5.2 二次函数的图象第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=x²和y=-x²的图象与性质，从二次函数一般式y=ax²+bx+c出发，简化到a=±1且b=c=0的特殊情况导入，搭建从一般到特殊的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于通过描点法让学生动手列表描点连线画图象，结合问题链观察对比两函数特征，用表格归纳性质，体现数学眼光、数学思维与数学语言。例如同一坐标系画两函数图象对比开口方向等差异，帮助学生直观理解，教师可借助清晰流程提升教学效率。

第1课时　 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质 第五章　5.2　二次函数的图象 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 情境引入 在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，最简单的情况是a=±1且b=c=0，此时二次函数化简为y=x2或y=-x2，那么这个函数的图象是什么形状？它有哪些性质？本节课我们将学习这个问题. 探究新知 画二次函数y＝x2的图象：观察函数y＝x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下面的步骤 探究1 解：1. 列表：在y = x2中，自变量x可以是任意实数. x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ··· 2. 描点. 3. 连线. 注意：①在连接时必须用光滑的曲线；②在连接时必须依次连接. y =x2 问题1　利用描点法在同一平面直角坐标系中画二次函数y=x2和y=-x2的图象. 提示　(1)列表； x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (2)在平面直角坐标系中描点； (3)用光滑的曲线连接各点，得到函数 y=x2和y=-x2的图象，如图所示. 问题2　观察问题1中画出的函数图象，可知： (1)函数 y=x2和y=-x2的图象都是　　　 ，且顶点在　　　，对称轴是　　　；  (2)函数 y=x2的图象开口向　　，函数 y=-x2的图象开口向　　；  (3)对于函数 y=x2，当x>0时，y随x增大而　　　，当x<0时，y随x增大而　　　；  (4)对于函数 y=-x2，当x>0时，y随x增大而　　　，当x<0时，y随x增大而　　　.  抛物线 原点 y轴 上 下 增大 减小 减小 增大 列表时，选取的自变量的值，应以0为中心，左边取－1，－2，－3，右边对应取1，2，3(取互为相反数的一对数)，不要一边多，一边少，不对称； 归纳总结 描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错； 一定要养成按自变量从小到大的顺序依次描点、连线，连线时必须用平滑的曲线连接各点，不能用折线连接。 知识梳理 二次函数 y=x2 y=-x2 图象     开口方向 向上 向下 对称性 关于y轴对称，对称轴是y轴或直线x=0 顶点与最值 顶点坐标是原点或(0，0) 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 增减性 在对称轴左侧递减；在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增；在对称轴右侧递减 观察·思考 （1）你能描述图象的形状吗? 与同伴进行交流. 二次函数y = x2的图象是一条开口向上的曲线. y =x2 （2）图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么? 有交点，交点在原点(0,0). 探究2 二次函数y＝x2的图象，如图。 y =x2 （3）当x<0时，随着x的值增大，y 的值如何变化？当x>0时呢？ 当x<0时， y随着x的增大而减小. 当x>0时，y随着x的增大而增大. （4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 当x=0时， y有最小值0. 例　已知a<-1，点(a-1，y1)，(a，y2)，(a+1，y3)都在函数y=-x2的图象上，则 A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 √ 解析　∵二次函数y=-x2， ∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为x=0，即y轴. ∵a<-1， ∴a-1<a<a+1<0， ∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴y1<y2<y3. y =x2 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线. 总 结 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴。 二次函数y＝x2的图象 y =x2 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是图象的最低点. 反思感悟 在根据x的大小比较函数值的大小时，可分为三步：①判定函数图象的开口方向；②根据x的值判定相应的点在对称轴的右侧还是左侧；③根据二次函数y=x2和y=-x2的性质比较函数值的大小，得到答案. 当x<0(在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小. 抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0. 当x>0(在对称轴的右侧)时，y随着x的增大而增大. 归纳总结 二次函数y＝x2的性质 跟踪训练　(1)关于函数y=x2，下列说法正确的是 A.y的值随着x的增大而增大 B.y的值随着x的增大而减小 C.函数有最小值 D.无论x取何值，y的值总为正 √ 解析　∵二次函数表达式为y=x2， ∴二次函数图象开口向上，函数有最小值，当x<0时，y随x增大而减小，当x>0时，y随x增大而增大，对称轴为y轴，无论x取何值，y的值总是非负. (2)如图，☉O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 A.π B.2π C.4π D.都不对 √ 解析　∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象， ∴两函数图象关于x轴对称， ∴阴影部分面积即是半圆面积， ∴阴影部分的面积为π×22=2π. 探究3 二次函数y＝－x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象。 x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = -x2 ··· -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ··· ①列表； ②描点； ③连线. y =－x2 二次函数y=－x2的图象也是一条抛物线，它的开口向下，关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最高点. 课堂小结 二次函数y＝x2与y＝－x2图象及性质的比较： 函数表达式 y=x2 y=－x2 图像 开口方向 对称轴 顶点 （0，0） （0，0） 抛物线 抛物线 y轴（或直线x=0） 向上 向下 y轴（或直线x=0） 函数表达式 y=x2 y=－x2 增减性 最值 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 当x＝0时，y有最小值，最小值为0 当x＝0时，y有最大值，最大值为0 1.二次函数y=-x2的图象与y轴的交点是 A.没有交点 B.(0，0) C.(-1，0) D.(0，-1) √ 随堂演练 2.已知点(1，y1)，(2，y2)都在函数y=x2的图象上，则y1与y2大小关系正确的是 A.y1>y2>0 B.y2>y1>0 C.y1<y2<0 D.y2<y1<0 √ 解析　∵y=x2， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为(0，0)， ∴当x>0时，y随x增大而增大，函数最小值为0， ∵1<2，∴y2>y1>0. 随堂演练 3．给出下列四个函数：①y＝x；②y＝－x；③y＝x2；④y＝。当x＜0时，y随x的增大而减小的函数有 ( ) A．1个　　　　　B．2个　　　　　 C．3个　　　　　D．4个 C 4、如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取值范围是(　　) A．x<－1　　　B．x>2 C．－1<x<2 D．x<－1或x>2 D 谢谢观看 $