第四单元 圆（知识清单）数学青岛版六年级上册（新教材）

该小学数学“圆”单元知识清单系统梳理了圆的认识、扇形、周长及面积四大核心内容，构建了从概念定义（如圆心、半径）到公式推导（化圆为方）再到实际应用（圆环面积计算）的递进式学习支架。 清单通过表格对比核心要素（如半径与直径的关系）、标注易错点（如半圆周长漏加直径）及例练结合的题型设计，培养学生的几何直观与推理意识。融入《墨经》记载及祖冲之成就，渗透文化素养，教师可利用分层练习精准教学，学生能通过知识框架自主梳理，提升学习效率。

第四单元 圆单元知识清单讲义 知识点一：圆的认识 1. 圆的意义 圆是由一条曲线围成的封闭图形 。 我国古代数学名著《墨经》中记载：「圆，一中同长也」 ，意思是圆有一个中心点（圆心），从圆心到圆上任意一点的距离（半径）长度都相等。 2. 画圆的方法（圆规画圆三步法） ① 定半径 ：调整圆规两脚间的距离，确定半径长度（半径决定圆的大小）； ② 定圆心 ：把圆规带有针尖的一脚固定在一点，这个点就是圆心（圆心决定圆的位置）； ③ 旋转一周 ：把装有铅笔尖的一脚绕固定点旋转一周，即可画出一个圆。 3. 圆的组成 名称 定义 字母表示 核心特征 圆心 圆的中心点 O 决定圆的位置 半径 连接圆心和圆上任意一点的线段 r 决定圆的大小；同圆中有无数条半径，所有半径长度相等 直径 通过圆心并且两端都在圆上的线段 d 同圆中有无数条直径，所有直径长度相等；直径是圆内最长的线段 半径与直径的关系：同圆/等圆中，直径长度是半径的2倍，即 或 。 4. 圆的对称性 圆是轴对称图形 ，直径所在的直线 是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 找圆心方法：将圆形纸片至少对折2次，两条折痕（直径）的交点就是圆心。 知识点二：扇形 1.弧 ：圆上任意两点之间的部分叫做弧，读作「弧AB」。 圆心角 ：顶点在圆心，由两条半径组成的角叫做圆心角。 扇形 ：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.关键结论： 扇形是所在圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形； 扇形的大小由圆心角大小 和半径长短 共同决定； 半圆是特殊的扇形，圆心角为180°。 3.在同圆中，扇形的大小与圆心角的关系 4.认识特殊的扇形 知识点三：圆的周长 1. 圆周率 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 ，用字母 （读作pài）表示。 是一个无限不循环小数，计算时通常取近似值 3.14 ； 世界上第一个把圆周率精确到7位小数的数学家是我国的祖冲之。 2. 周长计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 （注意不要漏加直径） 知识点四：圆的面积 1. 公式推导（化圆为方 + 极限思想） 把圆分成若干（偶数）等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形 ： 分的份数越多，拼成的图形越接近长方形； 拼成的长方形的长 = 圆周长的一半 = ； 拼成的长方形的宽 = 圆的半径 = ； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 2. 圆的面积公式 基本公式： 已知直径求面积：先求半径 ，再代入公式得 已知周长求面积：先求半径 ，再代入面积公式 ⚠️ 注意：周长和面积单位不同，无法比较大小。 3. 圆环的面积 圆环是两个半径不相等的同心圆之间的部分： 外圆半径用R表示，内圆半径用r表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，即： 典型应用：圆形水池周围修小路的面积、环形铁片面积等，都用圆环面积公式计算。 题型一：圆的认识 【例1】．下图中，点O是圆的圆心，OC是圆的( )，一般用字母( )来表示。AB是圆的( )，一般用字母( )来表示。 【答案】 半径 r 直径 d 【分析】半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示。 【详解】由分析得：OC是连接圆心O与圆上一点C的线段，是圆的半径，一般用字母r来表示。AB是通过圆心O且两端点都在圆上的线段，是圆的直径，一般用字母d来表示。 即点O是圆的圆心，OC是圆的半径，一般用字母r来表示。AB是圆的直径，一般用字母d来表示。 【练1】8．按要求画出半径或直径，用字母表示并填空。 r＝（    ）厘米  d＝（    ）厘米    r＝（    ）厘米  d＝（    ）厘米 【答案】画图见详解；3；6；画图见详解；2；4 【分析】半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，且d＝2r。第一个图形从圆心O向圆上画一条线段标注r，第二个图形通过圆心O画一条两端在圆上的线段标注d。根据给出的图形中圆与正方形的关系来确定半径和直径的长度。 【详解】第一个图形：画出一条半径如下： 因为圆在正方形内，此时圆的直径等于正方形的边长。已知正方形边长为6厘米，所以圆的直径d＝6厘米。根据d＝2r，可得圆的半径r为：6÷2＝3（厘米）。 即r＝3厘米，d＝6厘米。 第二个图形：画出一条直径如下： 因为圆在正方形内，此时圆的直径等于正方形的边长。已知正方形边长为4厘米，所以圆的直径d＝4厘米。根据d＝2r，可得圆的半径r为：4÷2＝2（厘米）。 即r＝2厘米，d＝4厘米。 题型二：与圆有关的轴对称图形 【例2】下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，分别找出四个选项中图形的对称轴条数，再进行比较。如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这条直线就是它的对称轴。 【详解】 A．有3条对称轴； B．同心圆有无数条对称轴； C．有3条对称轴； D．有4条对称轴。 【练2】．下面所给的组合图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作图形的对称轴，据此找出每个图对称轴有多少条，再进行比较即可。 【详解】 A．有1条对称轴； B．有无数条对称轴； C．有3条对称轴； D．有4条对称轴。 综上所述可知，对称轴条数最少的是。 题型三：扇形 【例3】在括号里写出下面各扇形（阴影部分）圆心角的度数。 ( )              ( )           ( ) 【答案】 180° 120° 270° 【分析】由左图可知，把一个圆平均分成2个扇形，用360度除以2，可以求出每个扇形的圆心角； 由中间的图可知，把一个圆平均分成3个扇形，用360度除以3，可以求出每个扇形的圆心角； 由右图可知，把一个圆平均分成4个扇形，用360度除以4，可以求出每个扇形的圆心角，再求出阴影部分扇形的圆心角。 【详解】 【练3】．如图，圆上A，B两点之间的部分叫作( )，读作( )；像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫作( )。 【答案】 弧 弧AB 圆心角 【分析】根据扇形的相关概念，进行解答即可。 【详解】由图可知，圆上A，B两点之间的部分叫作弧，读作弧AB； 顶点在圆心的角叫作圆心角。 题型四：圆的周长 【例4】．动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【答案】41.12米 【分析】防护栏长度是半圆形活动区的周长，包含半圆弧长度和一条直径，先利用圆周长公式C＝2πr，π取3.14，求出圆的周长，再除以2求出半圆弧长，再加上直径长度求出总长度。 【详解】半圆弧长：2×3.14×8÷2 ＝6.28×8÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（米） 直径：8×2＝16（米） 总长：25.12＋16＝41.12（米） 答：防护栏长度是41.12米。 【练4】．学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 【答案】245.6米 【分析】如下图，跑道两头的两个半圆可拼成一个整圆，根据圆的周长公式：C＝2πr，计算出整圆的周长，再加上两条直道长度的和，就是操场跑道一圈的周长，代入数据计算即可。 【详解】3.14×20×2＋60×2 ＝62.8×2＋120 ＝125.6＋120 ＝245.6（米） 答：操场跑道一圈的周长是245.6米。 题型五：圆的面积 【例5】一个圆形茶杯盖的周长是25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24 平方厘米 【分析】根据圆的周长＝，用圆形茶杯盖的周长除以2，再除以3.14即可求出它的半径，再根据圆的面积＝即可求出这个圆形茶杯盖的面积。 【详解】25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 3.14×42＝3.14×16＝50.24（平方厘米） 答：它的面积是 50.24 平方厘米。 【练5】公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【分析】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【详解】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 题型六：圆环的面积 【例6】．公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【分析】根据圆的周长公式，可推出r＝C÷π÷2，用内圆半径加上路宽得到外圆半径，用圆环面积公式，即可求出石子路的面积。 【详解】 （米） （米） （平方米） 答：这条石子路的面积是65.94平方米。 【练6】瓷扇是瓷与扇文化融合的艺术品，以陶瓷为主体材质，兼具观赏、收藏与吉祥寓意。如图是一件半圆形瓷扇摆件，它的扇面由陶瓷制成，扇柄由檀木制成。这件瓷扇摆件扇面的面积是多少平方厘米？ 【答案】551.07平方厘米 【分析】先用内圆半径7厘米加上13厘米求出外圆半径R，再根据半圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，将外圆半径R和内圆半径r代入公式，即可求出扇面面积。 【详解】7＋13＝20（厘米） ×3.14×（202－72） ＝×3.14×（400－49） ＝×3.14×351 ＝1.57×351 ＝551.07（平方厘米） 答：这件瓷扇摆件扇面的面积是551.07平方厘米。 题型七：含圆的组合图形的面积 【例7】计算图中涂色部分的面积。 【答案】22.88平方厘米 【分析】由图可知，半圆的半径是4厘米，梯形的上底是（4×2）厘米，下底是16厘米，高是圆的半径即4厘米，图中涂色部分的面积等于梯形面积减去半圆的面积，根据梯形面积公式，，代入数据，计算即可。 【详解】（4×2＋16）×4÷2 ＝（8＋16）×4÷2 ＝24×4÷2 ＝48（平方厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 48－25.12＝22.88（平方厘米） 【练7】．求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】周长：49.12厘米 面积：13.76平方厘米 【分析】观察图形可知，正方形的边长为8厘米，圆直径为8厘米，涂色部分的周长等于正方形三条边的长度与圆的周长之和；涂色部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积； 圆的周长＝圆周率×直径，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×。 【详解】周长： 8×3＋3.14×8 ＝24＋25.12 ＝49.12（厘米） 面积： 8×8－3.14× ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方厘米） 一、填空题 1．一个圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴，一个半圆形也可以看作圆心角是( )°的扇形。 【答案】 无数 1/一 180 【分析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是对称轴。 由于圆有无数条直径，因此圆有无数条对称轴。 半圆是圆的一半，只有一条对称轴，即直径所在的直线，因为沿该直线对折可以完全重合沿其他直线则不能。 扇形是圆的一部分，由两条半径和一条弧组成。 半圆是圆的一半，圆心角为180°，因为整个圆的圆心角是360°，一半是180°。 【详解】根据分析可知，一个圆有无数条对称轴，半圆有1条对称轴，一个半圆形也可以看作圆心角180°的扇形。 2．把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 37.68 113.04 【分析】把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，说明这个圆的半径为6厘米。圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr²。 【详解】圆的周长＝2×3.14×6 ＝37.68（厘米） 圆的面积＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 3．在一张宽6厘米、长9厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，周长是( )，面积是( )。 【答案】 6厘米 18.84厘米 28.26平方厘米 【分析】在长方形纸上画一个最大的圆，则该圆的直径为长方形的宽，再根据圆周长＝圆周率×直径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，代入数值，即可解答。 【详解】宽是6厘米则圆的直径是6厘米， 周长为：3.14×6＝18.84（厘米） 面积为：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 在一张宽6厘米、长9厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是6厘米，周长是18.84厘米，面积是28.26平方厘米。 4．钟面上，分针长8厘米，如果走0.5小时，分针的尖端走过的路程是( )厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，或( )平方分米。 【答案】 25.12 28.26 0.2826 【分析】8厘米长的分针走一圈，时间过了1小时，分针尖端的轨迹是一个半径为8厘米的圆，那么走0.5小时，分针的轨迹就是这个圆的一半，先计算出这个圆的周长，再除以2；在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的直径等于这个长方形的宽，所以这个圆的直径为6厘米，则半径为3厘米，再根据圆的面积计算公式计算。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） 28.26平方厘米＝0.2826平方分米 5．如果一个自行车车轮的直径是0.6米，那么它转动10周所走的路程是( )米。 【答案】18.84 【分析】根据圆的周长＝πd，代入数据计算即可求出自行车车轮的周长，即车轮转动1周所走的路程，再乘10即可解答。 【详解】3.14×0.6×10 ＝1.884×10 ＝18.84（米） 则它转动10周所走的路程是18.84米。 6．圆的周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的( )倍。 【答案】4 【分析】周长公式：C＝2πr；面积公式：S＝πr2；周长扩大到原来的2倍，则半径也扩大到原来的2倍，面积扩大倍数为半径扩大倍数的平方。 【详解】2×2＝4 圆的周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的4倍。 7．如图，A、B两个圆的半径比是__________，面积比是__________。 【答案】 2∶3 4∶9 【分析】从图中可知，圆A的半径是2，圆B的半径是3；根据比的意义得出A、B两个圆的半径比； 根据圆的面积公式S＝πr2可知，两个圆的面积比等于它们半径的平方比，据此解答。 【详解】A、B两个圆的半径比是2∶3； A、B两个圆的面积比是22∶32＝4∶9。 填空如下： A、B两个圆的半径比是2∶3，面积比是4∶9。 8．一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了( )cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是( )。 【答案】 47.1 86 【分析】分针针尖走过的路程是扇形的弧长，未被扫到的面积是正方形面积减去圆的面积。 从12时整到12时45分，分针走45分钟，转动了圈，对应的弧长是圆周长的。 分针走了一小时走过的面积是一个以分针长度为半径的圆的面积，未被扫到的面积＝正方形面积－圆的面积。 【详解】12时45分－12时＝45（分钟） 2×3.14×10× ＝6.28×10× ＝62.8× ＝47.1（cm） （） 9．如下图所示，将一个圆形纸片平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形（分的份数越多，就越接近长方形）。如果拼成的长方形的周长比圆的周长增加了10厘米，那么拼成的长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 41.4 78.5 【分析】将圆形纸片拼成近似长方形时，长方形的长等于圆的周长的一半，长方形的宽等于圆的半径，因此长方形的周长比圆的周长多了2个半径的长度，所以圆的半径为增加的长度除以2；再根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的周长，然后加上10厘米即可得到长方形的周长；拼成的长方形的面积与原来圆的面积相等，根据圆的面积公式为S＝πr2代入计算即可求出长方形的面积。 【详解】圆的半径：10÷2＝5（厘米） 圆的周长：2×3.14×5＝31.4（厘米） 长方形的周长：31.4＋10＝41.4（厘米） 长方形的面积（圆的面积）： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 10．过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是40cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2。如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 456 1600 【分析】根据圆的面积S＝πr2，算出圆的面积；连接正方形的对角线，把正方形分成4个面积相等的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2算出一个三角形的面积，再乘4算出正方形的面积，用圆的面积减去正方形的面积即可算出正方形与圆之间部分的面积；需要的正方形纸的边长等于圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长计算解决。 【详解】（1）40÷2＝20（cm） 3.14×202－20×20÷2×4 ＝3.14×400－20×20÷2×4 ＝1256－800 ＝456（cm2） 所以正方形与圆之间部分的面积是456cm2； （2）40×40＝1600（cm2） 所以正方形纸的面积至少是1600cm2。 11．如图，一个大正方形内接一个圆，圆内又接一个正方形。圆的面积是628平方厘米，那么小正方形的面积是( )平方厘米，大正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 400 800 【分析】因为已知圆的面积，所以可根据圆的面积公式求出半径的平方。 因为大正方形的边长等于圆的直径，所以可以用推导大正方形的面积。 因为小正方形的对角线长等于圆的直径，所以可以用对角线与正方形面积的关系，结合推导小正方形的面积。 【详解】已知圆面积，所以 算大正方形面积：大正方形内接圆，大正方形的边长等于圆的直径。 大正方形面积边长边长（平方厘米）。 算小正方形面积： 圆内接小正方形，小正方形的对角线长度等于圆的直径。把小正方形沿对角线分成2个相同的三角形，每个三角形底是，高是，小正方形面积为： （平方厘米）。 二、选择题 12．下面的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，据此解答。 【详解】 A.有4条对称轴； B．有8条对称轴； C．有3条对称轴。 13．笑笑画的圆和妙想做的圆相比，哪个圆大？（    ） A．笑笑画的圆大 B．妙想做的圆大 C．一样大 【答案】B 【分析】画圆时，圆规两脚尖的距离是圆的半径，用铁丝围成一个最大的圆，铁丝长度相当于圆的周长，根据圆的周长＝2×圆周率×半径，求出笑笑画的圆的周长，与妙想围成的圆的周长比较即可。 【详解】2×3.14×2＝12.56（cm） 12.56＜18.84 笑笑画的圆和妙想做的圆相比，妙想做的圆大。 故答案为：B 14．圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 【答案】A 【分析】减少的面积是半径为4cm的圆面积减去半径为3cm的圆面积，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），π取3.14，代入数值即可解答。 【详解】3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（cm2） 圆的面积减少了21.98cm2。 15．如图，正方形内是我国古代的太极图，正方形的边长是2cm，正方形与黑色部分的面积比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长可以求出正方形的面积，观察太极图的结构可知，黑色区域和白色区域面积相等即黑色区域面积等于圆的面积的一半，根据圆的面积＝再÷2就可以求出黑色部分的面积，最后将两者面积化为最简比即可。 【详解】正方形的面积：2×2＝4（） 黑色部分面积：π×÷2＝（） 所以，正方形与黑色部分的面积比：4∶＝8∶π 16．如图，小蚂蚁从A点到B点，走哪条路近些？（    ） A．甲路线近 B．乙路线近 C．甲乙一样近 D．无法确定 【答案】C 【分析】设大半圆的直径为d，甲路线是大半圆周长的一半，乙路线是4个圆周长的一半，圆周长＝πd，据此判断。 【详解】设大半圆的直径为d 甲路线＝πd 乙路线＝第一个圆直径×π＋第二个圆直径×π＋第三个圆直径×π＋第四个圆直径×π ＝（第一个圆直径＋第二个圆直径＋第三个圆直径＋第四个圆直径）×π 四个圆直径相加等于d 所以乙路线＝πd。 两条路线一样近。 17．下面哪些图形的涂色部分面积相等？（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过割补法分析每个由大圆、中圆、小圆组成的图形的涂色面积，且每个图形的大圆、中圆、小圆的面积分别相等的；据此解答即可。 【详解】①从图形可知：涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； ②把虚线右边的部分绕大圆的圆心上下翻转，那么形成一个涂色的小圆以及被小圆遮挡一部分的空白中圆，涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； ③把虚线右面的空白部分向下平移，与左边凑整一个中圆，涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； ④把虚线右面的小圆部分向上平移，与左边凑整一个小圆，也与图形①一致，涂色面积＝大圆面积－中圆面积＋小圆面积； 所以，4个图形的涂色面积都相等。 18．杂技演员在一根悬空的钢丝上骑独轮车，车轮的外直径是0.5米。从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈。这根悬空的钢丝至少长（    ）米。 A．6.28 B．62.8 C．125.6 D．6280 【答案】B 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径，求出车轮滚动1圈的距离，车轮从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈，用滚动1圈的距离再乘滚动的总圈数即为车轮滚动的总长度，也就是这根钢丝至少要长多少米。 【详解】3.14×0.5×40 ＝1.57×40 ＝62.8（米） 这根悬空的钢丝至少长62.8米。 故答案为：B 三、计算题 19．计算下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 【答案】56.52平方分米；18.24平方分米 【分析】三个涂色扇形半径均为6分米，圆心角之和等于三角形内角和180°，可拼接成一个半径6分米的半圆，直接利用半圆面积公式计算涂色面积； 先依据圆的面积公式算出直径8分米的圆的面积，把内部正方形沿对角线拆成2个底为8分米、高为4分米的三角形求出正方形面积，再用圆的面积减去正方形面积得到涂色面积。 【详解】左图： 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（平方分米） 右图： 3.14×（8÷2）2－8×（8÷2）÷2×2 ＝3.14×16－8×4÷2×2 ＝50.24－32 ＝18.24（平方分米） 四、解答题 20．小芳有一辆自行车车轮的外直径是0.6米。 (1)车轮转动一圈，这辆自行车前进多少米？ (2)小芳骑自行车到学校用10分钟，车轮每分钟转100圈。小芳家距学校有多少米？ 【答案】(1)1.884米 (2)1884米 【分析】（1）车轮转动一圈前进的距离即为车轮的周长。已知车轮的外直径，根据圆的周长公式，将直径数据代入公式计算即可求出周长； （2）小芳家到学校的距离等于车轮的周长乘每分钟转动的圈数，再乘骑行的时间。利用第（1）题求出的周长，结合题目给出的每分钟转数和时间进行计算。 【详解】（1）（米） 答：车轮转动一圈，这辆自行车前进 1.884 米。 （2） （米） 答：小芳家距学校有 1884 米。 21．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 【答案】 314平方米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，算出圆的半径；再根据圆的面积公式，代入数值计算即可求出这个圆形场地的面积。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方米） 答：这个圆形场地的面积大约是314平方米。 22．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 (1)最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ (2)剩下的纸板还有多少平方分米？ 【答案】(1)14个 (2)64.16平方分米 【分析】首先需统一长度单位，将米换算成分米，以便与圆形直径单位一致； （1）计算圆形标志的数量时，不能直接用长方形面积除以圆的面积，因为圆形之间会有空隙，需要分别计算长方形的长和宽各能容纳多少个圆的直径，取整数部分相乘； （2）计算剩余面积时，用长方形纸板的总面积减去所有圆形标志的面积之和即可求解。 【详解】（1）3米＝30分米 0.8米＝8分米 30÷4＝7（个）……2（分米） 8÷4＝2（个） 7×2＝14（个） 答：最多能从长方形纸板中裁剪出14个圆形标志。 （2）30×8＝240（平方分米） 4÷2＝2（分米） ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） 答：剩下的纸板还有64.16平方分米。 23．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】求红色油漆的面积，就是求圆环的面积；根据半径＝直径÷2，据此求出指示牌的半径；再用指示牌的半径－油漆圈的宽度，求出小圆的半径，即不刷红色油漆的面积，根据圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），据此解答，注意单位换算。 【详解】120÷2＝60（厘米） 60－20＝40（厘米） 3.14×（602－402） ＝3.14×（3600－1600） ＝3.14×2000 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：红色油漆的面积是0.628平方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆单元知识清单讲义 知识点一：圆的认识 1. 圆的意义 圆是由一条曲线围成的封闭图形 。 我国古代数学名著《墨经》中记载：「圆，一中同长也」 ，意思是圆有一个中心点（圆心），从圆心到圆上任意一点的距离（半径）长度都相等。 2. 画圆的方法（圆规画圆三步法） ① 定半径 ：调整圆规两脚间的距离，确定半径长度（半径决定圆的大小）； ② 定圆心 ：把圆规带有针尖的一脚固定在一点，这个点就是圆心（圆心决定圆的位置）； ③ 旋转一周 ：把装有铅笔尖的一脚绕固定点旋转一周，即可画出一个圆。 3. 圆的组成 名称 定义 字母表示 核心特征 圆心 圆的中心点 O 决定圆的位置 半径 连接圆心和圆上任意一点的线段 r 决定圆的大小；同圆中有无数条半径，所有半径长度相等 直径 通过圆心并且两端都在圆上的线段 d 同圆中有无数条直径，所有直径长度相等；直径是圆内最长的线段 半径与直径的关系：同圆/等圆中，直径长度是半径的2倍，即 或 。 4. 圆的对称性 圆是轴对称图形 ，直径所在的直线 是圆的对称轴，因此圆有无数条对称轴。 找圆心方法：将圆形纸片至少对折2次，两条折痕（直径）的交点就是圆心。 知识点二：扇形 1.弧 ：圆上任意两点之间的部分叫做弧，读作「弧AB」。 圆心角 ：顶点在圆心，由两条半径组成的角叫做圆心角。 扇形 ：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.关键结论： 扇形是所在圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形； 扇形的大小由圆心角大小 和半径长短 共同决定； 半圆是特殊的扇形，圆心角为180°。 3.在同圆中，扇形的大小与圆心角的关系 4.认识特殊的扇形 知识点三：圆的周长 1. 圆周率 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，叫做圆周率 ，用字母 （读作pài）表示。 是一个无限不循环小数，计算时通常取近似值 3.14 ； 世界上第一个把圆周率精确到7位小数的数学家是我国的祖冲之。 2. 周长计算公式 已知直径求周长： 已知半径求周长： 半圆的周长 = 圆周长的一半 + 直径，即 （注意不要漏加直径） 知识点四：圆的面积 1. 公式推导（化圆为方 + 极限思想） 把圆分成若干（偶数）等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形 ： 分的份数越多，拼成的图形越接近长方形； 拼成的长方形的长 = 圆周长的一半 = ； 拼成的长方形的宽 = 圆的半径 = ； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 2. 圆的面积公式 基本公式： 已知直径求面积：先求半径 ，再代入公式得 已知周长求面积：先求半径 ，再代入面积公式 ⚠️ 注意：周长和面积单位不同，无法比较大小。 3. 圆环的面积 圆环是两个半径不相等的同心圆之间的部分： 外圆半径用R表示，内圆半径用r表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积，即： 典型应用：圆形水池周围修小路的面积、环形铁片面积等，都用圆环面积公式计算。 题型一：圆的认识 【例1】．下图中，点O是圆的圆心，OC是圆的( )，一般用字母( )来表示。AB是圆的( )，一般用字母( )来表示。 【练1】8．按要求画出半径或直径，用字母表示并填空。 r＝（    ）厘米  d＝（    ）厘米    r＝（    ）厘米  d＝（    ）厘米 题型二：与圆有关的轴对称图形 【例2】下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【练2】．下面所给的组合图形中，对称轴条数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 题型三：扇形 【例3】在括号里写出下面各扇形（阴影部分）圆心角的度数。 ( )               ( )            ( ) 【练3】．如图，圆上A，B两点之间的部分叫作( )，读作( )；像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫作( )。 题型四：圆的周长 【例4】．动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【练4】．学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 题型五：圆的面积 【例5】一个圆形茶杯盖的周长是25.12厘米，它的面积是多少平方厘米？ 【练5】公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 题型六：圆环的面积 【例6】．公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【练6】瓷扇是瓷与扇文化融合的艺术品，以陶瓷为主体材质，兼具观赏、收藏与吉祥寓意。如图是一件半圆形瓷扇摆件，它的扇面由陶瓷制成，扇柄由檀木制成。这件瓷扇摆件扇面的面积是多少平方厘米？ 题型七：含圆的组合图形的面积 【例7】计算图中涂色部分的面积。 【练7】．求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 一、填空题 1．一个圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴，一个半圆形也可以看作圆心角是( )°的扇形。 2．把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 3．在一张宽6厘米、长9厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，周长是( )，面积是( )。 4．钟面上，分针长8厘米，如果走0.5小时，分针的尖端走过的路程是( )厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米，或( )平方分米。 5．如果一个自行车车轮的直径是0.6米，那么它转动10周所走的路程是( )米。 6．圆的周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的( )倍。 7．如图，A、B两个圆的半径比是__________，面积比是__________。 8．一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了( )cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是( )。 9．如下图所示，将一个圆形纸片平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形（分的份数越多，就越接近长方形）。如果拼成的长方形的周长比圆的周长增加了10厘米，那么拼成的长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 10．过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是40cm， “福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2。如果在一张正方形纸中剪这样 的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 11．如图，一个大正方形内接一个圆，圆内又接一个正方形。圆的面积是628平 方厘米，那么小正方形的面积是( )平方厘米，大正方形的面积是( )平方厘米。 二、选择题 12．下面的图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． 13．笑笑画的圆和妙想做的圆相比，哪个圆大？（    ） A．笑笑画的圆大 B．妙想做的圆大 C．一样大 14．圆的半径由4cm减少到3cm，圆的面积减少了（    ）cm2。 A．21.98 B．3.14 C．31.4 D．6.28 15．如图，正方形内是我国古代的太极图，正方形的边长是2cm，正方形与黑色部分的面积比是（    ）。 A． B． C． D． 16．如图，小蚂蚁从A点到B点，走哪条路近些？（    ） A．甲路线近 B．乙路线近 C．甲乙一样近 D．无法确定 17．下面哪些图形的涂色部分面积相等？（    ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 18．杂技演员在一根悬空的钢丝上骑独轮车，车轮的外直径是0.5米。从钢丝的一端到另一端，车轮正好滚动40圈。这根悬空的钢丝至少长（    ）米。 A．6.28 B．62.8 C．125.6 D．6280 三、计算题 19．计算下面各图中涂色部分的面积。（单位：分米） 四、解答题 20．小芳有一辆自行车车轮的外直径是0.6米。 (1)车轮转动一圈，这辆自行车前进多少米？ (2)小芳骑自行车到学校用10分钟，车轮每分钟转100圈。小芳家距学校有多少米？ 21．六·一儿童节当日，为了更好展示儿童玩具，金鹰商场用盆花围成一个周长大约62.8米的圆形活动场地，你知道这个圆形场地的面积大约是多少平方米？ 22．学校开展庆“六一”游园活动需制作一些宣传标志，用一块长3米、宽0.8米的长方形纸板，做一种直径为4分米的圆形标志。 (1)最多能从长方形纸板中裁剪出多少个圆形标志？ (2)剩下的纸板还有多少平方分米？ 23．安全重于泰山。街道上有一块圆形的限速标志指示牌（如图），直径是120厘米。沿着指示牌的边缘向里面刷了一圈红色油漆（油漆圈的宽是20厘米），红色油漆的面积是多少平方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $