2.2 平方根与立方根（十三大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦平方根与立方根核心概念，通过13类题型构建从概念理解到综合应用的递进式训练体系，强化抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根|1-15题|概念辨析、计算、代数式求值、方程求解|从定义（相反数特性）到运算（开平方），再到实际应用（方程）| |立方根|16-27题|概念理解、规律探究、实际应用|类比平方根学习路径，新增立方根特有的小数点移动规律| |综合应用|28-39题|跨概念综合、计算器操作、程序设计|融合平方根与立方根，对接核心素养中的应用意识与创新意识|

2.2 平方根与立方根 题型一 平方根概念理解 1．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 2．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 3．已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 题型二 求一个数的平方根 4．的平方根是（     ） A． B． C． D． 5．若是的一个平方根，则的平方根是______． 6．已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 题型三 求代数式的平方根 7．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 8．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 9．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的平方根． 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 10．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 11．如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 12．已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 题型五 利用平方根解方程 13．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 14．若，则_____． 15．已知的算术平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求关于的方程的解． 题型六 立方根概念理解 16．下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 17．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 18．（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 题型七 求一个数的立方根 19．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 20．若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 21．已知的算术平方根是3，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 题型八 已知一个数的立方根，求这个数 22．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 23．若，则的立方根是__________． 24．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 题型九 与立方根有关的规律探究 25．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 26．如果，，那么______． 27．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 题型十 立方根的实际应用 28．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 29．已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 30．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 31．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 32．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 33．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 题型十二 计算器——平方根和立方根 34．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 35．用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 36．利用计算器，求下列各式的值（结果精确到0.00001）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型十三 程序设计与实数运算 37．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 38．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 39．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 平方根与立方根 题型一 平方根概念理解 1．下列说法错误的是（    ） A．3是9的平方根 B．的平方根为 C．的立方根为 D．在实数范围内，负数没有平方根 【答案】B 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，根据定义逐一判断各选项即可找出错误说法． 【详解】解：A选项：3是9的平方根，A说法正确； B选项：，4的平方根为，不是B说法错误； C选项：的立方根为，C说法正确； D选项：根据平方根的定义，在实数范围内，负数没有平方根，D说法正确． 2．已知和的值互为相反数，且的平方根是它本身，则的平方根为_______． 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到两个立方根的等量关系，利用立方根的性质求出的值，再根据平方根的定义求出的值，计算得到后，求其平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数 解得 的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有， 解得 ∵的平方根是 的平方根为． 3．已知一个正数m的两个平方根分别是与． (1)求a的值； (2)求的平方根； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可； （2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由已知可得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴19的平方根为． 题型二 求一个数的平方根 4．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴的平方根是． 5．若是的一个平方根，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求出的值． 再计算的值， 最后根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解：是的一个平方根， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 6．已知3是的一个平方根，y是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义求解出，再计算的值，最后计算平方根即可；注意一个正数的平方根有两个，一正一负且互为相反数． 【详解】解：∵3是的一个平方根， ∴， 解得，   是的立方根， ，   ∴， ∴的平方根为． 题型三 求代数式的平方根 7．若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 8．已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 9．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根与立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键， （1）分别根据平方根的意义和立方根的运算即可得到答案； （2）先通过估算得到的值，再代入求得的值，从而求得答案． 【详解】（1）解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， 的立方根为， ， 解得； （2）， ， 的整数部分， ，， ， 的平方根为． 题型四 已知一个数的平方根，求这个数 10．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题利用平方根的性质解题，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出的值，再计算得到原数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴ 整理得 解得 将代入其中一个平方根，得 ∵ ∴这个数是． 11．如果一个数的两个平方根分别是 与．那么这个数是______ 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再求出其中的一个平方根，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴， ∴． 12．已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 题型五 利用平方根解方程 13．若， 则x的值为（  ）． A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 14．若，则_____． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根解方程， 通过化简方程，利用平方根求解即可． 【详解】 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得或． 故答案为：或． 15．已知的算术平方根是，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义求解即可； （2）将a、b的值代入方程，根据平方根求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是 的立方根是3 （2）解：将，代入，得 此方程的解为或 题型六 立方根概念理解 16．下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 17．一个数的立方等于，那么这个数是_____． 【答案】 【分析】此题考查了立方根的概念，解题的关键是掌握立方根的概念． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：因为， 所以这个数是． 故答案为：． 18．（1）若，，求的值； （2）a是的立方根，b是的算术平方根，求的立方根． 【答案】（1）4或，（2） 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的相关概念及运算． （1）先计算的值，再由得出n的值，确定m和n的可能取值，再枚举所有m和n的组合，分别计算的结果； （2）先根据立方根的定义求出a的值，再计算的值，求其算术平方根得到b的值，进而计算的值，最后求得的立方根． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 当，时，； 当，时，， ∴的值为4或； （2）∵a是的立方根，b是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴． 题型七 求一个数的立方根 19．若，则x等于（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解： ． 20．若一个正数的两个平方根是和，这个数的立方根是______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质与立方根的概念，根据正数的两个平方根互为相反数的性质求出的值，再确定这个正数，最后计算该数的立方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴这个正数为， ∴这个数的立方根是． 21．已知的算术平方根是3，的立方根是． (1)求与的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，的值分别是6，3 (2)3 【分析】（1）由题意易得，，然后问题可求解； （2）由（1）及立方根可进行求解． 【详解】（1）解：的算术平方根是3， ， ， 的立方根是， ， ∴， ； ，的值分别是6，3； （2）解：， ∴， 的立方根是3． 题型八 已知一个数的立方根，求这个数 22．已知一个数的立方根是，那么这个数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵立方根是， ∴这个数为， 故选：A． 23．若，则的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义，得到，进而得到的值，求出的值，再求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得． ∴， ∴， ∴的立方根为：． 故答案为： ． 24．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解； （2）先估算出，可得，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，， （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或． 题型九 与立方根有关的规律探究 25．若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 26．如果，，那么______． 【答案】  【分析】本题主要考查立方根的性质，通过观察0.0237与23.7的关系，利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：由已知条件，，且，根据立方根的性质得： 故答案为：0.2872． 27．探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 题型十 立方根的实际应用 28．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 29．已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 30．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【详解】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 题型十一 算术平方根和立方根的综合应用 31．若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 32．已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 33．已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 题型十二 计算器——平方根和立方根 34．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 【答案】B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 35．用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据计算器显示的结果，使用四舍五入法将其精确到，需看小数点后第四位数字（即万分位）为0，由于，故小数点后第三位（即千分位）数字8不变，即可求解． 【详解】解：计算器显示结果为0.61803399，精确到0.001时， 看小数点后第四位数字是0，， ∴舍去， ∴第三位数字8不变， ∴． 故答案为：． 36．利用计算器，求下列各式的值（结果精确到0.00001）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)44.98889 (2)12.65149 (3)0.81854 (4) (5)9.08331 【分析】本题考查了用计算器进行实数的混合运算，解题的关键是按要求取近似值． （1）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （2）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （3）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （4）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可； （5）先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 题型十三 程序设计与实数运算 37．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 38．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 39．每个程序段由若干条指令组成，老师设计了一段运算程序如图： 例如：当输入x的值为时，计算结果；将输入值变为，计算结果为；再将输入值变为了，继续运算，直到计算结果不小于4，才输出该结果． 请思考下列问题． (1)当输入x的值为5，则输出y的值是多少？请列式计算． (2)当起始输入x的值为1，请通过计算说明经过几次程序运行后才能输出y． 【答案】(1) (2)4次 【分析】本题考查了实数的运算，理解题意，掌握框图中的运算法则是解题的关键． （1）根据框图中的运算程序计算即可； （2）根据框图中的运算程序计算，直到结果大于或等于4即输出结果为止． 【详解】（1）当输入x的值为5时， 则有，， 且， 输出y的值是． （2）当输入x的值为1时， 则有，，，继续计算； 第二次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第三次输入x的值为时， 则有，，，继续计算； 第四次输入x的值为时， 则有，，，输出； 所以经过4次程序运行后才能输出y． 1 学科网（北京）股份有限公司 $