5.2 二次函数的图象 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+c（a≠0）的图像与性质，通过复习y=ax²的开口方向、对称轴等旧知，结合观察水柱形状与位置偏移的情境导入，以描点法画图为支架，引导学生从旧知过渡到新知探究。 其亮点在于通过情境观察培养几何直观（数学眼光），动手列表描点连线及性质归纳发展推理意识（数学思维），表格总结性质与“平方项不变，常数项上加下减”的平移规律体现模型意识（数学语言）。采用探究式学习，如对比y=x²与y=x²±1的图像关系，帮助学生提升运算能力和空间观念，教师可借助系统流程与分层练习优化教学。

北师大版九年级上册 第五章 二次函数 二次函数图像 学习目标 能用描点法画出形如 的二次函数图像，归纳这类二次函数的性质. 能进行图象与图象之间、表达式与表达式之间的比较，进而建立二次函数 的图象与表达式之间的联系. 理解二次函数表达式中的系数对图象的影响。体会二次函数 的图象之间的平移关系. 复习巩固 情境导入 彩虹——一种光学现象 如果将彩虹的最高点设为坐标原点，其轨迹满足二次函数关系. 观察与思考 1. 两条水柱的形状（开口）是否相同？ 2. 它们的位置（顶点）发生了怎样的偏移？ 探索新知 讲一讲：在同一直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=x2+1与y=x2-1的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x2+1 … 10 5 2 1 2 5 10 … y=x2-1 … 8 3 0 -1 0 3 8 … （1). 列表：观察上述表达式，根据给出的x值，计算相应值y，完成下表。 探究一：二次函数 的图象与性质 探索新知 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺 次连接各点，就得到对应的图象. 探索新知 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺 次连接各点，就得到对应的图象. 探索新知 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺 次连接各点，就得到对应的图象. 探索新知 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺 次连接各点，就得到对应的图象. 探索新知 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺 次连接各点，就得到对应的图象. 探索新知 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺 次连接各点，就得到对应的图象. 探索新知 (1). 列表：观察上述表达式，根据给出的x值，计算相应值y，完成填表。 (2).描点：根据表中x ，y的数值在直角坐标平面中描点（x , y）. (3).连线：如图，用平滑曲线顺次连接各点，就得到对应的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … … y=-x2+1 … … y=-x2-1 … … 做一做：在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2、y=-x2+1、y=-x2-1的图象 探究一：二次函数 的图象与性质 探索新知 (1).列表 (2).描点 (3).连线 做一做：在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2、y=-x2+1、y=-x2-1的图象 探究一：二次函数 的图象与性质 探索新知 议一议：如何由二次函数 的图象得到二次函数 的图象？ 思考：（1）二次函数 y=x2+1,y=x2-1与y=x2 的图象间有什么关系？ 把抛物线y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线 y=x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=x2-1. 下 上 三条抛物线的开口方向和开口大小都相同. 探索新知 议一议：如何由二次函数 的图象得到二次函数 的图象？ 思考：（1）二次函数 y=-x2+1,y=-x2-1与y=-x2 的图象间有什么关系？ 把抛物线y=-x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线y=-x2+1；把抛物线 y=-x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=-x2-1. 下 上 三条抛物线的开口方向和开口大小都相同. 二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移|c|个单位长度得到. 当c < 0 时,向下平移|c|个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 探索新知 例1.若将抛物线 向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为__________. 讲一讲： 变式1.若将抛物线 向上平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为__________. 变式2.若将抛物线 向上平移______个单位长度，则所得抛物线的表达式为 . 问题1.这三条抛物线的开口方向是什么？对称轴是什么？ 交流讨论 它们的图象开口都向上.对称轴都是y轴 （直线x=0）. y=x2的顶点坐标是（0,0）；y=x2+1的顶点坐标是（0,1）.当x=0时，y=x2的最小值是0，y=x2+1的最小值1，y=x2-1的最小值-1；均无最大值. 问题2.这三条抛物线的顶点坐标是什么？是否有最值？若有，则当x取何值时取得，最值是多少？ 交流讨论 问题3.观察它们的图像，当x<0时，随着 x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ 当x<0时，随着x值的增大，y值减小. 当x>0时，随着x值的增大，y值增大. 如果a<0呢？？？ 探索新知 问题1.这三条抛物线的开口方向是什么？对称轴是什么？ 它们的图象开口都向下.对称轴都是y轴 （直线x=0）. y=x2的顶点坐标是（0,0）；y=x2+1的顶点坐标是（0,1）.当x=0时，y=x2的最大值是0，y=x2+1的最大值1，y=x2-1的最大值-1；均无最小值. 问题2.这三条抛物线的顶点坐标是什么？是否有最值？若有，则当x取何值时取得，最值是多少？ 探索新知 问题3.观察它们的图像，当x<0时，随着 x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ 当x<0时，随着x值的增大，y值增大. 当x>0时，随着x值的增大，y值减小. y=ax2+c a>0 a<0 图像 c>0 c<0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标 顶点坐标是原点（0，c） 最值 当x=0时，y最小值=c 当x=0时，y最大值=c 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 二次函数 y = ax2 + c 的性质 探索新知 知识归纳 探索新知 讲一讲： 例2. 若点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝x2﹣2的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 D 变式3.若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是二次函数 y = -3x2+2 图象上的两点，且 0<x1 <2，-4< x2 <-2 ，那么 y1 与 y2 的大小关系是________. y1 ＞ y2 巩固提升 练一练： 1.函数 的图象开口_______，顶点坐标是________，对称轴是_______. 向下 （0,5） y轴 － － 变式4.已知二次函数 ，当 时，则y的最大值是_________. 2.已知二次函数 ，当 时，则y的取值范围是_________. 巩固提升 练一练： 3. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为(　　) D 变式4.二次函数 与反比例函数 在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） D 巩固提升 练一练： 课堂小结 二次函数 y=ax²的图象 沿y轴上、下平移|c|个单位 二次函数 y=ax²+c的图象 二次函数图象与性质 2 ├─a>0 开口向上，a<0 开口向下 ├─对称轴 y 轴（直线 x=0） ├─顶点坐标（0，c） └─a>0，左减右增；a<0，左增右减 下 课 66096.0 $