九江检测)勾股定理是一个古 C.4.5尺 D.4.55尺 老的数学定理，它有很多种证明方法.下面 四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的 是 南 第3题图 第4题图 4.如图，在水塔O的北偏东45°方向24m处有 B 抽水站A,在水塔的南偏东45°方向18m 处有一建筑工地B,在A,B间安装一根笔 直的水管，则水管AB的长为 A.40m B.45mC.30mD.35m 5.情境应用如图，两树相距8m,一棵树高 D 10m,另一棵树高4m.一只鸟从一棵树的树 2.右图所示的是4个完全相同的 梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行了 直角三角形适当拼接后形成的 m. 图形，这些直角三角形的直角 边长分别为a,b,斜边长为c.请利用这个图 10m 形验证勾股定理. 第5题图 6.(教材变式)如下图，海警在海上观察所A处 发现正北方向5km的B处有一艘可疑船只 正向正东方向12km的C处行驶，海警立刻 派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度 为60km/h,则海警船的速度为多少时，能恰 好在C处将可疑船只截住？ B12kmC↑北 5 km 知识点②勾股定理的简单实际应用 3.古代数学文化在古代著作《九章算术》中有 一个问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三 尺.问折者高几何.其大意如下：如图，有 根竹子（垂直于地面）原高1丈(1丈=10 上册第一章 3△ 已课外拓展提高 综合能力提升 7.(2025一2026吉安检测)如图所示的是小英 10.(教材变式)一辆装满货物的卡车，其外形 爸爸设置的手机手势密码图.已知上下、左 高2.5m,宽1.6m,要通过形状为如下图所 右两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿 示的桥洞，该桥洞上部为半圆形，下部为宽 A一B一C一D的顺序解锁.按此手势解锁 2m、长2.3m的长方形 一次的路径长为 (1)这辆卡车能否通过该桥洞？请说明理由. A.5 B.3+√3 (2)为了适应车流量的增加，现把桥洞改为 C.3+√5 D.6 双行道，要使宽为1.2m、高为2.8m的卡 60 车能通过，那么此桥洞的宽 B ⊙ ⊙ 至少增加到多少？ ⊙ 2.3m A①⊙①D 140 2m- 第7题图 第8题图 8.如图所示的是一个外轮廓为正方形的机器 零件平面示意图，根据图中标出的尺寸（单 位：mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 mm. 9.跨物理学科小明在物理课上学习了发声物 体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在 一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个 小球A,小球A可以自由摆动，如图①，OA 表示小球静止时的位置.当小明用发声物体 靠近小球时，小球从OA摆到OB位置（如 图②)，此时过点B作BD⊥OA于点D,当小 球摆到OC位置时，OB恰好与OC垂直（点 A,B,O,C在同一平面上)，过点C作CE⊥ 知识要点归纳 OA于点E,测得OB=17cm,BD=8cm. (1)试说明：OE=BD. (2)DE的长为 cm. 图① 图② 图③ 如图①，(a+b)2=c2+4×2ab:如图②，c2=( 图① 图② -a)2+4× 2ab:如图③，2(a+b)(a+b)=2× 2ab+ 2c.均可化简得出a2+b2=c品. 1 4 八年级数学BS版详解详析 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时探索勾股定理 图① 图② 1.D2.B3.C 如图②，作AC边上的高BD,交AC的延长线于 4.解：设该直角三角形的斜边长为x,则另一条直角边长 点D. 为x-1. 设CD=n,则在Rt△ABD和Rt△BDC中， 由勾股定理，得x2=7+(x一1)2，解得x=25, 由勾股定理，得c2一(b十n)2=BD=a2-n2, 所以该直角三角形的斜边长为25. 整理，得a2十b2=c2-2bm. 5.A变式题1B变式题2D 因为2bm>0,所以a2+b2<c2 6.解：因为∠BAD=90°， (3)如图①，设CD=xm,则BD=(150一x)m. 所以BD=AD2+AB2=4+32=25. 同(2)可得a2+b=c2+2ax. 因为∠CBD=90°， 因为a=150m,b=130m,c=140m, 所以CD2=BD2+BC2=25+5=50, 所以1502+130=1402+2×150x,解得x=66, 所以正方形DCEF的面积为50. 所以AD2=b2-CD2=1302-66=12544=1122,所 7.C【解析】因为(a-3)2+|b-4|=0, 以AD=112m, 所以a一3=0，b一4=0， 所以a=3,b=4. 所以△ABC的面积为2BC·AD=号×150X12= 当b=4为直角边的长时，第三边长的平方为32+4 8400(m). =25: 第2课时勾股定理的验证及简单应用 当b=4为斜边的长时，第三边长的平方为4-3=7. 1.B 综上所述，该直角三角形的第三边长的平方为25或7. 2.解：图中的图形面积有两种求法： 8.20【解析】因为AC⊥BD,所以∠AOB=∠BOC= 一种是大正方形的面积十两直角三角形的面积，即c ∠COD=∠AOD=90°. 由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=42=16,AD2= +2x6, OA2+OD2=22=4, 另一种是两小正方形的面积十两直角三角形的面积， AB2=OB2+0A2,CD*=OC2+OD2, 所以AB2+CD=OB+OA+OC2+OD2=(OB+ 即8+a+2x26 0C2)+(OA2+0D2)=16+4=20. 1 9.解：(1)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7cm,AC= 根据两种求法的面积相等，得c2+2×2ab=6十a2十 25cm,由勾股定理，得BC2=AC2-AB=576,所以 BC=24 cm 2x6, (2)如图，连接PQ,当t=2时， 化简得c2=b2+a2. BP=7-2=5(cm),BQ=6X 3.D【解析】根据题意画出示意图如图所 A 2=12(cm). 示，BC为地面，点A为折断处，点B为竹 在Rt△BPQ中，由勾股定理， 梢处.由题意，得∠C=90°，BC=3尺，AC 得PQ=BP+BQ=169,所以PQ=13cm. +AB=10尺.设折断处离地面x尺，即 (3)由(1)知，BC=24cm. AC=x尺，则AB=(10-x)尺.在 由题意，得AP=tcm,CQ=(24-6t)cm.当AP=CQ Rt△ABC中，由勾股定理，得x2+32=(10一x)2,解得 时1=24-6，解得1=头放当AP=CQ时的值 x=4.55,即折断处离地面4.55尺。 为器 4.C【解析】由题意可知，∠AOB=180°-45°-45°= 90°.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB2=OA2+ 10.解：(1)> OB2=242+182=302,所以水管AB的长为30m. (2)如图①，作BC边上的高AD,垂足为D. 5.10 设CD=m,则在Rt△ACD和Rt△ABD中，由勾股 6.解：由题意，得∠B=90°.在Rt△ABC中，由勾股定 定理，得b2-m=AD2=c2一（a一m)2,整理，得a 理，得AC2=AB2+BC2=52+122=132,所以AC= +b2=c2+2am. 因为2am>0,所以a2+b2>c2. 13km.13÷1265(km/h. 60 上册详解详析 故海警船的速度为65km/h时，能恰好在C处将可疑 船只截住， 一定是直角三角形吗 7.C【解析】如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E. 1.B B①⊙⊙ 2.60 【解析】因为8+15=17，所以该三角形是直角 1 EGd⊙①C 三角形，其中8,15为两条直角边，所以S=2×8×15 Ad⊙①D =60. 由题意，得BE=1,EC=2. 变式题120【解析】设这个三角形的三边长分别为 在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=BE+EC2=1 5xcm,12xcm,13xcm,则5.x+12x+13x=60,解得 +2=5, x=2,所以这个三角形的三边长分别为10cm,24cm, 26cm.因为102+24=26，所以这个三角形为直角三 所以BC=√5」 1 又因为AB=2,CD=1, 角形，所以S=2X10X24=120(cm). 所以按此手势解锁一次的路径长为AB十BC+CD=2 3.解：小亮的解答不正确.正确的解答过程如下： +√5+1=3+5. △ABC是直角三角形.理由如下： 8.100【解析】如图，分别过点A,B作与 60 正方形的边平行的线交于点C,则∠C 因为+=+(》=4+-56=( =90°.由题意，得AC=120-60=60日 C.0 25 (mm),BC=140-60=80(mm),所以 ,所以a2+c2=b,所以△ABC是直角三角形. 由勾股定理，得AB=AC2+BC2=60 -140 4.解：(1)在△ABD中，因为AD2+BD2=24+322= +80=1002,所以AB=100mm,即两圆孔中心A和 1600,AB=402=1600, B的距离为100mm. 所以AD2十BD2=AB,所以△ABD是直角三角形， 9.解：(1)依题意可知OA=OB=OC 且∠ADB=90°，所以AD⊥BC 因为BD⊥OA,CE⊥OA,OB⊥OC, (2)因为AD⊥BC,所以∠ADC=90° 所以∠ODB=∠OEC=∠BOC=90°， 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AC2=AD+CD 所以∠B+∠BOD=∠BOD+∠COE=90°， =242+182=900, 所以∠B=∠COE, 所以AC=30. 所以△BOD≌△OCE(AAS),所以OE=BD. 因为BD=32,所以BC=BD十CD=50,所以S△Ae= (2)7【解析】(2)在Rt△BDO中，OD2=OB2-BD 1 、23⊙·AD—2×5O×24=600. =225, 所以OD=15cm (3)△ABC为直角三角形.理由如下： 由(1)知OE=BD=8cm, 因为AB2+AC2=402+302=2500,BC2=50= 所以DE=OD-OE=15-8=7(cm). 2500, 10.解：(1)能.理由如下： 所以AB+AC2=BC2,所以△ABC是直角三角形. 5.C 如图①，设半圆形的圆心为点O,在OB上取点D,使 OD=0.8m,过点D作CE⊥AB,分别交桥洞于点C, 6.解：(1)①1213②2425③4041 E,连接OC (2)n,”1n2+1 2’21 在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD2=OC2一OD 7.A 12-0.82=0.36, 8.18【解析】设AB为3.xcm,BC为4.xcm,AC为5.xcm 所以CD=0.6m,所以CE=CD+DE=0.6+2.3= 因为△ABC的周长为36cm, 2.9(m),2.9m>2.5m, 所以AB+BC+AC=36cm, 所以这辆卡车能通过该桥洞. 所以3x十4x+5x=36,解得x=3, (2)如图②，在OA上取一点M,使得OM=1.2m,过 所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm. 点M作PN⊥AB,分别交桥洞于点P,N. 因为AB2+BC2=AC2, 根据题意可知，PN=2.8m,OM=1.2m,MN=2.3m, 所以△ABC是直角三角形， 所以PM=PN-MN=2.8-2.3=0.5(m), 经过3s,BP=9-3X1=6(cm),BQ=2×3=6(cm), 所以OA2=OP2=PM2+OM=0.52+1.22=1.69, 所以OA=1.3m, 所以S△m=2BP·BQ=2×6X6=18(cm2). 所以桥洞的宽至少增加到1.3×2=2.6(m)。 9.解：如图，连接AC. 因为AD⊥CD,所以AC2=AD2+ CD2=42+32=25, 所以AC2+BC2=25+122=169 132=AB,所以△ABC是直角三角 m 形，且∠ACB=90°，所以S空地=S△AC 图① 图② 八年级数学BS版