暑假阶段复习2：一元二次方程 提优讲义2026年沪教版（五四制）数学八年级上册

暑假阶段复习2：一元二次方程 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的概念与一般形式 · 掌握四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解） · 熟练运用根的判别式判断根的情况 · 掌握根与系数的关系（韦达定理） · 能建立方程模型解决实际问题 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 注意：二次项系数 a ≠ 0 是必要条件。 ☆ 2.一元二次方程的四种解法 · 直接开平方法：适合 (x + m)² = n（n ≥ 0） · 配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式 · 公式法：x =，Δ = b² − 4ac · 因式分解法：分解为两个一次因式乘积 典型例题 1 用配方法解 x² − 2x − 2025 = 0，化为 (x + a)² = b，求 。 解析：配方得 (x − 1)² = 2026，a = −1，b = 2026， = 1。 ☆ 3.根的判别式（Δ = b² − 4ac） · Δ > 0 ⇔ 两个不等实根 · Δ = 0 ⇔ 两个相等实根 · Δ < 0 ⇔ 无实根 ☆ 4根与系数的关系（韦达定理） 若 x₁、x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根，则： x₁ + x₂ = - ，x₁·x₂ = 。 典型例题 2 方程 x² − 3x + k = 0 一根是另一根的2倍，求 k。 解析：设两根为 t, 2t，则 t + 2t = 3 → t = 1，k = 1×2 = 2。 ☆ 5.一元二次方程的应用 常见类型：增长率、利润、面积、方案决策。关键：找出等量关系列方程，检验解的合理性。 典型例题 3 衬衫降价问题：每件盈利40元，每天售20件，降价1元多售2件，每天盈利1200元，求降价多少？ 解析：设降价 x 元，(40 − x)(20 + 2x) = 1200，解得 x = 10 或 20，因需扩大销量取 x = 20。答：降价20元。 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） 整式、一个未知数、最高次2 直接开平方法 (x + m)² = n（n ≥ 0） 注意正负根 配方法 配方后开方 二次项系数化为1 公式法 x = Δ ≥ 0 因式分解法 a(x − m)(x − n) = 0 化为一次因式乘积 判别式 Δ = b² − 4ac Δ>0两不等；Δ=0两等；Δ<0无实根 韦达定理 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a 前提：Δ ≥ 0 应用问题 增长率、利润、面积、方案 建立方程，检验合理性 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1—6题） · 判断依据：整式、一个未知数、最高次2，二次项系数不为0。 · 含参数时注意 a ≠ 0。 1．（2025秋•上海校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断，即得． 【解答】解：A、y﹣2x＝0，方程中有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B、x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C、x2﹣5x＝0，是一元二次方程，故选项C符合题意； D、2x3﹣2＝0，方程中未知数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．（2025秋•上海校级期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+2y＝3 C．ax2+bx+c＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程），分析各选项：A不是整式；B含两个未知数；C中a可能为0，不一定是二次；D化简后为一元二次方程． 【解答】解：根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且最高次数为2的整式方程），由题意可得： ∵一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2， ∴A：含分式和，不是整式方程， B：含未知数x和y，不是一元方程， C：ax2+bx+c＝0，若a＝0则不是二次方程，因此不一定是一元二次方程， D：化简方程， 展开得， 移项得，是关于x的一元二次方程． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的定义．熟悉一元二次方程需要满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是解题的关键． 3．（2025秋•浦东新区校级期末）方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析给出的六个方程，即可得出结论． 【解答】解：①∵方程x2+y＝2含有两个未知数， ∴方程x2+y＝2不是一元二次方程； ②原方程转化为一般形式得x2﹣5x＝0， ∵方程x2﹣5x＝0是一元二次方程， ∴方程x（x﹣5）＝0是一元二次方程； ③∵方程x22不是整式方程， ∴方程x22不是一元二次方程； ④∵当a＝0时方程ax2﹣3＝0不是一元二次方程， ∴方程ax2﹣3＝0（a为实数）不一定是一元二次方程； ⑤方程x2＝﹣1是一元二次方程； ⑥原方程转化为一般形式得5x﹣5＝0， ∵方程5x﹣5＝0， ∴方程x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1）不是一元二次方程． 综上所述，是一元二次方程的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及单项式乘多项式，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 4．（2025秋•浦东新区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　4或﹣4　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程， ∴|k|﹣2＝2且k﹣2≠0， 解得k＝4或k＝﹣4． 故答案为：4或﹣4． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 5．（2025秋•徐汇区校级期中）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　﹣1　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出a的值． 【解答】解：∵方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程， ∴|a|+1＝2，且a﹣1≠0， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，准确理解一元二次方程的定义是解题的关键． 6．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是x2﹣x﹣2＝0　 ． 【分析】首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【解答】解：， ， 方程的两边同时乘（x+3）（x﹣1），得：2x+x﹣1＝（x+3）（x﹣1）， 2x+x﹣1＝x2+2x﹣3， 移项、合并得：x2﹣x﹣2＝0， 故答案为：x2﹣x﹣2＝0． 【点评】本题主要考查解分式方程，分式方程转化整式方程的方法是解答本题的关键． 【考点2】一元二次方程的解法（第7—17题） · 根据方程特征选方法：缺项选开平，二次项系数1配方法，复杂选公式，能因式分解优先。 · 分式方程转化后须验根。 7．（2025秋•闵行区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，接着把方程左边写成完全平方的形式，则可得到a＝﹣1，b＝2026，然后根据乘方的意义计算即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣2025＝0， x2﹣2x＝2025， x2﹣2x+1＝2026， （x﹣1）2＝2026， 所以a＝﹣1，b＝2026， 所以ab＝（﹣1）2026＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 8．（2025秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 【分析】先把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0，再解关于m的一元二次方程，然后根据一元二次方程的定义确定m的值． 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0得m2﹣4＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣2， ∵m﹣2≠0， ∴m的值为﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 9．（2025秋•嘉定区校级月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3、1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．﹣3、1 B．﹣1、3 C．﹣5、﹣1 D．无法确定 【分析】设在方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中，t＝x﹣2，根据题意可得关于t的一元二次方程a（t+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3、1，则t＝x﹣2＝﹣3或t＝x﹣2＝1，据此求解即可． 【解答】解：设t＝x﹣2，方程可整理为a（x﹣2）+m）2+n＝0，即变形为关于t的方程a（t+m）2+n＝0（a≠0）， ∵关于x的一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3、1， ∴关于t的一元二次方程a（t+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3、1， ∴t＝x﹣2＝﹣3或t＝x﹣2＝1， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1、3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2025秋•浦东新区期末）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一个根为0，那么m的值为 　﹣3　 ． 【分析】将根 x＝0 代入方程，得到关于 m 的方程，解出 m，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【解答】解：由条件可得 m2﹣9＝0， 即 m2＝9， 解得 m＝3 或 m＝﹣3， ∵一元二次方程二次项系数 m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键． 11．（2018秋•浦东新区期末）方程x2+2x＝0的根是x1＝0，x2＝﹣2　 ． 【分析】先提公因式，再化为两个一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， x1＝0，x2＝﹣2， 故答案为x1＝0，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　（x+3）2＝5　 ． 【分析】先把常数项移项，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方即可解答． 【解答】解：由题意得，x2+6x＝﹣4， x2+6x+9＝﹣4+9， （x+3）2＝5， 故一元二次方程x2+6x+4＝0配方得（x+3）2＝5， 故答案为：（x+3）2＝5． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 13．（2025秋•崇明区期中）解方程：（x﹣1）2＝3x﹣3． 【分析】移项后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解答】解：移项得， （x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1﹣3）（x﹣1）＝0， x﹣1﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝4，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选用合适的方法是解答本题的关键． 14．（2024秋•上海校级期末）解方程：3x﹣5＝0． 【分析】根据配方法即可求出答案． 【解答】解：∵3x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝10， ∴x2﹣6x+9＝19， ∴（x﹣3）2＝19， ∴x＝3± 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 15．（2025秋•闵行区期末）解方程：2x（x2﹣1）． 【分析】方程利用公式法求解即可． 【解答】解：原方程整理得： 0， ∵a，b＝﹣2，c， ∴b2﹣4ac20＞0， ∴x， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键． 16．（2025秋•浦东新区期末）解方程： （1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0； （2）． 【分析】（1）利用完全平方公式展开、合并同类项将方程化为标准形式，再用因式分解法求解； （2）先去分母转化为整式方程，同时要检验分母不为零，排除增根． 【解答】解：（1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0， 4x2﹣20x+25+25﹣10x+6＝0， 4x2﹣30x+56＝0， 2x2﹣15x+28＝0， （2x﹣7）（x﹣4）＝0， 2x﹣7＝0或x﹣4＝0， 解得，x2＝4； （2）， 4x﹣（x2﹣9）＝2（x﹣3）﹣2（x+3）， x2﹣4x﹣21＝0， （x﹣7）（x+3）＝0， 解得x＝7或x＝﹣3． 检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝﹣3是增根，舍去； 故方程的解为x＝7． 【点评】本题考查的是解一元二次方程，解分式方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 17．（2026春•兴隆台区校级期末）解下列关于x的方程 （1）4（x﹣1）2＝（x+2）2 （2）（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0 （3）x2+8x﹣2＝0 （4）2x2﹣3x﹣4＝0． 【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）先求出b2﹣4ac的值再代入公式求出即可； （4）先求出b2﹣4ac的值再代入公式求出即可． 【解答】解：（1）4（x﹣1）2＝（x+2）2， 移项得：4（x﹣1）2﹣（x+2）2＝0， [2（x﹣1）+（x+2）][2（x﹣1）﹣（x+2）]＝0， 2（x﹣1）+（x+2）＝0，2（x﹣1）﹣（x+2）＝0， x1＝4，x2＝0； （2）（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣5+4）＝0， x﹣5＝0，x﹣5+4＝0， x1＝5，x2＝1； （3）x2+8x﹣2＝0， b2﹣4ac＝82﹣4×1×（﹣2）＝72， x， x1＝﹣4+3，x2＝﹣4﹣3； （4）2x2﹣3x﹣4＝0， b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41， x， x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 【考点3】根的判别式（第18—26题） · 根据Δ判断根的情况。 · 含参问题：列Δ表达式，解不等式（Δ≥0，Δ>0，Δ=0）。 18．（2026•上海）下列方程无实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 【分析】计算方程的根的判别式的值，即可判断各方程根的情况即可． 【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； B、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C、Δ＝22﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； D、Δ＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，方程无实数根，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 19．（2026春•闵行区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么下列四个判断中正确的是（　　） A．该方程一定有两个相等的实数根 B．该方程一定有两个不相等的实数根 C．该方程一定有一个实数根为x＝1 D．该方程一定有一个实数根为x＝﹣1 【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0， ∴x＝1一定是该方程的一个实数根， ∴C正确符合题意，D错误不符合题意； ∵a+b+c＝0， ∴b＝﹣（a+c）， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴方程可能有两个相等实数根，也可能有两个不相等实数根，因此A、B错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟知以上知识是解题的关键． 20．（2025秋•宝山区校级期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0， 解得k≥﹣1且k≠0． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 21．（2026•松江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是a≤9且a≠0　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根， ∴a≠0且Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4a≥0， 解得：a≤9， ∴a≤9且a≠0． 故答案为：a≤9且a≠0． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式的关系是解题的关键． 22．（2026•静安区校级模拟）若关于x的一元二次方程5x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程5x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（k﹣1）＞0， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 23．（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+4＝0（m是不等于1的整数）． （1）解这个关于x的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求m的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2﹣（m+1）a+m＝1，b2﹣（m+1）b+m＝1，，且a≠b，试求这个三角形的面积． 【分析】（1）运用求根公式解一元二次方程即可； （2）根据方程有两个不相等的正整数根，结合第（1）小题的根，求符合条件的m； （3）代入m＝3，得到a和b是二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出a2+b2和ab，发现三角形是直角三角形，从而求出面积． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）×4 ＝4m2﹣16（m﹣1） ＝4m2﹣16m+16 ＝4（m2﹣4m+4） ＝4（m﹣2）2≥0， ∴， ∵m是不等于1的整数， ∴， ∴，， （2）由（1）知方程的解为2和， ∴的值为不是2的正整数， ∵m是不等于1的整数， ∴m﹣1＝2， ∴m＝3； （3）当m＝3时，a2﹣（m+1）a+m＝a2﹣（3+1）a+3＝1， 整理得a2﹣4a+2＝0， 同理b2﹣（m+1）b+m＝b2﹣4b+2＝0且a≠b， ∴a和b是方程x2﹣4x+2＝0的两个根， ∴a+b＝4，ab＝2， 又， ∴， ∴a2+b2＝c2， ∴这个三角形是直角三角形， ∴． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法．熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 24．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2． （1）判断：方程根的情况． （2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系． 【分析】（1）计算判别式的值得到Δ＝m2+4n2，利用得到Δ＞0，然后根据判别式的意义可判断根的情况； （2）利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再对两个代数式作差比较大小即可． 【解答】解：（1）x2+mx＝n2， ∴x2+mx﹣n2＝0， Δ＝m2﹣4×1×（﹣n2）＝m2+4n2， ∴Δ＞0， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数解； （2）∵α是方程x2+mx＝n2的一个实数根， ∴将x＝α代入方程得：α2+mα﹣n2＝0， 计算（2α+m）2﹣（m2+4n2）＝4α2+4mα+m2﹣m2﹣4n2＝4α2+4mα﹣4n2＝4（α2+mα﹣n2）＝4×0＝0， ∴（2α+m）2＝（m2+4n2）， ∴两式相等． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 25．（2025秋•浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x＝1是一元二次方程x2+x﹣m＝0的解，求方程的另一个解． 【分析】（1）由方程根的情况可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围； （2）把x＝1代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根． 【解答】解：（1）∵方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即12+4m＞0， 解得m； （2）把x＝1代入方程可得1+1﹣m＝0， 解得m＝2， ∴方程为x2+x﹣2＝0， 解得x＝1或x＝﹣2， 即方程的另一根为﹣2． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解答（1）题的关键；熟知一元二次方程根与系数的关系是解答（2）题的关键． 26．（2025秋•浦东新区校级月考）阅读：已知7a+c，求证：b2≥4ac． 证明：∵，∴， ∴是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac． 利用以上方法，求证：（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）（m，n为非零实数）． 【附加题】实数a、b、c互不相等且满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　﹣3　 ． 【分析】利用题干的方法构造一元二次方程，利用根的判别式证得结论成立． 【附加题】设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，得到关于x1与x2的解析式，进而求出a的值，再求出b、c的值即可解答． 【解答】证明：∵（mn﹣2n）+2（n﹣m）+（2m﹣mn） ＝mn﹣2n+2n﹣2m+2m﹣mn ＝0， ∴（mn﹣2n）×12+2（n﹣m）×1+（2m﹣mn）＝0， ∴x＝1是方程（mn﹣2n）x2+2（n﹣m）x+（2m﹣mn）＝0的根， ∴Δ＝[2（n﹣m）]2﹣4（mn﹣2n）（2m﹣mn）≥0， ∴（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）． 【附加题】 解：设x1是方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（a﹣b）x1＝c﹣1， 解得x1， 设x2是方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0的一个相同的实根，则， 两式相减得（c﹣1）x2＝a﹣b， 解得x2， 所以x1x2＝1， 又∵方程x2+ax+1＝0的两根之积等于1，于是x2也是方程x2+ax+1＝0的根， 则ax2+1＝0． 又∵x2+a＝0，两式相减，得（a﹣1）x2＝a﹣1． 若a＝1，则方程x2+ax+1＝0无实根， 所以a≠1，故x2＝1． 于是a＝﹣2，b+c＝﹣1．又a﹣b+c＝3， 解得b＝﹣3，c＝2， 所以a+b+c＝﹣2﹣3+2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的解，根与系数的关系和根的判别式的应用，能够构造一元二次方程是解题关键． 【考点4】根与系数关系（第27—41题） · 直接应用韦达定理求两根和与积。 · 构造对称式：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂。 · 已知两根关系求参数时列方程。 27．（2025秋•普陀区校级月考）已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】设方程的两个根为r和2r，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k． 【解答】解：设方程x2﹣3x+k＝0的两个根为r和2r， ∴， ∴r＝1， ∴另一个根为2×1＝2， ∵， ∴k＝2． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 28．（2025秋•静安区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别是3，﹣6，那么p、q的值为（　　） A．p＝3，q＝﹣18 B．p＝3，q＝18 C．p＝﹣3，q＝﹣18 D．p＝﹣3，q＝18 【分析】对于方程x2+px+q＝0，两根之和为﹣p，两根之积为q．已知两根为3和﹣6，直接计算即可求解． 【解答】解：由条件可知两根之和：3+（﹣6）＝﹣p，即﹣3＝﹣p， ∴p＝3； 两根之积：3×（﹣6）＝q， 即q＝﹣18． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，．熟练掌握该知识点是关键． 29．（2025秋•宝山区校级期末）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．7 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1，x2， 所以x1+x2＝4，x1x2＝﹣3， 所以x1x2（x1+x2）＝﹣3×4＝﹣12． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 30．（2025秋•崇明区期末）已知方程x2﹣3x+2＝0有两个实数根x1，x2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】所给一元二次方程较简单，可解出方程的根，再代入求解即可；也可通分所求式子，再用韦达定理求解即可． 【解答】解：方程 x2﹣3x+2＝0 因式分解，得 （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2， ∴； 故选：C． 【点评】本题考查解一元二次方程和韦达定理，掌握解一元二次方程的方法和韦达定理是解题关键． 31．（2025秋•杨浦区校级月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的有（　　）个． ①右b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根； ②若b＝0，则该方程的两个根互为相反数； ③若c＝0，则该方程一定有两个实数根； ④若a+c＝b，则﹣1一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据判别式可判断①②；当c＝0时，方程变为ax2+bx＝0，解方程即可判断③；把x＝﹣1代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【解答】解：根据一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义逐项分析判断如下： ①若b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根，原说法正确，符合题意； ②当b＝0时，则Δ＝b2﹣4ac＝﹣4ac，若ac＞0，则方程无实数根，原说法错误，不符合题意； ③当c＝0时，方程变为ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，解得x＝0或，原说法正确，符合题意； ④当a+c＝b时，把x＝﹣1代入原方程，方程左边＝a﹣b+c＝0，此时方程左右两边相等，故x＝﹣1是原方程的解，原说法正确，符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 32．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，且，那么这个方程可以是（　　） A．9x2+21x﹣4＝0 B．3 C． D．﹣9x2+21x﹣4＝0 【分析】根据已知条件和，可得和，逐一验证各选项的系数是否满足这些比例即可． 【解答】解：∵，， ∴，， A、9x2+21x﹣4＝0中a＝9，b＝21，c＝﹣4，则，故不满足条件，不符合题意； B、中a＝3，b＝﹣7，，则，且，故满足条件，符合题意； C、中a＝1，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、﹣9x2+21x﹣4＝0中a＝﹣9，b＝21，c＝﹣4，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 33．（2025秋•宝山区月考）关于x的方程x2﹣2mx+3＝0的一个解是x1＝1，则方程的另一个解x2＝ 　3　 ． 【分析】先利用根与系数的关系得x1x2＝3，然后把x1＝1代入可得x2的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝3， 而x1＝1， 所以x2＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 34．（2026•长宁区二模）如果关于x的方程x2﹣4cx+2c﹣2＝0有一根是x＝0，那么该方程的另一根是x＝4　 ． 【分析】设方程的另一根为x＝t，根据根与系数的关系得到2c﹣2＝0，0+t＝4c，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一根为x＝t， 根据题意得：2c﹣2＝0，0+t＝4c， 解得c＝1，t＝4， 即方程的另一根为x＝4． 故答案为：x＝4． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，熟练运用则x1+x2，x1•x2是解题的关键． 35．（2025秋•金山区校级期末）已知一元二次方程x2﹣2026x﹣1＝0的两个根分别是x1和x2，则代数式的值是 　﹣2026　 ． 【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝2026，x1x2＝﹣1，再利用因式分解把变形为x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2026x﹣1＝0的两个根分别是x1和x2， ∴x1+x2＝2026，x1x2＝﹣1， ∴x1x2（x1+x2）＝﹣1×2026＝﹣2026． 故答案为：﹣2026． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 36．（2025秋•上海校级期末）已知方程的两个解是x1、x2，那么　　 ． 【分析】根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可． 【解答】解：由题意可知，x1+x2＝4，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 37．（2025秋•虹口区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 【分析】（1）利用根的判别式Δ≥0，可得出﹣4m+5≥0，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1，结合x1+x2+x1x2＝0，可得出m2﹣2m＝0，解之可得出m的值，再结合m，即可确定结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4m2﹣4m+1﹣4m2+4 ＝﹣4m+5≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m； （2）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2﹣1， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴﹣（2m﹣1）+m2﹣1＝0， ∴m2﹣2m＝0， 解得：m1＝0，m2＝2， 又∵m， ∴m＝0， ∴实数m的值为0． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”． 38．（2026春•虹口区校级月考）已知方程组有两组实数解、，且x1≠x2，x1•x2≠0，设． （1）求m的取值范围； （2）用含m的代数式表示n； （3）是否存在这样的m的值，使n的值为﹣3？如果存在，求出这样的m的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把②代入①消去y，得到关于x的一元二次方程，方程有两个实数解，且x1≠x2，x1•x2≠0，则Δ＞0，解不等式即可； （2）根据（1）中的方程，由根与系数关系变形即可； （3）将n＝﹣3代入（2）中的等式，求出符合题意的m的值即可． 【解答】（1）， 把②代入①得，9x2+6（m﹣1）x+m2＝0， ∵方程有两个实数解，且x1≠x2，x1•x2≠0， ∴Δ＝（6m﹣6）2﹣4×9×m2＞0， 解得， ∵x1•x2， ∴m≠0， ∴m的取值范围为且m≠0； （2）由9x2+6（m﹣1）x+m2＝0， 得，，， ∴； （3）存在． 令n＝﹣3，则， 整理得m2+6m﹣6＝0， 解得， ∴且m≠0， ∴． 【点评】本题考查公式法解一元二次方程，根与系数的关系，二元二次方程组，掌握以上知识点是解题的关键． 39．（2025秋•青浦区校级期末）关于x的方程2x2﹣10x+5＝0有两个实数根x1，x2．请求下列各式的值： （1）填空：x1+x2＝　5　 ；x1•x2＝　　 ； （2）． 【分析】（1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【解答】解：（1）由条件可得：， 故答案为：5；； （2）∵， ∴原式． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． 40．（2025秋•宝山区校级期末）已知x1、x2是方程（a﹣1）x2﹣3（2﹣a）x+1＝0的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【分析】（1）由根与系数的关系可得，又可得，然后将代入得到关于a的方程求解即可； （2）由（1）得：，a＝0，则x1x2＝﹣1，再根据完全平方公式可得，然后再根据平方根求解即可． 【解答】解：（1）∵方程（a﹣1）x2﹣3（2﹣a）x+1＝0的两个实数根是x1，x2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a＝0． （2）由（1）得：，a＝0，则x1x2＝﹣1， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值、完全平方公式、平方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 41．（2025秋•杨浦区期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【解答】（1）证明：由题意，∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2． ∵对于任意实数m都有（m﹣5）2≥0， ∴Δ≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）解：由题意，∵两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根， ∴AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）（m＞2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2＝AB2+AC2， ∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， ∴m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）； ∴m＝6． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【考点5】一元二次方程的应用（第42—54题） · 增长率：a(1+x)² = b。 · 利润：总利润 = (售价−成本)×销量。 · 面积：根据图形列方程。 · 方案比较：计算并比较利润、销量等。 42．（2025秋•普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【解答】解：由条件可知方程ax2+3x+4＝0无实数根， ∴根的判别式Δ＝32﹣4•a•4＝9﹣16a＜0， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握该知识点是关键． 43．（2025秋•普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式． 【解答】解：∵对于x2﹣2x﹣1＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8， ∴根为， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的求根公式；熟练掌握该知识点是关键． 44．（2025秋•静安区校级月考）在实数范围内因式分解：3x2﹣2x﹣2＝　3　 ． 【分析】令3x2﹣2x﹣2＝0，求出方程的两个根即可得到答案． 【解答】解：在实数范围内因式分解：令3x2﹣2x﹣2＝0， 解得或 ∴3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 45．（2025秋•上海校级期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣4x+1＝　2（x）（x）　 ． 【分析】先求出方程2x2﹣4x+1＝0的两个根x1或x2，再进行因式分解即可． 【解答】解：2x2﹣4x+1＝0的两个根分别是x1或x2， ∴2x2﹣4x+1＝2（x）（x）， 故答案为：2（x）（x）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用求根公式在实数范围内因式分解的方法是解题的关键． 46．（2025秋•宝山区校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【解答】解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得x2﹣30x+200＝0， 解得x1＝10，x2＝20． ∵扩大销售量，减少库存， ∴x1＝10应舍去， ∴x＝20． 答：每件衬衫应降价20元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 47．（2025秋•浦东新区校级期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得：500（1+x）2＝720， 整理得，25x2+50x﹣11＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，依题意得： ， 整理，得（y﹣60）（y﹣130）＝0， 解得y1＝60，y2＝130， 因为尽可能让顾客得到实惠，所以y＝130不合题意，舍去． 所以y＝60． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． 48．（2025秋•闵行区期末）如图，现需靠一段长为80米的墙围一个所占地面为长方形的仓库AGEF（只围三面），仓库的一角是一个正方形工作间BGDC，其他区域为存储仓．已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为110米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为1775平方米，且防潮隔板正好用完（不计损耗），求垂直于墙面的隔板AB的长． 【分析】设垂直于墙面的隔板AB的长为x米，则隔板EF的长为（x+5）米，GE的长为（110﹣2x）米，根据存储仓的面积为1775平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设垂直于墙面的隔板AB的长为x米，则隔板EF的长为（x+5）米，GE的长为110﹣x﹣（x+5）+5＝（110﹣2x）米， 根据题意得：（x+5）（110﹣2x）﹣5×5＝1775， 整理得：x2﹣50x+625＝0， 解得：x1＝x2＝25． 答：垂直于墙面的隔板AB的长为25米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 49．（2025秋•金山区期末）电影《疯狂动物城2》热映后，朱迪和尼克的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家12月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《疯狂动物城2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）设12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x，利用该网购平台商家12月6日销售玩偶的数量＝该网购平台商家12月4日销售玩偶的数量×（1+12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每个玩偶降价y元，则每个玩偶的销售利润为（50﹣y﹣30）个，日销售量为（320+5y）个，利用日总利润＝每个玩偶的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元，则每个玩偶的销售利润为（50﹣y﹣30）个，日销售量为（320+5y）个， 根据题意得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 整理得：y2+44y﹣92＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣46（不符合题意，舍去）． 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 50．（2025秋•浦东新区校级月考）工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 【分析】设这个长方形的长为x米，则宽为，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案． 【解答】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：，即x2﹣50x+600＝0， 解得x＝20或x＝30， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴x＝20， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解． 51．（2025秋•杨浦区期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息；复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息．小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【分析】设年利率为x，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设年利率为x， 根据题意得：10000（1+x）2﹣10000（1+2x）＝100， 整理得：100x2＝1， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣0.1（不符合题意，舍去）． 答：年利率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 52．（2025秋•金山区校级月考）学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元．此时每月售出100本． （1）这款笔记本每次（每月）的价格增长率为　20%　 ． （2）文创社为了在第四个月扩大影响，清空库存，决定进行促销，学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． （3）文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）向的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 【分析】（1）设每次价格增长率为r，根据价格增长模型，从25元增长到36元经过两次相同增长率，列一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据利润公式列一元二次方程求解； （3）计算方案A的利润和销量；方案B中设售价降低x元，计算最大利润，并比较利润、清仓速度和社会效益． 【解答】解：（1）设每次价格增长率为r， 由题意得：25（1+r）2＝36， 解得（舍去）， 答：增长率为20%； 故答案为：20%； （2）设降价x元，则售价为（36﹣x）元，销量为（100+10x）本， 每本的利润为（36﹣x）﹣20＝（16﹣x）元， 由题意列一元二次方程得：（16﹣x）（100+10x）＝1530， 解得x＝7或x＝﹣1（不符合题意，舍去）， 答：应降价7元，才能使第四个月的利润达到1530元； （3）方案A售价36﹣7＝29（元），销量170本，利润（29﹣20）×170＝1530（元）， 方案B设售价降低x元（x≤16），售价（36﹣x）元，销量（120+10x）本，每本利润36﹣x﹣20﹣2＝（14﹣x）元，总利润（14﹣x）（120+10x）， 设利润为w元，则w＝﹣10x2+20x+1680， 配方得：w＝﹣10（x﹣1）2+1690， 当x＝1时利润最大为1690元，此时售价35元，销量130本， 方案B最大利润1690元＞1530元，且捐赠2×130＝260（元）有社会效益， 方案A清仓速度较快（销量170本＞130本），但方案B利润更高且有益社会，综合选择方案B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，统计表，理解题意，列出方程或函数关系式是解题的关键． 53．（2025秋•虹口区校级期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【分析】任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【解答】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为r， 根据题意得：200（1+r）2＝288， 解得r＝0.2＝20%，r＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为20%； 任务二： 一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 设增加x条生产线，则每条生产线产能为（300﹣20x）万个/季度， 根据题意得：（1+x）（300﹣20x）＝1200， 整理得x2﹣14x+45＝0，即（x﹣5）（x﹣9）＝0， 解得x＝5或x＝9， ∵在增加产能同时要节省投入成本， ∴x＝5． 答：应增加5条生产线． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 54．（2025秋•嘉定区期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　﹣7　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　2　 ，b＝　3　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　﹣1　 ． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程（x+x+2）2＝144，即可得到方程的另一个根． （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4，画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为x+2，由题意得x（x+2）＝3，整理得x2+2x﹣3＝0，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 【解答】解：（1）由（x+x+2）2＝144得， （2x+2）2＝144， 2x+2＝±12， ∴x1＝5，x2＝﹣7， ∴原方程的另一个根是﹣7． 故答案为：﹣7； （2）将方程x2﹣3x﹣4＝0变形为x（x﹣3）＝4， 画四个长为x，宽为x﹣3的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形， 则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x﹣3）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x﹣3）+32＝4×4+9＝25，因此，可得新的一元二次方程（x+x﹣3）2＝25， ∵x表示边长， ∴2x﹣3＝5， 即x＝4． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为x+2， 由题意得x（x+2）＝3， 整理得x2+2x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×3+4＝16，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝16， ∵x表示边长， ∴2x+2＝4， 即x＝1． ∴方程x2+ax+b＝0的一个正根为x＝1． 故答案为：2，﹣3，1． 【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 1．（2026•虹口区三模）判断关于x的方程x2+mx﹣1＝0根的情况（　　） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【分析】求出判别式的符号，进行判断即可． 【解答】解：∵x2+mx﹣1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×（﹣1）＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4≥4＞0， ∴Δ＞0， ∴关于x的方程x2+mx﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2025秋•上海校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断，即得． 【解答】解：A、y﹣2x＝0，方程中有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B、x+1＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C、x2﹣5x＝0，是一元二次方程，故选项C符合题意； D、2x3﹣2＝0，方程中未知数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．（2026•普陀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式Δ＞0，计算得到m的取值范围后，即可结合选项选出正确答案． 【解答】解：由条件可得：Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0， 解得m＞﹣1， 只有0＞﹣1，符合要求， 因此m可以取的值是0． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2026•青浦区二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（　　） A．2x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 【分析】先去分母，然后把方程化为一般式即可． 【解答】解：把方程两边乘以x（x+1）得x+1＝2x2， 方程化为一般式为2x2﹣x﹣1＝0． 故选：A． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程． 5．（2025秋•静安区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别是3，﹣6，那么p、q的值为（　　） A．p＝3，q＝﹣18 B．p＝3，q＝18 C．p＝﹣3，q＝﹣18 D．p＝﹣3，q＝18 【分析】对于方程x2+px+q＝0，两根之和为﹣p，两根之积为q．已知两根为3和﹣6，直接计算即可求解． 【解答】解：由条件可知两根之和：3+（﹣6）＝﹣p，即﹣3＝﹣p， ∴p＝3； 两根之积：3×（﹣6）＝q， 即q＝﹣18． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1、x2，则，．熟练掌握该知识点是关键． 6．（2026•静安区）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　　 ． 【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4×（﹣k）＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4×（﹣k）＝0， 解得k． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 7．（2026春•静安区校级期末）若一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过　第四象限　 ． 【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＜0，解不等式得到a的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 【解答】解：由条件可知：Δ＝（﹣5）2﹣4×1×a＜0，即25﹣4a＜0， 解得， 对于一次函数y＝（a﹣5）x+a， ∵， ∴，且a＞0， 根据一次函数性质， 当一次项系数大于0，常数项大于0时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． 故答案为：第四象限． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025秋•宝山区月考）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为 　　 ． 【分析】根据已知判断出m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【解答】解：由条件可得m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两实数根是解题的关键． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）解方程：4x2﹣12x﹣7＝0； （2）解方程：． 【分析】（1）利用因式分解法求解； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【解答】解：（1）4x2﹣12x﹣7＝0， （2x﹣7）（2x+1）＝0， 2x﹣7＝0或2x+1＝0， 解得，； （2）， ， x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4， 2x﹣4＝4， 解得x＝4， 经检验x＝4是原分式方程的解． 【点评】本题考查的是本题考查解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值． 【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＞0，解不等式得到m的范围，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，接着利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝28得到m2﹣2（m+1）+1＝28，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值． 【解答】解：根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＞0， 解得m＞2， ∵x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5， 而（x1﹣1）（x2﹣1）＝28， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝28， ∴m2﹣2（m+1）+1＝28， 整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4， 而m＞2， ∴m的值为6． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了根与系数的关系． 课后巩固 · 针对性练习 复习建议 夯实概念：准确判断一元二次方程，注意二次项系数不为零。 熟练解法：四种解法灵活选用，配方法和公式法是重点。 判别式与韦达定理结合：解决含参问题，注意Δ≥0的前提。 应用题建模：多练增长率、利润、几何面积问题，注意检验。 错题整理：针对易错点（如增根、忽略系数为0、取值范围）整理。 1．（2026•松江区二模）下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有实数根的是（　　） A．ax2+x+1＝0 B．x2+ax﹣1＝0 C．x2+ax+1＝0 D．x2+x﹣a＝0 【分析】利用Δ＝b2﹣4ac判断方程是否对任意实数a恒有实数根，若Δ≥0对任意a恒成立，则符合要求． 【解答】解：由题知， 对于方程ax2+x+1＝0， 当a＝0时，方程为x+1＝0，有实数根x＝﹣1； 当a≠0时，Δ＝12﹣4a＝1﹣4a， 因为Δ不一定恒大于等于0， 所以方程不一定有实数根， 故A选项不符合题意； 对于方程x2+ax﹣1＝0， Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4≥4＞0， 所以不论a取何实数值，方程都有实数根， 故B选项符合题意； 对于方程x2+ax+1＝0， Δ＝a2﹣4×1×1＝a2﹣4， 因为Δ不一定恒大于等于0， 所以方程不一定有实数根， 故C选项不符合题意； 对于方程x2+x﹣a＝0， Δ＝12﹣4×1×（﹣a）＝1+4a， 因为Δ不一定恒大于等于0， 所以方程不一定有实数根， 故选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 2．（2019秋•浦东新区校级月考）下列方程是一元二次方程（　　） A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．3x4 D．x2﹣2＝0 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 【解答】解：A、x+2y＝1是二元一次方程，故错误； B、方程去括号得：2x2﹣2x＝2x2+3， 整理得：﹣2x＝3，为一元一次方程，故错误； C、3x4是分式方程，故错误； D、x2﹣2＝0，符合一元二次方程的形式，正确． 故选：D． 【点评】要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 3．（2025秋•上海校级期末）如果x1和x2是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（　　） A．x1+x2＝8 B．x1+x2＝﹣4 C． D． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【解答】解：∵a＝2，b＝﹣8，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则． 4．（2025秋•普陀区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝42﹣4k×（﹣2）≥0， 解得k≥﹣2且k≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 5．（2025秋•普陀区期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2＝﹣2 B．ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数） C． D．（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣1 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、x2＝﹣2是一元二次方程，故此选项符合题意； B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、不是整式方程，故此选项不符合题意； D、（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣1，整理得﹣6x＝﹣9，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0），特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 6．（2024秋•浦东新区校级月考）方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键． 7．（2025秋•长宁区校级期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　2028　 ． 【分析】根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案． 【解答】解：由题意可得a2+a﹣1＝0，即a2＝1﹣a， ∴ ＝2025+3 ＝2028， 故答案为：2028． 【点评】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键． 8．（2026•虹口区二模）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个不相等的实数根，那么c的值可以是　0（答案不唯一，满足c＞﹣1即可）　 ． 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围，即可得到符合要求的c的值． 【解答】解：由题意可得： ∴Δ＝22﹣4×1×（﹣c）＞0， 解得c＞﹣1， 那么c的值可以是：0（答案不唯一，满足c＞﹣1即可）． 【点评】本题考查根的判别式，正确进行计算是解题关键． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　4或﹣4　 ． 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程， ∴|k|﹣2＝2且k﹣2≠0， 解得k＝4或k＝﹣4． 故答案为：4或﹣4． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　7　 ． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算即可． 【解答】解：由条件可知α+β＝2，αβ＝﹣5， ∴α+β﹣αβ＝2﹣（﹣5）＝7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1，x2，满足，． 11．（2025秋•宝山区校级期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2025的值为　2039　 ． 【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案． 【解答】解：由条件可知m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2， ∴m2＝2m+1，n2＝2n+1， ∴2m2+4n2﹣4n+2025 ＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2025 ＝4m+2+8n+4﹣4n+2025 ＝4m+4n+2031 ＝4×2+2031 ＝2039， 故答案为：2039． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用． 12．（2025秋•青浦区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2＝　2（xy）（xy）　 ． 【分析】将原式分组并配方，利用平方差及完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（x2xyy2） ＝2（x2xyy2y2y2） ＝2[（xy）2y2] ＝2（xyy）（xyy） ＝2（xy）（xy）， 故答案为：2（xy）（xy）． 【点评】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 13．（2025秋•浦东新区校级期末）解方程：（x+3）2＝（2x﹣5）2． 【分析】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（x+3）2＝（2x﹣5）2， （x+3）2﹣（2x﹣5）2＝0， （x+3+2x﹣5）（x+3﹣2x+5）＝0， （3x﹣2）（8﹣x）＝0， ∴3x﹣2＝0或8﹣x＝0， ∴x1，x2＝8． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 14．（2025秋•上海校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+2＝0． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求m的值． 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式列方程，然后解方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+2）＞0， ∴4m2+4m+1﹣4m2﹣8＞0， 解得， 故m的取值范围． （2）设x1，x2是方程x2﹣（2m+1）x+m2+2＝0的两个实数根， 则x1+x2＝2m+1，，且Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2+2）≥0， 解得； 由条件可知， ∴（2m+1）2﹣2（m2+2）＝13， ∴4m2+4m+1﹣2m2﹣4＝13， ∴m2+2m﹣8＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣4， ∵， ∴m＝﹣4舍去， 故m＝2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式、解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 15．（2025秋•黄浦区期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【分析】设每件童装降价x元，则每件童装的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可售出（30+3x）件，利用总利润＝每件童装的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每件童装降价x元，则每件童装的销售利润为（40﹣x）元，平均每天可售出（30+3x）件， 根据题意得：（40﹣x）（30+3x）＝1800， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵降价不能超过15元， ∴x＝10． 答：每件童装应降价10元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．（2025秋•松江区期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【分析】设该公司每辆车降低a万元，则下调后每辆汽车的售价为（25﹣a）元，利润为（25﹣a﹣12）元，根据使平均每周的销售利润为144万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设该公司每辆车降低a万元，则下调后每辆汽车的售价为（25﹣a）元，利润为（25﹣a﹣12）元， 由题意得：（25﹣a﹣12）（8+2a）＝144， 整理得：a2﹣9a+20＝0， 解得：a1＝5，a2＝4（不符合题意，舍去）， ∴25﹣a＝25﹣5＝20， 答：该公司每辆车的下调价格为20万元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2025秋•上海校级期末）今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？ 【分析】（1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合“该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为（350﹣m）盒，根据9月17日超市的销售额达到54000元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为150+（200﹣m）＝（350﹣m）盒， 根据题意得：100×0.8×200×（1+50%）+m（350﹣m）＝54000， 化简得：m2﹣350m+30000＝0， 解得：m1＝150，m2＝200（不符合题意，舍去）． 答：B款礼盒的促销价应定为150元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 18．（2025秋•松江区校级月考）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在2023年国庆长假期间，接待游客达600万人次左右，预计在2025年国庆长假期间，接待游客达726万人次左右． （1）求桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价20元，则平均每天可销售200杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售25杯．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润额？ 【分析】（1）设年平均增长率为r，根据题意，列出一元二次方程求解； （2）设降价x元，根据题意，列出一元二次方程求解． 【解答】解：（1）设年平均增长率为r， 则根据题意列一元二次方程得，600（1+r）2＝726， 解得：（不符合题意，舍去），r2＝10%， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为10%； （2）设降价x元， 售价：20﹣x元， 销量：200+25x杯， 单杯利润：售价﹣成本＝（20﹣x）﹣5＝15﹣x元， 总利润：利润＝（15﹣x）（200+25x）元， 则根据题意列一元二次方程得，（15﹣x）（200+25x）＝3250， 解得：x1＝2，x2＝5， 售价20﹣x元： 当x＝2时，售价18元； 当x＝5时，售价15元， 当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润额． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 19．（2025秋•浦东新区校级期末）我们知道一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，若其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程ay2+by+c＝m（a≠0，m≠0）的两根为y1，y2，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：2x2﹣5x+2＝0是　4　 倍“梅石花”方程； （2）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）是n倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是　1　 ． （3）若方程﹣y2+3y﹣2＝m（m≠0）为“状元来”方程，求证：． 【分析】（1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为x1，nx1，则可得x1+nx1＝b，x1•nx1＝c，将代入x1•nx1＝c化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得y1+y2＝3，y1y2＝2+m，则可得m＝﹣（y1﹣1）（y1﹣2），代入化简即可得证． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得： （2x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得， ∵， ∴2x2﹣5x+2＝0是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4； （2）设这个方程的两个根为x1，nx1， ∴x1+nx1＝b，x1•nx1＝c， ∴， ∴，n为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1； （3）证明：∵原方程可化成y2﹣3y+2+m＝0， ∴y1+y2＝3，y1y2＝2+m， ∴y2＝3﹣y1，y1＝3﹣y2， ∴， ∴． 【点评】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假阶段复习2：一元二次方程 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的概念与一般形式 · 掌握四种解法（直接开平、配方、公式、因式分解） · 熟练运用根的判别式判断根的情况 · 掌握根与系数的关系（韦达定理） · 能建立方程模型解决实际问题 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1.一元二次方程的定义与一般形式 定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）。 注意：二次项系数 a ≠ 0 是必要条件。 ☆ 2.一元二次方程的四种解法 · 直接开平方法：适合 (x + m)² = n（n ≥ 0） · 配方法：将方程化为 (x + m)² = n 的形式 · 公式法：x =，Δ = b² − 4ac · 因式分解法：分解为两个一次因式乘积 典型例题 1 用配方法解 x² − 2x − 2025 = 0，化为 (x + a)² = b，求 。 解析：配方得 (x − 1)² = 2026，a = −1，b = 2026， = 1。 ☆ 3.根的判别式（Δ = b² − 4ac） · Δ > 0 ⇔ 两个不等实根 · Δ = 0 ⇔ 两个相等实根 · Δ < 0 ⇔ 无实根 ☆ 4根与系数的关系（韦达定理） 若 x₁、x₂ 是方程 ax² + bx + c = 0（a≠0）的两根，则： x₁ + x₂ = - ，x₁·x₂ = 。 典型例题 2 方程 x² − 3x + k = 0 一根是另一根的2倍，求 k。 解析：设两根为 t, 2t，则 t + 2t = 3 → t = 1，k = 1×2 = 2。 ☆ 5.一元二次方程的应用 常见类型：增长率、利润、面积、方案决策。关键：找出等量关系列方程，检验解的合理性。 典型例题 3 衬衫降价问题：每件盈利40元，每天售20件，降价1元多售2件，每天盈利1200元，求降价多少？ 解析：设降价 x 元，(40 − x)(20 + 2x) = 1200，解得 x = 10 或 20，因需扩大销量取 x = 20。答：降价20元。 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0） 整式、一个未知数、最高次2 直接开平方法 (x + m)² = n（n ≥ 0） 注意正负根 配方法 配方后开方 二次项系数化为1 公式法 x = Δ ≥ 0 因式分解法 a(x − m)(x − n) = 0 化为一次因式乘积 判别式 Δ = b² − 4ac Δ>0两不等；Δ=0两等；Δ<0无实根 韦达定理 x₁+x₂=−b/a，x₁x₂=c/a 前提：Δ ≥ 0 应用问题 增长率、利润、面积、方案 建立方程，检验合理性 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的概念（第1—6题） · 判断依据：整式、一个未知数、最高次2，二次项系数不为0。 · 含参数时注意 a ≠ 0。 1．（2025秋•上海校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 2．（2025秋•上海校级期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+2y＝3 C．ax2+bx+c＝0 D． 3．（2025秋•浦东新区校级期末）方程：①x2+y＝2；②x（x﹣5）＝0；③；④ax2﹣3＝0（a为实数）；⑤x2＝﹣1；⑥x（x﹣1）＝（x﹣5）（x﹣1），其中是一元二次方程的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•浦东新区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　 　 ． 5．（2025秋•徐汇区校级期中）方程（a﹣1）x|a|+1﹣2x﹣7＝0为一元二次方程，则a的值为 　 　 ． 6．（2025秋•上海校级期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是　 　 ． 【考点2】一元二次方程的解法（第7—17题） · 根据方程特征选方法：缺项选开平，二次项系数1配方法，复杂选公式，能因式分解优先。 · 分式方程转化后须验根。 7．（2025秋•闵行区校级期中）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2025＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2026 D．﹣2026 8．（2025秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0有一个根为0，则m的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．0 9．（2025秋•嘉定区校级月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3、1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．﹣3、1 B．﹣1、3 C．﹣5、﹣1 D．无法确定 10．（2025秋•浦东新区期末）关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一个根为0，那么m的值为 　 　 ． 11．（2018秋•浦东新区期末）方程x2+2x＝0的根是　 　 ． 12．（2025秋•松江区期末）一元二次方程x2+6x+4＝0配方得　 　 ． 13．（2025秋•崇明区期中）解方程：（x﹣1）2＝3x﹣3． 14．（2024秋•上海校级期末）解方程：3x﹣5＝0． 15．（2025秋•闵行区期末）解方程：2x（x2﹣1）． 16．（2025秋•浦东新区期末）解方程： （1）（2x﹣5）2+5（5﹣2x）+6＝0； （2）． 17．（2026春•兴隆台区校级期末）解下列关于x的方程 （1）4（x﹣1）2＝（x+2）2 （2）（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0 （3）x2+8x﹣2＝0 （4）2x2﹣3x﹣4＝0． 【考点3】根的判别式（第18—26题） · 根据Δ判断根的情况。 · 含参问题：列Δ表达式，解不等式（Δ≥0，Δ>0，Δ=0）。 18．（2026•上海）下列方程无实数根的是（　　） A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2＝0 C．x2+2x＝0 D．x2+2＝0 19．（2026春•闵行区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么下列四个判断中正确的是（　　） A．该方程一定有两个相等的实数根 B．该方程一定有两个不相等的实数根 C．该方程一定有一个实数根为x＝1 D．该方程一定有一个实数根为x＝﹣1 20．（2025秋•宝山区校级期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣1且k≠0 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 21．（2026•松江区校级模拟）已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1＝0有实数根，那么a的取值范围是　 　 ． 22．（2026•静安区校级模拟）若关于x的一元二次方程5x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ． 23．（2025秋•浦东新区校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+4＝0（m是不等于1的整数）． （1）解这个关于x的一元二次方程； （2）如果这个方程有两个不相等的正整数根，试求m的值； （3）在（2）的条件下，如果一个三角形的三边a、b、c满足a2﹣（m+1）a+m＝1，b2﹣（m+1）b+m＝1，，且a≠b，试求这个三角形的面积． 24．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m，n是正实数，关于x的一元二次方程：x2+mx＝n2． （1）判断：方程根的情况． （2）若α是方程x2+mx＝n2的一个实数根，试比较代数式（2α+m）2与m2+4n2的大小关系． 25．（2025秋•浦东新区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x＝1是一元二次方程x2+x﹣m＝0的解，求方程的另一个解． 26．（2025秋•浦东新区校级月考）阅读：已知7a+c，求证：b2≥4ac． 证明：∵，∴， ∴是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即b2≥4ac． 利用以上方法，求证：（n﹣m）2≥（2m﹣mn）（mn﹣2n）（m，n为非零实数）． 【附加题】实数a、b、c互不相等且满足a﹣b+c＝3，关于x的方程x2+ax+1＝0和x2+bx+c＝0有一个相同的实数根，关于x的方程x2+x+a＝0和x2+cx+b＝0也有一个相同的实数根，则a+b+c的值为　 　 ． 【考点4】根与系数关系（第27—41题） · 直接应用韦达定理求两根和与积。 · 构造对称式：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂。 · 已知两根关系求参数时列方程。 27．（2025秋•普陀区校级月考）已知方程x2﹣3x+k＝0的一个根是另一个根的2倍，则k的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 28．（2025秋•静安区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别是3，﹣6，那么p、q的值为（　　） A．p＝3，q＝﹣18 B．p＝3，q＝18 C．p＝﹣3，q＝﹣18 D．p＝﹣3，q＝18 29．（2025秋•宝山区校级期末）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为x1，x2，则的值为（　　） A．﹣12 B．12 C．﹣7 D．7 30．（2025秋•崇明区期末）已知方程x2﹣3x+2＝0有两个实数根x1，x2，则的值是（　　） A． B． C． D． 31．（2025秋•杨浦区校级月考）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法中正确的有（　　）个． ①右b2﹣4ac＜0，则该方程没有实数根； ②若b＝0，则该方程的两个根互为相反数； ③若c＝0，则该方程一定有两个实数根； ④若a+c＝b，则﹣1一定是这个方程的实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2025秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，且，那么这个方程可以是（　　） A．9x2+21x﹣4＝0 B．3 C． D．﹣9x2+21x﹣4＝0 33．（2025秋•宝山区月考）关于x的方程x2﹣2mx+3＝0的一个解是x1＝1，则方程的另一个解x2＝ 　 　 ． 34．（2026•长宁区二模）如果关于x的方程x2﹣4cx+2c﹣2＝0有一根是x＝0，那么该方程的另一根是　 　 ． 35．（2025秋•金山区校级期末）已知一元二次方程x2﹣2026x﹣1＝0的两个根分别是x1和x2，则代数式的值是 　 　 ． 36．（2025秋•上海校级期末）已知方程的两个解是x1、x2，那么　 　 ． 37．（2025秋•虹口区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝0，求实数m的值． 38．（2026春•虹口区校级月考）已知方程组有两组实数解、，且x1≠x2，x1•x2≠0，设． （1）求m的取值范围； （2）用含m的代数式表示n； （3）是否存在这样的m的值，使n的值为﹣3？如果存在，求出这样的m的值；若不存在，说明理由． 39．（2025秋•青浦区校级期末）关于x的方程2x2﹣10x+5＝0有两个实数根x1，x2．请求下列各式的值： （1）填空：x1+x2＝　 　 ；x1•x2＝　 　 ； （2）． 40．（2025秋•宝山区校级期末）已知x1、x2是方程（a﹣1）x2﹣3（2﹣a）x+1＝0的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 41．（2025秋•杨浦区期末）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【考点5】一元二次方程的应用（第42—54题） · 增长率：a(1+x)² = b。 · 利润：总利润 = (售价−成本)×销量。 · 面积：根据图形列方程。 · 方案比较：计算并比较利润、销量等。 42．（2025秋•普陀区期末）如果二次三项式ax2+3x+4在实数范围内不能分解因式，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 43．（2025秋•普陀区校级月考）在实数范围内因式分解：x2﹣2x﹣1，下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 44．（2025秋•静安区校级月考）在实数范围内因式分解：3x2﹣2x﹣2＝　 　 ． 45．（2025秋•上海校级期末）在实数范围内因式分解：2x2﹣4x+1＝　 　 ． 46．（2025秋•宝山区校级期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 47．（2025秋•浦东新区校级期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 48．（2025秋•闵行区期末）如图，现需靠一段长为80米的墙围一个所占地面为长方形的仓库AGEF（只围三面），仓库的一角是一个正方形工作间BGDC，其他区域为存储仓．已知仓库的工作间四面都是用边长为5米的玻璃材料所围成，其余部分是用总长为110米的防潮隔板来围．如果要使存储仓的面积为1775平方米，且防潮隔板正好用完（不计损耗），求垂直于墙面的隔板AB的长． 49．（2025秋•金山区期末）电影《疯狂动物城2》热映后，朱迪和尼克的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家12月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《疯狂动物城2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 50．（2025秋•浦东新区校级月考）工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？ 51．（2025秋•杨浦区期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息；复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息．小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 52．（2025秋•金山区校级月考）学校文创社设计了一款特色笔记本，作为校园文化节的纪念品．最初以每本20元的成本价生产了一批．在试销阶段，第一个月定价为每本25元，售出120本，随后两个月对价格进行了上调，两次价格上调的百分率相同，最终第三个月定价为每本36元．此时每月售出100本． （1）这款笔记本每次（每月）的价格增长率为　 　 ． （2）文创社为了在第四个月扩大影响，清空库存，决定进行促销，学生通过市场调查发现：在第三个月销量的基础上，售价每降低1元，每月可多售出10本，请问：当降价多少时，可以使第四个月的利润达到1530元． （3）文创社现有两种销售方案： 方案A 方案B 按第（2）问中求出的售价进行销售． 在售价不低于成本的前提下，采取“每卖出一本就向校园公益基金捐赠2元”的方式销售，这一方式可以使每月销量在第（2）向的促销模型基础上再增加20本． 如果你是文创社社长，你会选择哪种方案？请从利润、清仓速度、社会效益等角度比较方案A和方案B，综合说明理由． 53．（2025秋•虹口区校级期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 54．（2025秋•嘉定区期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． （1）学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，求解过程如下： ①变形：将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35； ②构图：画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形； ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为（x+x+2）2，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4＝144，因此，可得新的一元二次方程（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程（x+x+2）2＝144可以得到原方程的另一个根是 　 　 ． （2）类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程x2﹣3x﹣4＝0的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． （3）拓展应用：一般地对于形如：x2+ax+b＝0一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么a＝　 　 ，b＝　 　 ，方程x2+ax+b＝0的一个正根为 　 　 ． 随堂检测 · 精选练习 1．（2026•虹口区三模）判断关于x的方程x2+mx﹣1＝0根的情况（　　） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．（2025秋•上海校级月考）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．y﹣2x＝0 B．x+1＝0 C．x2﹣5x＝0 D．2x3﹣2＝0 3．（2026•普陀区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 4．（2026•青浦区二模）将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（　　） A．2x2﹣x﹣1＝0 B．2x2﹣x+1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0 5．（2025秋•静安区校级月考）如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别是3，﹣6，那么p、q的值为（　　） A．p＝3，q＝﹣18 B．p＝3，q＝18 C．p＝﹣3，q＝﹣18 D．p＝﹣3，q＝18 6．（2026•静安区）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　 ． 7．（2026春•静安区校级期末）若一元二次方程x2﹣5x+a＝0无实数根，则一次函数y＝（a﹣5）x+a的图象不经过　 　 ． 8．（2025秋•宝山区月考）已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为 　 　 ． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）（1）解方程：4x2﹣12x﹣7＝0； （2）解方程：． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值． 课后巩固 · 针对性练习 复习建议 夯实概念：准确判断一元二次方程，注意二次项系数不为零。 熟练解法：四种解法灵活选用，配方法和公式法是重点。 判别式与韦达定理结合：解决含参问题，注意Δ≥0的前提。 应用题建模：多练增长率、利润、几何面积问题，注意检验。 错题整理：针对易错点（如增根、忽略系数为0、取值范围）整理。 1．（2026•松江区二模）下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有实数根的是（　　） A．ax2+x+1＝0 B．x2+ax﹣1＝0 C．x2+ax+1＝0 D．x2+x﹣a＝0 2．（2019秋•浦东新区校级月考）下列方程是一元二次方程（　　） A．x+2y＝1 B．2x（x﹣1）＝2x2+3 C．3x4 D．x2﹣2＝0 3．（2025秋•上海校级期末）如果x1和x2是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（　　） A．x1+x2＝8 B．x1+x2＝﹣4 C． D． 4．（2025秋•普陀区校级期中）关于x的一元二次方程kx2+4x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k≥﹣2且k≠0 D．k≤﹣2 5．（2025秋•普陀区期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2＝﹣2 B．ax2+bx+c＝0（其中a、b、c是常数） C． D．（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣1 6．（2024秋•浦东新区校级月考）方程x2＝x的解是 　 　 ． 7．（2025秋•长宁区校级期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2025+a2的值是　 　 ． 8．（2026•虹口区二模）请写出一个常数c的值，使得关于x的方程x2+2x﹣c＝0有两个不相等的实数根，那么c的值可以是　 　 ． 9．（2025秋•浦东新区校级期末）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣2+（k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k＝　 　 ． 10．（2025秋•浦东新区校级期末）若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值为　 　 ． 11．（2025秋•宝山区校级期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2025的值为　 　 ． 12．（2025秋•青浦区校级期末）在实数范围内分解因式：2x2﹣3xy﹣y2＝　 　 ． 13．（2025秋•浦东新区校级期末）解方程：（x+3）2＝（2x﹣5）2． 14．（2025秋•上海校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+2＝0． （1）如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求m的值． 15．（2025秋•黄浦区期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 16．（2025秋•松江区期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 17．（2025秋•上海校级期末）今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？ 18．（2025秋•松江区校级月考）广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在2023年国庆长假期间，接待游客达600万人次左右，预计在2025年国庆长假期间，接待游客达726万人次左右． （1）求桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； （2）桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价20元，则平均每天可销售200杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售25杯．2025年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天3250元的利润额？ 19．（2025秋•浦东新区校级期末）我们知道一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，若其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例如：方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程ay2+by+c＝m（a≠0，m≠0）的两根为y1，y2，则称这样的方程为“状元来”方程． （1）根据上述定义，请判断：2x2﹣5x+2＝0是　 　 倍“梅石花”方程； （2）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0（c≠0）是n倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是　 　 ． （3）若方程﹣y2+3y﹣2＝m（m≠0）为“状元来”方程，求证：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $