5.3 二次函数的应用课件2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数的应用，涵盖表达式求法（一般式、顶点式、交点式）及面积、利润最值问题。课堂导入通过复习二次函数性质、待定系数法，以问题链衔接，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是通过合作探究（如推铅球、矩形面积问题）和典例精析（多种解法对比），培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理运算）、数学语言（建立函数模型）。如用顶点式求推铅球轨迹表达式，助力学生提升应用能力，教师可借结构化流程提高教学效率。

5.3 二次函数的应用 5.3 二次函数的应用 第1课时 二次函数的应用(1) 1.会利用待定系数法求二次函数的表达式.（重点） 2.会分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 3.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 学 习 目 标 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 (＞0) 开口向上，越大开口越小 关于直线=对称 坐标（,） =时， =时， 当＜，随的增大而减小； 当＞随的增大而增大. 当，随的增大而增大； 当＞，随的增大而减小. (＜0) 开口向下，越大开口越小 复 习 导 入 3.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件.确定反比例函数（k≠0)关系式时，通常需要 个条件. 1.二次函数表达式的一般形式是什么? 二次函数表达式的顶点式是什么? y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) y=a(x-h)2+k (a ≠0) 2 1 思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 新 课 导 入 分析：图象为一条抛物线，因此y是x的二次函数，且已知顶点坐标，因此可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，图象过点（10，0），将其代入表达式即可求出待定系数a. 一名学生推铅球时，铅球向上运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系图如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗？ 合 作 探 究 解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数表达式为y＝a(x－4)2+3. 把点(10，0)的坐标代入y＝a(x－4)2+3，解得a＝－， ∴铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝－(x－4)2+3. 合 作 探 究 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流. 确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的关系式. 合 作 探 究 例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入表达式y=ax2+c中，得 a=2, c=－5. 解这个方程组，得 3=4a+c, －3=a+c. ∴所求二次函数表达式为y=2x2－5. 分析：确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可. 典 例 精 析 (1)形如y＝ax2的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标. (2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标. (3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式. 合 作 探 究 解：∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，∴设二次函数表达式为y＝ax2+bx+1. ∵经过点（2，5）和（-2，13）， ∴ 解得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2-2x+1. 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 如何设函数表达式呢？ 分析：此题顶点坐标未知，因此可以设一般式y＝ax2+bx+c，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即c＝1，因此只有两个未知系数a和b，又已知两点的坐标，代入即可求出表达式. 针 对 练 习 想一想：在什么情况下，已知二次函数图象上两点就可以确定它的表达式？ 二次函数可化成y=a(x－h)2+k时，顶点是（h，k），如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 已知二次函数 合 作 探 究 1.求二次函数表达式采用的一般方法是 . 待定系数法 2.求二次函数表达式的步骤和方法: (1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程（或方程组）,求出待定系数； (4)答：写出二次函数的表达式. ☀方法归纳 新 知 小 结 问题：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 想一想：除了以上解法，还有没有其他解法呢？ 将三个点代入y＝ax2+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？ 分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？ 合 作 探 究 做一做：已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. ∴所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5. ∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 4=a+b+c ∴ 10=a-b+c， 7=4a+2b+c， a=2， c=5. 解得 b=-3， 你会解三元一次方程组吗？ ∴二次函数图像对称轴为直线，顶点坐标为(). ∵, 合 作 探 究 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 一般式法求二次函数表达式的方法: 新 知 小 结 例2 已知二次函数的图象经过点(－1,－5),(0,－4)和(1，1)． 求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c． 依题意得 ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a-b＋c＝-5， 解得 b＝3， c＝－4， a＝2， 典 例 精 析 如图所示，二次函数图象经过点（-3,0）,（-1,0）,（0,-3）,试求出这个二次函数的表达式. 拓展 交点法求二次函数关系式 解：∵(-3,0),(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0,-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 合 作 探 究 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 新 知 小 结 例3 已知抛物线图象上三个点的坐标（1,0）,（3,0）,（2,-1）,求二次函数关系式. 解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（1,0）,（3,0）,（2,-1）,依题意得: a + b + c = 0 9a + 3b + c = 0 4a + 2b + c=-1 ∴所求的函数关系式为y = x2-4x+3. 解得 典 例 精 析 解法二: ∵点（1,0）和（3,0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3),又抛物线过点(2,-1), ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y = x2-4x+3. 解法三： ∵点（1,0）和（3,0）关于直线x =2对称,所以(2,-1)是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数关系式为：y = a(x-2)2-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=a(3-2)2-1, 解得a=1, ∴ y = (x-2)2-1, 即所求函数关系式为y = x2-4x+3. 典 例 精 析 ☀方法归纳 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 新 知 小 结 做一做：要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1 m,问此时水面宽度增加多少? -3 (-2,-2) ● ● (2,-2) 4米 合 作 探 究 解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为y=ax2. ∵抛物线经过点（2，-2）， ∴-2=4a，解得 ∴这条抛物线的解析式为y=x2. 当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3. 当y=-3时，. ∴水面下降1m，水面的宽度为m. ∴水面的宽度增加了()m. 合 作 探 究 例4 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B.已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m. 建立如图所示的平面直角坐标系后，这位 球员所投球的运动路线是抛物线y=ax2+c （-3≤x≤1）.求这条抛物线的表达式和球 运动的最大高度. 典 例 精 析 解：由题意可知，抛物线经过点A(-3,2.25)，B(1,3.05).将这两个点的坐标分别代入表达式y＝ax2+c，得 解这个方程组，得 所以，这条抛物线的表达式为y＝－0.1x2+3.15. 当x=0时，y取得最大值，y最大=3.15. 因此，球运动的最大高度是3.15m. 合 作 探 究 解决抛物线型问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 新 知 小 结 1.二次函数的图象如图所示,则它的表达式是(　 　) A.y＝2x2-4x B.y＝-x(x-2) C.y＝-(x-1)2+2 D.y＝-2x2+4x D 2.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2 C 随 堂 检 测 4.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 3.已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为 . y=-x2-2x 5.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 . y=-2(x-1)2+6 随 堂 检 测 6.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式.(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由． 随 堂 检 测 解：(1)由题意，得E(0，6)，D(4，2)． ∵ 点E为顶点， ∴ 可设抛物线的解析式为y＝ax2＋6. 将点D的坐标代入，得16a＋6＝2， 解得a＝－. ∴ y＝－x2＋6. (2)这辆卡车能通过该隧道．理由如下： ∵ 当x＝2.4时，y＝－×2.42＋6＝4.56>4.2， ∴ 这辆卡车能通过该隧道． 随 堂 检 测 确定二次函数表达式 二次函数的应用（1） ①一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x，y的值，用一般式） ②顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式）③交点式：y＝a(x-x1)(x-x2). (已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式) 抛物线型问题 建立恰当的直角坐标系 课 堂 总 结 5.3 二次函数的应用 第2课时 二次函数的应用（2） 1.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 2.弄清面积问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 学 习 目 标 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法： (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x，y的值，用一般式） (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式） (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式） 复 习 导 入 问题：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.如何画才能让矩形的面积最大呢？ 下面我们一起探讨如何利用二次函数解决这个问题. 情 境 导 入 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，点C在斜边上. 设矩形的一边AB=x m. (1)AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为y m2,当x取什么值时,y的值最大？最大值是多少? （2）用x表示出面积y，借助二次函数即可求出y的最大值. x 分析：（1）由图形易得△CBE△FAE，进而得到对应边成比例，进而可用x表示AD的长度. 合 作 探 究 解：（1）∵ BC∥AD， ∴ ∠CBE＝∠FAE＝90°. 又∵ ∠E＝∠E， ∴ △CBE∽△FAE． x ∴ ＝． 又∵ EA＝40，AB＝x，EB＝40-x， ∴＝． ∴ BC＝． ∴ AD＝BC＝． 合 作 探 究 （2）y= ∴当x为20m时，y有值最大，最大值是300m2. x 或用公式：当时，. 合 作 探 究 议一议：在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 分析：可以利用相似三角形对应高的比等于相似比解决. x F G E N M 解：过E作EN⊥GF交AD与M，则GF=50,EN=24, MN=AB=x. ∵ AD∥BC， ∴ ∠EAD＝∠EFG. 又∵ ∠DEA＝∠GEF=90°， ∴ △EAD∽△EFG． ∴ ＝,即∴＝． ∴ AD＝． 合 作 探 究 （2）y= = ∴当x为12m时，y有值最大，最大值仍然是300m2. 合 作 探 究 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 2.求出函数解析式和自变量的取值范围； 3.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4.检验结果的合理性：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 新 知 小 结 例1 某建筑物的窗户如图所示（单位：m）,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度之和)为15m，材料的宽度及制造中的接口不计.当x等于多少时,窗户的面积最大(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少(结果精确到0.01m2)? 解：∵7x+4y+πx=15, ∴0＜x＜1.48. ∴. ∵ 典 例 精 析 设窗户的面积是S m2, 则 因此，当x约为1.07时，窗户的面积最大.此时，窗户的面积约为4.02 m2. . ∴当时，S取得最大值， 典 例 精 析 D D 1.某中学计划用20 m的围栏靠墙围成一个如图所示的矩形花园ABCD，设AB＝x m，矩形的面积为S m²， S的最大值是（ ） A.20 m² B.30 m² C.40 m² D.50 m² 2.用长为8m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为(　　) A. m2 B. m2 C.m2 D.4 m2 随 堂 检 测 3.周长为16 cm的矩形的最大面积为　 cm2.  16 30 20 75 4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120 m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是　　　m, 　　　 m.  5.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为 m2. 随 堂 检 测 6.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少? 解:∵∠C=90°, AC=8, BC=6, ∴AB=10. ∵四边形CDEF是矩形, ∴EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC, ∴ 随 堂 检 测 同理可得DE=x. 矩形CDEF的面积S=DE·EF = = (0<x<10), 设AE=x,则BE=10-x, ∴ ∴EF= ∴当x=5时, S有最大值,为12. 即当AE为5时, 所剪出的矩形CDEF面积最大, 最大面积为12. 随 堂 检 测 建立函数关系式 二次函数的应用（2） 依据图形的面积公式建立函数关系式 1.需保证线段长度>0； 2.结合题目限制自变量区间. 确定自变量的取值范围 确定最大(小)面积 利用配方法或公式求最大(小)值或利用函数简图和性质求出. 课 堂 总 结 5.3 二次函数的应用 第3课时 二次函数的应用（3） 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 学 习 目 标 1.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为顶点式为 ； 它的对称轴为 ， 顶点坐标公式为 . 2.利润问题中的数量关系： 直线 ( （1）销售额 = 售价×销售量; （2）利润 = 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润 = 售价-进价. 复 习 导 入 前面我们应用二次函数解决了面积的最值问题，能不能也应用二次函数解决最大利润问题呢？本节课我们将继续探究. 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元． 根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 情 境 导 入 做一做：服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？ 【分析】若设批发价为x元，该服装厂获得的利润为y元，请完成下面的填空题：(1)每件T恤衫的利润可以表示为 . (2)经销量可以表示为 . (3)厂家获利可以表示为 . (4)y与x的关系可以表示为 . （x-10）元 件 （x-10）元 y=（x-10） 合 作 探 究 解：设批发价为x元，该服装厂获得的利润为y元. 由题意得 y=（x-10） = 5000(x-10)(14-x) = -5000(x-12)2+20000 ∵a=-5000＜0 ∴抛物线开口向下，函数有最大值 ∵对称轴为直线x=12 又∵10≤x＜13 ∴当x=12时，y有最大值. ∴厂家批发单价是12元时可以获利最多. 合 作 探 究 例1 某旅馆有客房120间，当每间客房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么每天客房出租数就会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金增加到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？ 【分析1】如果设每间房的日租金增加10x元，那么提价后每间房的日租金为 元，提价后所租出去的房间数为 间. (160＋10x) (120－6x) 【分析2】如果设每间客房的日租金增加到x元，租出去的房间数为 间. 典 例 精 析 解法一：设每间客房的日租金增加10x元，则每天客房出租数减少6x间，设客房日租金的总收入为y元，则 y=(160+10x)(120-6x) =－60(x－2)2+19 440. ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x＜20. 当x=2时，y取得最大值，y最大=19 440. 160+10×2=180. 因此，每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19 440元. 典 例 精 析 解法二：设每间客房的日租金增加到x元，则每天客房出租数会减少×6间．设客房的日租金总收入为y元. 则y＝x＝－0.6(x－180)2＋19 440. ∵x≥160，且＞0，∴160≤x＜360. ∵a=-0.6＜0,∴抛物线开口向下，函数有最大值. ∵对称轴为直线x=180, ∴当x=180时，y取得最大值，y最大=19 440. 因此，每间客房的日租金增加到180元时，客房日租金的总收入最高，最高总收入为19 440元. 典 例 精 析 解：(1)y＝－5x2＋100x＋60 000 ＝-5(x-10)2+60 500. 函数图象如图所示. 议一议：还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到橙子的总产量y(单位：个)与增种橙子树的数量x(单位：棵)之间的关系式:y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60 000. (1)在图中画出这个函数的图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 合 作 探 究 (2)令y＝60 400,即-5(x-10)2+60 500=60 400, 解得x1=10-2，x2=10+2, (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上? 数形 结合 又∵x为正整数， ∴增种6棵，7棵，8棵，9棵，10棵，11棵，12棵，13棵，14棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400以上. ∴结合图象可得,当10-2＜x＜10+2时, y＞60400, 合 作 探 究 ☀归纳总结 求解最大利润问题的一般步骤: （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 新 知 小 结 1.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式为y＝－4x＋440，要获得最大利润，该商品的售价应定为(　 　) A.60元 B.70元 C.80元 D.90元 2. 某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　） A．160元 B．180元 C．140元 D．200元 C A 随 堂 检 测 3.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件.若使利润最大，每件的售价应为 元. 25 4.进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100) w=[2000-5(x-100)](x-80) 随 堂 检 测 5.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式. (2)当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 随 堂 检 测 解：(1)由题意，得 y＝(x－50)[50＋5(100－x)] ＝(x－50)(－5x＋550) ＝－5x2＋800x－27 500， 即y＝－5x2＋800x－27 500(50≤x≤100)． (2)y＝－5x2＋800x－27 500＝－5(x－80)2＋4 500. ∵ a＝－5＜0， ∴ 抛物线开口向下． ∵ 50≤x≤100，对称轴是直线x＝80， ∴ 当x＝80时，y最大＝4 500. ∴当销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4 500元. 随 堂 检 测 建立函数关系式 二次函数的应用（3） 总利润=单件利润×销售量或总销量=总售价-总成本. 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0. 确定自变量的取值范围 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出. 课 堂 总 结 $