专题22.1 直角三角形 【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题22.1 解直角三角形（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）。 · 理解并掌握直角三角形斜边上中线的性质及其应用。 · 掌握直角三角形全等的判定方法（HL定理）。 · 能综合运用直角三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题。 · 培养逻辑推理能力和几何直观能力，提升综合解题素养。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 直角三角形的性质 定义： 有一个角是 90° 的三角形叫做直角三角形。 · 两锐角互余： 直角三角形两个锐角之和等于 90°。 · 判定方法： 若三角形中一个角等于90°，或两个锐角互余，或满足勾股定理逆定理，则为直角三角形。 · 角度判定： 若 ，则最大角为 ，为直角三角形。 ☑ 典型例题 1 题目： 在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 解析： 设 ∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 5x，则 2x+3x+5x=180°，x=18°，∠C=90°，故为直角三角形。 答案： B ☆ 2. 直角三角形斜边上的中线 定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半。 · 即：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则 。 · 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 · 应用：常用于证明线段相等、角度相等及构造等腰三角形。 ☑ 典型例题 2 题目： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AC=6，BC=8，则CD的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 解析： 由勾股定理得 ，D为AB中点，。 答案： A ☆ 3. 直角三角形全等的判定（HL） HL定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 · 简写为“HL”或“斜边直角边”。 · 注意：HL是直角三角形特有的判定方法。 · 其他判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS）同样适用于直角三角形。 ☑ 典型例题 3 题目： 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 解析： 两个锐角分别相等只能确定形状相似，不能确定大小，不能判定全等。 答案： C ☆ 4. 直角三角形中的角平分线与高 在直角三角形中，角平分线、高、中线等特殊线段之间常存在角度和长度关系。 · 角平分线分得的两个角相等。 · 高将直角三角形分成两个小的直角三角形。 · 中线与斜边的关系（斜边中线等于斜边一半）。 · 常利用三角形内角和定理和外角性质进行计算。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（ ） 解析： 设∠BCD=x，∠ACD=3x，则x+3x=90°，x=22.5°。由E为AB中点，CE=BE，∠BCE=∠B=67.5°，故∠DCE=∠BCE−∠BCD=67.5°−22.5°=45°。 答案： 45° ☆ 5. 直角三角形的综合应用 综合运用直角三角形的性质、判定和特殊线段（中线、高、角平分线）解决几何问题。 · 常见题型：角度计算、线段长度计算、全等证明、动点问题等。 · 常用辅助线：取斜边中点、作高、构造直角三角形等。 · 注意整体思想和转化思想的运用。 ☑ 典型例题 5 题目： 如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E。若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数。 解析： ∠BAD=30°，在Rt△ABD中∠ADB=60°，又DE⊥AD，∠ADB+∠EDC=90°，∴∠EDC=30°。 答案： 30° ☆ 知识总结表 核心概念 性质/定理 注意事项 直角三角形性质 两锐角互余；斜边中线等于斜边一半 斜边中线定理是重要工具 HL判定 斜边和一条直角边分别相等 仅适用于直角三角形 角度判定 若三角形中一个角为90°，或两锐角互余 结合三角形内角和定理 斜边中线 （D为AB中点） 逆定理也成立 角平分线与高 角平分线分角相等；高构造直角三角形 常与外角定理结合 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】直角三角形的性质（第1–9题） · 利用三角形内角和定理判断直角三角形。 · 两锐角互余是求角度的常用方法。 · 注意外角性质的应用。 1．（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； ②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意； ③由∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠C，则△ABC是直角三角形，故符合题意；④由∠A+∠B+∠C＝180°，，得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①③④，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质和三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 2．（2025秋•钱塘区期末）在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AB上（不与点A，B重合），下列说法正确的是（　　） A．若CP⊥AB，则PA＝PB B．若PA＝PB，则CP⊥AB C．若∠B＝∠BCP，则PA＝PB D．若∠PCA＝∠PCB，则CP⊥AB 【分析】根据直角三角形的性质得出斜边的中线等于斜边的一半解答即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，点P在边AB上（不与点A，B重合）， A、若CP⊥AB，不一定能得出PA＝PB，说法错误，故不符合题意； B、若PA＝PB，不一定能得出CP⊥AB，说法错误，故不符合题意； C、若∠B＝∠BCP，得出CP＝PB，得出∠A＝∠ACP，得出CP＝PA，可得PA＝PB，说法正确，故符合题意； D、若∠PCA＝∠PCB，不一定能得出CP⊥AB，说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出斜边的中线等于斜边的一半解答． 3．（2025秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC交CA的延长线于点D，AE⊥BC，交BC于点E．则图中的直角三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直的定义找到三角形中的直角，再根据直角三角形的定义即可找到图中直角三角形． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠D＝90°， ∴△ABD，△BCD是直角三角形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴△ABE，△ACE是直角三角形， ∴图中共有4个直角三角形， 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的识别，解题关键是找到三角形中的直角． 4．（2025秋•吴兴区期中）下列说法中错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A∠B∠C，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形 【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断． 【解答】解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意． B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意． C、在△ABC中，因为∠A∠B∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意． D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型． 5．（2025秋•广信区期末）在直角△ABC中，其中一个锐角等于20°，另一个锐角等于　70°　 ． 【分析】直角三角形中两个锐角互余，即它们的和等于90°． 【解答】解：∵一个直角三角形的一个锐角是20°， ∴它的另一个锐角的大小为90°﹣20°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余． 6．（2025秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠D＝　20°　 ． 【分析】先根据AC＝BC及∠C＝40°，求出∠A的度数，再结合DE⊥AC求出∠D即可． 【解答】解：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC． 又∵∠C＝40°， ∴∠A． ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形的外角性质及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形及直角三角形的性质是解题的关键． 7．（2025春•南充校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　①③④⑤　 ． 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断结论①；只需要证明∠ADC+∠ACD＝90°，∠GCD+∠BCD＝90°，即可判断结论③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC＝135°，即可判断结论④⑤；根据现有条件无法推出结论②． 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD， ∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故结论①正确； ∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC，即∠BCG＝90°， ∴∠GCD+∠BCD＝90°， 又∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠GDC，故结论③正确； ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝90°， ∵BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠FBC∠ABC，∠FCB∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝135°， ∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°， ∴∠DFB∠A，故结论④正确； ∵∠BFC＝135°， ∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故结论⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故结论②错误． 故答案为：①③④⑤． 【点评】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 8．（2025秋•包河区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝42°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【分析】（1）先求出∠CBD的度数，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）先求出∠AEB的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝42°， ∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+42°＝132°． ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE∠CBD＝66°； （2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝66°， ∴∠AEB＝90°﹣66°＝24°． ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠AEB＝24°． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质及三角形的外角性质，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键． 9．（2025秋•岱岳区期末）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （1）求证：△ACB为直角三角形； （2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）由三角形内角和定理得到∠ACD+∠BCD＝90°，因∠ACB＝90°，即可证明△ACB为直角三角形； （2）求出∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，由角平分线的定义求出∠ECB∠ACB＝45°，即可求出∠DCE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A， ∴∠ACD+∠BCD＝∠B+∠A， ∵∠A+∠B+∠ACD+∠BCD＝180°， ∴2（∠ACD+∠BCD）＝180°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ACB为直角三角形； （2）解：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB∠ACB＝45°， ∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 【考点2】直角三角形斜边上的中线（第10–21题） · 斜边中线等于斜边一半，用于求线段长度。 · 利用中线构造等腰三角形，求角度。 · 常用于动点问题中求最值。 10．（2026•台湾）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D点为AC的中点，E点在BD上，AE为∠BAC的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB的度数为何？（　　） A．105 B．110 C．115 D．120 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BAC＝50°，再利用直角三角形斜边上的中线性质可得BD＝AD，从而可得∠BAC＝∠DBA＝50°，然后利用角平分线的定义可得∠BAE＝25°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣∠C＝50°， ∵D点为AC的中点， ∴BD＝ADAC， ∴∠BAC＝∠DBA＝50°， ∵AE为∠BAC的角平分线， ∴∠BAE∠BAC＝25°， ∴∠AEB＝180°﹣∠DBA﹣∠BAE＝105°， 故选：A． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 11．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD是BC边上的中线，CE平分∠ACB交AB于点E，则图中与∠ADC相等的角（不包含∠ADC）共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由直角三角形的性质可得∠ACB＝60°，结合AD是BC边上的中线可得AD＝CD＝BD，则△ACD是等边三角形，因此∠DAC＝∠ADC＝∠ACB＝60°，由角平分线的定义可得，则∠AEC＝90°﹣∠ACE＝60°＝∠ADC，因此与∠ADC相等的角为∠DAC，∠ACB，∠AEC，共3个． 【解答】解：由条件可知∠ACB＝90°﹣∠B＝60°， ∵AD是BC边上的中线，即点D为BC的中点， ∴AD＝CD＝BD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝∠ADC＝∠ACB＝60°， 由条件可知， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝60°＝∠ADC， 综上，与∠ADC相等的角为∠DAC，∠ACB，∠AEC，共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025秋•临淄区期末）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【解答】解：由题知， ∵BC⊥AC，且点P为AB的中点， ∴CP为Rt△ABC斜边上的中线， ∴CP． ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 13．（2026•西安校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 【分析】连接DE，由CE⊥AB，D是AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，证得BE＝DE，从而得到∴点E在线段BD的垂直平分线上，即可判断A选项；设∠ABD＝α，根据BE＝DE，得到∠EDB＝∠ABD＝α，从而得到∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α，根据DE＝AD，得到∠A＝∠AED＝2α，从而得到∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即可判断B选项；当E为AB中点时，则，结合CE⊥AB，得到CE是线段AB的垂直平分线，从而得到AC＝BC，根据，，BE＝CD，证得AB＝AC，即可判断C选项；当E为AB中点时，△ABC是等边三角形，易证OB＝OC，BD⊥AC，得到BD＝3OD，从而证得，即可判断D选项． 【解答】解：如图所示，连接DE， ∵CE⊥AB，D是AC的中点， ∴DE为Rt△AEC斜边上的中线， ∴， ∵BE＝CD， ∴BE＝DE， ∴点E在线段BD的垂直平分线上，即BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意； 设∠ABD＝α， ∵BE＝DE， ∴∠EDB＝∠ABD＝α， ∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α， ∵DE＝AD， ∴∠A＝∠AED＝2α， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α，即∠BDC＝3∠ABD，故选项B正确，不符合题意； 当E为AB中点时，则， ∵CE⊥AB， ∴CE是线段AB的垂直平分线， ∴AC＝BC， ∵，，BE＝CD， ∴AB＝AC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 当E为AB中点时，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠OCD＝30°， ∴OB＝OC， 又∵点D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴， ∴BD＝3OD， ∵，， ∴， ∴，即S△BOC＝2S△COD，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，理解相关性质定理是解决问题的关键． 14．（2026春•绿园区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且BC+AD＝12，则BC的长为　8　 ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【解答】解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：． ∵BC+AD＝12， ∴， ∴BC＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握其性质是解题的关键． 15．（2026•江夏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为BC的中点，CD⊥AB于点D，连接AM，CD相交于点N，若∠AMC＝∠DMB，BD＝2，则MN的长为 　　 ． 【分析】延长BC到E，使CE＝CM，连接AE，过点C作CF∥AE，交AM于点F，设CM＝BM＝a，则BC＝2a，BE＝3a，再根据MD是Rt△BDC的斜边BC上的中线得DM＝CM＝BM＝a，证明DM∥AE得△BDM和△BAE相似，由相似三角形性质得AB＝6，证明△CBD和△ABC相似，由相似三角形性质得a，由此得DM＝CM＝BM＝a，BC＝2a，进而由勾股定理得AC，AM，证明点F是AM的中点得CF是Rt△ACM的斜边AM上的中线，则CF＝FM＝FAAM，再证明△CFN和△DMN相似，利用相似三角形性质得MN． 【解答】解：延长BC到E，使CE＝CM，连接AE，过点C作CF∥AE，交AM于点F，如图所示： ∵点M为BC的中点， ∴设CM＝BM＝a，则BC＝2a，其中a＞0， ∴CE＝CM＝a， ∴BE＝BC+CE＝3a， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， ∴△BDC是直角三角形， ∵点M为BC的中点， ∵MD是Rt△BDC的斜边BC上的中线， ∴DM＝CM＝BM＝a， ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥ME， ∴AC是线段EM的垂直平分线， ∴AM＝AE， ∴∠AMC＝∠E， ∵∠AMC＝∠DMB， ∴∠E＝∠DMB， ∴DM∥AE， ∴△BDM∽△BAE， ∴， ∵BD＝2， ∴， ∴AB＝6， 在△CBD和△ABC中， ∠CDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B， ∴△CBD∽△ABC， ∴， ∴， 整理得：a2＝3， ∴a，a（不合题意，舍去）， ∴DM＝CM＝BM＝a，BC＝2a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC， 在△ACM中，∠ACB＝90°， ∴△ACM是直角三角形， 在Rt△ACM中，AM， ∵CE＝CM，CF∥AE， ∴CF是△MAE的中位线， ∴点F是AM的中点， ∴CF是Rt△ACM的斜边AM上的中线， ∴CF＝FM＝FAAM， ∵CF∥AE，DM∥AE， ∴CF∥DM， ∴△CFN∽△DMN， ∴， ∴设FN＝3k，MN＝2k， ∴FM＝FN+MN＝5k， ∴k， ∴MN＝2k． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，理解直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造相似三角形是解决问题的难点． 16．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　45　 °． 【分析】根据题意先求出∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°，利用直角三角形两锐角互余求得∠B＝67.5°，再根据直角三角形斜边上中线性质得到BE＝CE，求得∠BCE的度数，进而得到答案． 【解答】解：∵∠A C D＝3∠B C D，∠A C B＝90°， ∴∠A C D＝67.5°，∠B C D＝22.5°， ∵CD⊥AB， ∴∠B＝90°﹣∠B C D＝90°﹣22.5°＝67.5°， 又∵E是斜边AB的中点， ∴BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝67.5°， ∴∠E C D＝∠B C E﹣∠B C D＝67.5°﹣22.5°＝45°． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题关键． 17．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　130°　 ． 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CE＝BE＝DE，等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角的和差关系进行求解即可． 【解答】解：以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵E是线段AB的中点， ∴， ∴， ∵∠CED＝∠CEB+∠DEB＝100°， ∴． 故答案为：130°． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，正确进行计算是解题关键． 18．（2026春•青羊区校级月考）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，连接BE、DE，AC＝26，BD＝24．则EF的长为　5　 ． 【分析】由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得EF⊥BD，，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】解：如图， ∵∠ABC＝90°，点E是AC的中点，AC＝26， ∴， 同理可得， ∴BE＝DE， ∵点F是BD中点， ∴EF⊥BD，， ∴． 故答案为：5． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，正确进行计算解题关键． 19．（2026•建邺区一模）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证： ①BM＝DM； ②MN⊥BD． 【分析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM＝DMAC； （2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∴BM＝DM； （2）∵点N是BD的中点，BM＝DM， ∴MN⊥BD． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并连接辅助线是解题的关键． 20．（2025秋•姜堰区月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若∠A＝72°，求∠EMF的度数． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则EM＝FM，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF＝MB，ME＝MC，则∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF+∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF． 【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点， ∴，， ∴EM＝FM， ∴△MEF是等腰三角形； （2）解：由条件可知∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝108°， ∵CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点， ∴MF＝MB，ME＝MC， ∴∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC， ∴∠BMF+∠EMC＝180°﹣2∠ACB+180°﹣2∠ABC＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝144°， ∴∠FME＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝36°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟记性质并求出EM、MF与BC的关系是解题的关键． 21．（2024秋•连州市期末）如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线． （1）求证：BDAC； （2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值． 【分析】（1）过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE，再证明△ADE≌△CDB，可得四边形ABCE是矩形，然后根据矩形的性质得出答案； （2）连接DP，根据勾股定理求出AC，进而得出BD，CD，并求出S△ABC，可知S△BCD，然后根据三角形面积相等得出答案． 【解答】（1）证明：如图，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E，连接CE， ∴∠DAE＝∠BCD， ∵∠ADE＝∠BDC，AD＝CD， ∴△ADE≌△CDB（AAS）， ∴DE＝BD， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴AC＝BE， ∴； （2）解：如图，连接DP，作BG⊥AC，于点G， 在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8， 根据勾股定理得：， ∴． 可知， 即， ∴， 则， 即， 解得：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，求三角形的面积等，构造矩形是证明直角三角形斜边的性质的关键． 【考点3】直角三角形的全等判定（第22–32题） · HL定理是直角三角形特有的判定方法。 · 结合SAS、ASA、AAS等判定方法综合运用。 · 注意寻找公共边、公共角等隐含条件。 22．（2026春•运城月考）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 【分析】根据全等三角形的判定定理SAS，AAS，HL，ASA逐项分析即可求解． 【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据SAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意； B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据AAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意； C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意； D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据HL可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定定理解答． 23．（2025秋•蓬莱区期末）如图，已知△ABC，且AB＝AC，AE＝AF，AD⊥BC于点D，且E、F在BC上，则图中共有多少对全等的直角三角形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD＝CD，DE＝DF；证明△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△ABF≌△ACE，△ABE≌△ACF，即可解决问题． 【解答】解：∵AB＝AC，AE＝AF，AD⊥BC，∴BD＝CD，DE＝DF； 在△ABD与△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 同理可证△AED≌△AFD． 故选：B． 【点评】该题主要考查了全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质及其应用问题；灵活运用全等三角形的判定问题、等腰三角形的性质是解题的关键． 24．（2025秋•临夏州期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 【分析】根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，可判定选项D正确． 【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，全等三角形的判定，关键是相关判定定理的应用． 25．（2024秋•临清市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．AB平分∠CAD B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 【分析】根据HL进行判断即可． 【解答】解：∵AB＝AB，∠C＝∠D＝90°， ∴要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，需要添加的 条件是AC＝AD或BC＝BD， 故选：C． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形全等的判定是解题的关键． 26．（2026春•同步）如图，点A，C，E在同一条直线上，已知∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC，则Rt△CED≌　Rt△BAC ，判定的依据是HL ，此时∠BCD的度数为　90°　 ． 【分析】根据HL判断两个直角三角形全等即可． 【解答】解：∵∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC， ∴Rt△CED≌Rt△BAC（HL）， ∴∠ABC＝∠ECD， 又∵∠ABC+∠BCA＝90°， ∴∠ECD+∠BCA＝90°， ∴∠BCD＝180°﹣（∠ECD+∠BCA）＝90°． 故答案为：Rt△BAC，HL，90°． 【点评】此题主要考查HL判断两个直角三角形全等，解题关键是熟知全等三角形的判定方法． 27．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 DE＝AC（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【分析】根据直角三角形的判定方法解答即可． 【解答】解：添加DE＝AC，∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即EF＝CB， 在Rt△ABC与Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：DE＝AC（答案不唯一）． 【点评】此题考查直角三角形的判定，关键是根据HL证明Rt△ABC≌Rt△DFE解答． 28．（2024春•宁远县期中）能使两个直角三角形全等的条件有 　①②③　 ． ①一条直角边及其对角对应相等； ②斜边和一条直角边对应相等； ③斜边和一锐角对应相等； ④两个锐角对应相等． 【分析】根据直角三角形全等的判定定理解答即可． 【解答】解：∵所有的直角都相等， ∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确； ②斜边和一条直角边对应相等，符合HL，正确； ③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确； ④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 29．（2024秋•同步）如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D或　∠ACB＝∠DEB 或AC＝DE 或AB＝DB 或　∠A+∠E＝90°　 或　∠D+∠ACB＝90°等　 ． 【分析】要使Rt△ABC≌Rt△DBE，现有直角对应相等，一直角边对应相等，还缺少一边或一角对应相等，答案可得． 【解答】解：∵BD⊥AE ∴∠ACB＝∠DEB， ∵BC＝BE， 加∠ACB＝∠BDE就可以用ASA使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加AC＝DE就可以用HL使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加AB＝DB就可以用SAS使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加∠ACB＝∠D也可以使Rt△ABC≌Rt△DBE； 加∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°一样可以证明Rt△ABC≌Rt△DBE． 所以填∠ACB＝∠BDE或AC＝DE或AB＝DB或∠A+∠E＝90°或∠D+∠ACB＝90°等． 【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等． 30．（2025秋•普陀区校级月考）如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 【分析】利用HL进行判定． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF， ∵BF＝BE+EF，CE＝CF+EF， ∴BF＝CE， ∵AB⊥AF，CD⊥DE， ∴∠A＝∠D＝90°（垂直的定义）， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF推出BF＝CE． 31．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF＝DE，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明． 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）． 【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE． 32．（2025春•陈仓区期中）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC与点E，DF⊥AC与点F．求证Rt△ABE≌Rt△CDF． 【分析】根据等式的性质得出AE＝CF，进而利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF即可． 【解答】证明：∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF解答． 【考点4】创新及压轴题（第33–35题） · “完美点”问题：理解定义，运用斜边中线性质。 · 动点问题：抓住不变量，利用直角三角形性质求解。 · 综合证明题：灵活运用多种性质与判定。 33．（2024秋•浦口区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点． 解决问题： （1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由． （2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数． 【分析】（1）取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明； （2）根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可． 【解答】解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图① ∵∠ACB＝90°，P是AB的中点， ∴CPAB，AP＝BPAB， ∴AP＝PB＝CP． ∴△APC，△PBC是等腰三角形． ∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥ 【点评】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键． 34．（2023春•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一动点（不与B，C重合），DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF． （1）试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明． （2）若∠BAC＝30°，连接CE，在D点运动过程中，探求CE与AD的数量关系． 【分析】（1）EF和CF分别是直角△AED和直角△ACD斜边上的中线，依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得； （2）证明△EFC是等边三角形，然后根据等边三角形的定义以及直角三角形的性质求解． 【解答】解：（1）EF＝CF， 在Rt△AED和Rt△ACD中， ∵点F是线段AD的中点， ∴EF AD，CFAD， ∴EF＝CF． （2）由（1）可知EF＝AF＝CF， ∴∠AEF＝∠EAF，∠ACF＝∠CAF， ∴∠EFD＝2∠EAF，∠CFD＝2∠CAF， ∴∠EFC＝2∠BAC＝60°， 又EF＝CF， ∴△EFC为等边三角形， ∴CE＝EF AD． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定与性质，证得△EFC是等边三角形是关键． 35．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC＝90°，在DC取点F，使DF＝BE，分别联结BD、EF． （1）求证：DE＝BE； （2）求证：EF垂直平分BD． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BE＝DE，根据等腰三角形性质求出即可； （2）证出DE＝DF，得出∠DEF＝∠DFE，证出∠BEF＝∠DEF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴，．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴BE＝DE． （2）证明：∵CD∥BE， ∴∠BEF＝∠DFE． ∵DF＝BE，BE＝DE， ∴DE＝DF． ∴∠DEF＝∠DFE． ∴∠BEF＝∠DEF． ∴EF垂直平分BD．（等腰三角形三线合一） 【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出BE＝DE是解此题的关键． 随堂检测 · 精选练习 练习1：直角三角形斜边中线 练习2：垂直平分线与角度 练习3：直角三角形综合计算 练习4：斜边中线与最值 练习5：动点与角平分线 【练习1】（2026春•雷州市期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠BCD＝55°，则∠A＝（　　） A．55° B．45° C．60° D．35° 【分析】结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角、求余角即可得解． 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ACD， ∵∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝55°， ∴∠A＝∠ACD＝90°﹣∠BCD＝35°， 故选：D． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【练习2】（2026春•青羊区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E．连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝4：7．则∠ADC的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】根据中垂线的性质，得到AD＝BD，等边对等角，得到∠B＝∠BAD，根据角的数量关系和三角形的内角和定理，求出∠CAD的度数，进而求出∠ADC的度数即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E． ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠CAD：∠BAD＝4：7， ∴设∠CAD＝4x，∠BAD＝7x， ∴∠B＝∠BAD＝7x， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠CAD＝18x＝90°， ∴x＝5°， ∴∠CAD＝20°， ∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝70°． 故选：A． 【点评】本题考查直角三角形和垂直平分线的性质，正确进行计算是解题关键． 【练习3】（2025秋•鄞州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC至点D，连结AD，使得2AD＝BC． （1）若∠ABC＝20°，则∠CAD的度数为　30°　 ； （2）若AB＝7，，则AC的值为　　 ． 【分析】（1）依据题意，取BC的中点E，连接AE，由∠BAC＝90°，则AE＝BE＝CEBC，∠BCA＝90°﹣∠B＝70°，故∠B＝∠BAE＝20°，从而∠CEA＝∠B+∠BAE＝40°，又BC＝2AD＝2AE，可得∠D＝∠CEA＝40°，故∠CAD＝∠ACE﹣∠D＝70°﹣40°＝30°，即可得解； （2）依据题意，取BC的中点E，连接AE，作AH⊥BC于H，结合（1）AE＝AD，从而EH＝DHDE，又BE＝CE＝ADBC，故BD+AD＝BH+DH+AD＝BH+EH+CE＝2BH，从而BH，结合∠BAC＝90°，AH⊥BC，故AB2＝BH•BC，进而可得BC＝8，最后由AC，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，取BC的中点E，连接AE． 又∵∠BAC＝90°， ∴AE＝BE＝CEBC，∠BCA＝90°﹣∠B＝70°． ∴∠B＝∠BAE＝20°． ∴∠CEA＝∠B+∠BAE＝40°． ∵BC＝2AD＝2AE， ∴∠D＝∠CEA＝40°． ∴∠CAD＝∠ACE﹣∠D＝70°﹣40°＝30°． 故答案为：30°； （2）取BC的中点E，连接AE，作AH⊥BC于H． 由题意，结合（1）∵AE＝AD， ∴EH＝DHDE． 又∵BE＝CE＝ADBC， ∴BD+AD＝BH+DH+AD＝BH+EH+CE＝2BH． ∴BH． ∵∠BAC＝90°，AH⊥BC， ∴AB2＝BH•BC． 又∵AB＝7， ∴BC＝8． ∴AC． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、三角形内角和定理，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【练习4】（2025春•滑县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 　　 ． 【分析】连接BE，DE，根据直角三角形斜边的中线的性质可得BE＝DE，过点E作EF′⊥BD于点F′，可知BF′的长度，根据勾股定理求出EF′的长，即可确定EF的最小值． 【解答】解：连接BE，DE，如图所示： ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点， ∴BEAC，DEAC， ∵AC＝6， ∴BE＝DE＝3， 过点E作EF′⊥BD于点F′， 则点F′是线段BD的中点， ∵BD＝4， ∴BF′＝2， 根据勾股定理，得EF′， ∴线段EF的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理等，熟练掌握直角三角形斜边的中线的性质是解题的关键． 【练习5】（2026春•鲤城区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上时， ①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由； ②作EF⊥BC于点F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于点F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由． 【分析】（1）根据角平分线定义得∠BAD＝30°，进而得∠ADB60°，再根据DE⊥AD得∠ADB+∠EDC＝90°，由此即可得出∠EDC的度数； （2）①当点D在线段BC上时，根据∠B＝90°得∠BAD+∠ADB＝90°，根据DE⊥AD得∠ADB+∠EDC＝90°，由此可得出∠EDC与∠BAD的数量关系； ②设AG，EG分别∠BC于点M，N，设∠BAG＝∠DAG＝α，∠BAD＝2α，进而得∠GMN＝∠AMB＝90°﹣α，由①可知∠EDC＝∠BAD＝2α，则∠DEF＝90°﹣2α，再根据EG平分∠DEF得∠FEG＝45°﹣α，继而得∠GNM＝∠ENF＝45°+α，然后根据三角形内角和定理即可得出∠G＝45°，由此即可得出答案； （3）设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，先证明∠EDC＝∠BAD，设∠BAG＝∠DAG＝α，则∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝90°﹣α，∠DEF＝90°﹣2α，根据EG平分∠DEF得∠FEN＝45°﹣α，∠GNM＝45°+α，然后根据三角形内角和定理即可得出∠G＝45°，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∵∠B＝90°， ∴在Rt△ABD中，∠ADB＝90°﹣∠BAD＝60°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠BAD＝30°； （2）①∠EDC与∠BAD的数量关系是：∠EDC＝∠BAD，理由如下： 当点D在线段BC上时， ∵∠B＝90°， ∴∠BAD+∠ADB＝90°， ∵DE⊥AD， ∴∠ADB+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD； ②随着点D的运动，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下： 设AG，EG分别∠BC于点M，N，如图2所示： ∵AG平分∠BAD， ∴设∠BAG＝∠DAG＝α， ∴∠BAD＝2α， ∵∠B＝90°， ∴∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α， 由①可知：∠EDC＝∠BAD＝2α， ∵EF⊥BC， 在Rt△DEF中，∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α， ∵EG平分∠DEF， ∴∠FEG∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∵EF⊥BC， ∴∠GNM＝∠ENF＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°； （3）当点D在BC的延长线上时，∠G的度数不发生变化，始终是45°，理由如下： 设AG交BC于点M，GE的延长线交CD于点N，如图3所示： ∵∠B＝90°，DE⊥AD， ∴∠BAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDC＝90°， ∴∠EDC＝∠BAD， ∵AG平分∠BAD， ∴设∠BAG＝∠DAG＝α， ∴∠EDC＝∠BAD＝2α，∠GMN＝∠AMB＝90°﹣∠BAG＝90°﹣α， ∴∠DEF＝90°﹣∠EDC＝90°﹣2α， ∵EG平分∠DEF， ∴∠FEN∠DEF（90°﹣2α）＝45°﹣α， ∵EF⊥BC， ∴∠GNM＝90°﹣∠FEG＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∴∠G＝180°﹣（∠GMN+∠GNM）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义是解决问题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：斜边中线综合 作业2：全等判定判断 作业3：等腰三角形与中线 作业4：勾股定理与中线 作业5：动点与最值 作业6：角度计算作 业7：斜边中线与角度 作业8：中线与垂直 作业9：角平分线与高 作业10：综合探究 ❤ 复习建议 熟记基本性质： 两锐角互余、斜边中线等于斜边一半，是解决直角三角形问题的核心工具。 HL判定需谨慎： 只有斜边和一条直角边对应相等时才能直接判定，注意区分其他判定方法。 构造辅助线： 取斜边中点、作高、构造直角三角形是常见的辅助线添加方法。 角度计算多用外角： 三角形外角等于不相邻两内角之和，常用于求角度。 综合题要善于转化： 将复杂问题转化为直角三角形问题，利用性质逐步求解。 【作业1】（2025秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．6 B．9 C． D． 【分析】连接DF，DE，根据等腰三角形三线合一得到F是BC中点，从而得到，同理可得，最后根据勾股定理即可求出DM的长． 【解答】解：连接DF，DE， ∵AB＝AC＝18，AF⊥BC， ∴F是BC中点， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴， 同理：， ∴DF＝DE， ∵M为EF的中点， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业2】（2025春•太原月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、利用HL，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； B、利用AAS，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； C、利用SAS，可以判定两个直角三角形全等，故此选项正确，不符合题意； D、利用AAA，不能得到两个直角三角形全等，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 【作业3】（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（　　） A．4 B．2.5 C．3 D． 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到BE＝ECBC＝3，根据勾股定理求出AC，根据直角三角形斜边上的中线定理解答即可． 【解答】解：∵AB＝AC，BC＝6，AE是△ABC的高线， ∴BE＝ECBC＝3，AE⊥BC， ∴AC5， ∵BD是△ABC的中线， ∴点D为AC的中点， ∴DEAC＝2.5． 故选：B． 【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质、勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【作业4】（2025春•渌口区校级期中）笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为5km，BC的长为12km，则C，D之间的距离为 　　 km． 【分析】由题意可以知△ABC为直角三角形，根据勾股定理可以求得AB＝13，再利用直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半），即可求得． 【解答】解：∵AC，BC互相垂直， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 由勾股定理得AB13（km）， 又∵D为AB的中点， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解本题的关键． 【作业5】（2025秋•姜堰区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝5，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为　　 ． 【分析】连接CM、CN，则当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，即可求得MN的最小值． 【解答】解：如图，连接CM、CN，则当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值， ∵点M、N分别是DE，AB的中点， ∴，， ∴MN的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．熟练掌握该知识点是关键． 【作业6】（2025秋•和平区校级月考）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是　40°　 ． 【分析】利用对顶角相等和直角三角形两个锐角互余计算即可． 【解答】解：如图： 由题意知：∠A＝90°，∠1＝50°， ∴∠ABC＝∠1＝50°， ∴∠ACB＝∠A﹣∠ABC ＝90°﹣50° ＝40°． ∵∠2＝∠ACB＝40°． ∴∠2＝40°． 故答案为：40°． 【点评】此题考查了直角三角形的性质，利用直角三角形的两个锐角互余是关键． 【作业7】（2025秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝43°，则∠EPF的度数为　94°　 ． 【分析】先根据垂直定义可得∠AFC＝∠AEC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠BCE＝47°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得FP＝CP，EP＝PC，从而可得∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE，最后利用三角形的外角性质可得∠EPF＝2∠BCE，即可解答． 【解答】解：∵AF⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AFC＝∠AEC＝90°， ∵∠B＝43°， ∴∠BCE＝90°﹣∠B＝47°， ∵P为AC的中点， ∴FP＝CPAC，EP＝PCAC， ∴∠PFC＝∠PCF，∠PEC＝∠PCE， ∵∠APF是△CFP的一个外角，∠APE是△ECP的一个外角， ∴∠APF＝∠PFC+∠PCF＝2∠PCF，∠APE＝∠PEC+∠PCE＝2∠PCE， ∴∠EPF＝∠APF+∠APE＝2∠PCF+2∠PCE＝2（∠PCF+∠PCE）＝2∠BCE＝94°， 故答案为：94°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【作业8】（2025秋•静安区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的周长． 【分析】（1）由直角三角形，线段中点的条件和定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到辅助线作法，连接ME、MD，进而得到等腰三角形，再根据定理“三线合一”即可证明MN⊥DE． （2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：如图，连接ME、MD， ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵M是BC的中点， ∴ 同理可得， ∴DM＝EM ∵N是DE的中点， ∴MN⊥DE； （2）解：∵BC＝10， ∴， ∵DE＝6， ∴△MDE的周长为DM+EM+DE＝5+5+6＝16． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，熟记以上知识点是解题的关键． 【作业9】（2025秋•横山区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝76°，CE和CD分别是△CAB的角平分线和高，点F为CE上一点，连接DF，且∠CDF＝68°，求证：△CDF是直角三角形． 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ACB＝72°，由角平分线定义得，由直角三角形两锐角互余得∠BCD＝14°，得∠DCF＝22°，由三角形内角和定理可得∠CFD＝90°，故可得结论． 【解答】证明：∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠ACB+∠B＝180°，且∠A＝32°，∠B＝76°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣32°﹣76°＝72°， ∵CE是△CAB的角平分线， ∴∠BCE∠ACB72°＝36°， ∵CD是△CAB的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣76°＝14°， ∴∠DCF＝∠BCF﹣∠BCD＝36°﹣14°＝22°， 又∠CDF＝68°， ∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣68°﹣22°＝90°， ∴△CDF是直角三角形． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 【作业10】（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DMBC，MEBC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质证明； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算； （3）仿照（2）的计算过程解答． 【解答】（1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME， 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）， ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）， ＝360°﹣2（180°﹣∠A）， ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC， ＝2（180°﹣∠BAC）， ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）， ＝2∠BAC﹣180°． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.1 解直角三角形（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握直角三角形的性质（两锐角互余、斜边中线等于斜边一半等）。 · 理解并掌握直角三角形斜边上中线的性质及其应用。 · 掌握直角三角形全等的判定方法（HL定理）。 · 能综合运用直角三角形的性质与判定解决几何证明与计算问题。 · 培养逻辑推理能力和几何直观能力，提升综合解题素养。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 直角三角形的性质 定义： 有一个角是 90° 的三角形叫做直角三角形。 · 两锐角互余： 直角三角形两个锐角之和等于 90°。 · 判定方法： 若三角形中一个角等于90°，或两个锐角互余，或满足勾股定理逆定理，则为直角三角形。 · 角度判定： 若 ，则最大角为 ，为直角三角形。 ☑ 典型例题 1 题目： 在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5，则△ABC是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 解析： 设 ∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 5x，则 2x+3x+5x=180°，x=18°，∠C=90°，故为直角三角形。 答案： B ☆ 2. 直角三角形斜边上的中线 定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半。 · 即：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB中点，则 。 · 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 · 应用：常用于证明线段相等、角度相等及构造等腰三角形。 ☑ 典型例题 2 题目： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AC=6，BC=8，则CD的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 解析： 由勾股定理得 ，D为AB中点，。 答案： A ☆ 3. 直角三角形全等的判定（HL） HL定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 · 简写为“HL”或“斜边直角边”。 · 注意：HL是直角三角形特有的判定方法。 · 其他判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS）同样适用于直角三角形。 ☑ 典型例题 3 题目： 下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 斜边和一个锐角分别相等 C. 两个锐角分别相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 解析： 两个锐角分别相等只能确定形状相似，不能确定大小，不能判定全等。 答案： C ☆ 4. 直角三角形中的角平分线与高 在直角三角形中，角平分线、高、中线等特殊线段之间常存在角度和长度关系。 · 角平分线分得的两个角相等。 · 高将直角三角形分成两个小的直角三角形。 · 中线与斜边的关系（斜边中线等于斜边一半）。 · 常利用三角形内角和定理和外角性质进行计算。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度数为（ ） 解析： 设∠BCD=x，∠ACD=3x，则x+3x=90°，x=22.5°。由E为AB中点，CE=BE，∠BCE=∠B=67.5°，故∠DCE=∠BCE−∠BCD=67.5°−22.5°=45°。 答案： 45° ☆ 5. 直角三角形的综合应用 综合运用直角三角形的性质、判定和特殊线段（中线、高、角平分线）解决几何问题。 · 常见题型：角度计算、线段长度计算、全等证明、动点问题等。 · 常用辅助线：取斜边中点、作高、构造直角三角形等。 · 注意整体思想和转化思想的运用。 ☑ 典型例题 5 题目： 如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E。若∠BAC=60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数。 解析： ∠BAD=30°，在Rt△ABD中∠ADB=60°，又DE⊥AD，∠ADB+∠EDC=90°，∴∠EDC=30°。 答案： 30° ☆ 知识总结表 核心概念 性质/定理 注意事项 直角三角形性质 两锐角互余；斜边中线等于斜边一半 斜边中线定理是重要工具 HL判定 斜边和一条直角边分别相等 仅适用于直角三角形 角度判定 若三角形中一个角为90°，或两锐角互余 结合三角形内角和定理 斜边中线 （D为AB中点） 逆定理也成立 角平分线与高 角平分线分角相等；高构造直角三角形 常与外角定理结合 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】直角三角形的性质（第1–9题） · 利用三角形内角和定理判断直角三角形。 · 两锐角互余是求角度的常用方法。 · 注意外角性质的应用。 1．（2025秋•怀化校级期末）在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A：∠B：∠C＝2：3：5，④∠A∠B∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025秋•钱塘区期末）在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AB上（不与点A，B重合），下列说法正确的是（　　） A．若CP⊥AB，则PA＝PB B．若PA＝PB，则CP⊥AB C．若∠B＝∠BCP，则PA＝PB D．若∠PCA＝∠PCB，则CP⊥AB 3．（2025秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，BD⊥AC交CA的延长线于点D，AE⊥BC，交BC于点E．则图中的直角三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2025秋•吴兴区期中）下列说法中错误的是（　　） A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形 B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形 C．在△ABC中，若∠A∠B∠C，则△ABC为直角三角形 D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形 5．（2025秋•广信区期末）在直角△ABC中，其中一个锐角等于20°，另一个锐角等于　 　 ． 6．（2025秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，∠C＝40°，则∠D＝　 　 ． 7．（2025春•南充校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD④∠DFB∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是 　 　 ． 8．（2025秋•包河区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝42°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 9．（2025秋•岱岳区期末）如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A． （1）求证：△ACB为直角三角形； （2）若∠ACB的平分线CE交AB于点E，CD⊥AB于点D，∠B＝60°，求∠DCE的度数． 【考点2】直角三角形斜边上的中线（第10–21题） · 斜边中线等于斜边一半，用于求线段长度。 · 利用中线构造等腰三角形，求角度。 · 常用于动点问题中求最值。 10．（2026•台湾）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，D点为AC的中点，E点在BD上，AE为∠BAC的角平分线．若∠C＝40°，则∠AEB的度数为何？（　　） A．105 B．110 C．115 D．120 11．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD是BC边上的中线，CE平分∠ACB交AB于点E，则图中与∠ADC相等的角（不包含∠ADC）共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．（2025秋•临淄区期末）如图，梯子AB斜靠在墙面上，点P是梯子AB的中点，梯子滑动时，点B沿BC滑向墙角C点，点A水平远离墙角C点，P点和C点的距离（　　） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 13．（2026•西安校级模拟）如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（　　） A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时，S△BOC＝3S△COD 14．（2026春•绿园区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且BC+AD＝12，则BC的长为　 　 ． 15．（2026•江夏区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为BC的中点，CD⊥AB于点D，连接AM，CD相交于点N，若∠AMC＝∠DMB，BD＝2，则MN的长为 　 　 ． 16．（2026春•东西湖区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠ACD＝3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠DCE＝ 　 　 °． 17．（2026春•仓山区期中）如图，以线段AB为斜边向两侧作Rt△ABC和Rt△ABD，∠ACB＝∠ADB＝90°，E是线段AB的中点，连接CE，DE．若∠CED＝100°，则∠CBD的度数为　 　 ． 18．（2026春•青羊区校级月考）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F分别为AC、BD的中点，连接BE、DE，AC＝26，BD＝24．则EF的长为　 　 ． 19．（2026•建邺区一模）已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证： ①BM＝DM； ②MN⊥BD． 20．（2025秋•姜堰区月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）求证：△MEF是等腰三角形； （2）若∠A＝72°，求∠EMF的度数． 21．（2024秋•连州市期末）如图1，BD是Rt△ABC斜边AC上的中线． （1）求证：BDAC； （2）如图2，AB＝6，BC＝8，点P是BC上一个点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F．当P在BC上移动时，求PE+PF的值． 【考点3】直角三角形的全等判定（第22–32题） · HL定理是直角三角形特有的判定方法。 · 结合SAS、ASA、AAS等判定方法综合运用。 · 注意寻找公共边、公共角等隐含条件。 22．（2026春•运城月考）下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．两条直角边分别相等 B．斜边和一个锐角分别相等 C．两个锐角分别相等 D．斜边和一条直角边分别相等 23．（2025秋•蓬莱区期末）如图，已知△ABC，且AB＝AC，AE＝AF，AD⊥BC于点D，且E、F在BC上，则图中共有多少对全等的直角三角形（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（2025秋•临夏州期末）在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 25．（2024秋•临清市期末）如图，∠C＝∠D＝90°，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添加的一个条件是（　　） A．AB平分∠CAD B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC 26．（2026春•同步）如图，点A，C，E在同一条直线上，已知∠A＝∠DEC＝90°，AB＝CE，BC＝DC，则Rt△CED≌　 　 ，判定的依据是　 　 ，此时∠BCD的度数为　 　 ． 27．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝∠D＝90°，若要根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DFE，则需添加的一个条件可以是 　 　 （写出一个即可）． 28．（2024春•宁远县期中）能使两个直角三角形全等的条件有 　 　 ． ①一条直角边及其对角对应相等； ②斜边和一条直角边对应相等； ③斜边和一锐角对应相等； ④两个锐角对应相等． 29．（2024秋•同步）如图，已知BD⊥AE于点B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D或　 　 或　 　 或　 　 或　 　 或　 　 ． 30．（2025秋•普陀区校级月考）如图，AB⊥AF，CD⊥DE，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 31．（2024秋•城关区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AF＝DE，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE． 32．（2025春•陈仓区期中）如图，AB＝CD，AF＝CE，BE⊥AC与点E，DF⊥AC与点F．求证Rt△ABE≌Rt△CDF． 【考点4】创新及压轴题（第33–35题） · “完美点”问题：理解定义，运用斜边中线性质。 · 动点问题：抓住不变量，利用直角三角形性质求解。 · 综合证明题：灵活运用多种性质与判定。 33．（2024秋•浦口区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点． 解决问题： （1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由． （2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数． 34．（2023春•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一动点（不与B，C重合），DE⊥AB于点E，点F是线段AD的中点，连接EF，CF． （1）试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明． （2）若∠BAC＝30°，连接CE，在D点运动过程中，探求CE与AD的数量关系． 35．（2022秋•浦东新区期末）如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC＝90°，在DC取点F，使DF＝BE，分别联结BD、EF． （1）求证：DE＝BE； （2）求证：EF垂直平分BD． 随堂检测 · 精选练习 练习1：直角三角形斜边中线 练习2：垂直平分线与角度 练习3：直角三角形综合计算 练习4：斜边中线与最值 练习5：动点与角平分线 【练习1】（2026春•雷州市期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠BCD＝55°，则∠A＝（　　） A．55° B．45° C．60° D．35° 【练习2】（2026春•青羊区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E．连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝4：7．则∠ADC的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【练习3】（2025秋•鄞州区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，延长BC至点D，连结AD，使得2AD＝BC． （1）若∠ABC＝20°，则∠CAD的度数为　 　 ； （2）若AB＝7，，则AC的值为　 　 ． 【练习4】（2025春•滑县期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 　 　 ． 【练习5】（2026春•鲤城区校级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，点D在射线BC上运动，DE⊥AD交射线AC于点E． （1）如图1，若∠BAC＝60°，当AD平分∠BAC时，求∠EDC的度数； （2）如图2，当点D在线段BC上时， ①判断∠EDC与∠BAD的数量关系并说明理由； ②作EF⊥BC于点F，∠BAD、∠DEF的角平分线相交于点G，随着点D的运动，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由； （3）如图3，当点D在BC的延长线上时，作EF⊥BD于点F，∠BAD的角平分线和∠DEF的角平分线的反向延长线相交于点G，∠G的度数会变化吗？如果不变，求出∠G的度数；如果变化，说明理由． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：斜边中线综合 作业2：全等判定判断 作业3：等腰三角形与中线 作业4：勾股定理与中线 作业5：动点与最值 作业6：角度计算作 业7：斜边中线与角度 作业8：中线与垂直 作业9：角平分线与高 作业10：综合探究 ❤ 复习建议 熟记基本性质： 两锐角互余、斜边中线等于斜边一半，是解决直角三角形问题的核心工具。 HL判定需谨慎： 只有斜边和一条直角边对应相等时才能直接判定，注意区分其他判定方法。 构造辅助线： 取斜边中点、作高、构造直角三角形是常见的辅助线添加方法。 角度计算多用外角： 三角形外角等于不相邻两内角之和，常用于求角度。 综合题要善于转化： 将复杂问题转化为直角三角形问题，利用性质逐步求解。 【作业1】（2025秋•西湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．6 B．9 C． D． 【作业2】（2025春•太原月考）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一条直角边分别相等 B．一个锐角和斜边分别相等 C．两条直角边分别相等 D．两个锐角分别相等 【作业3】（2025•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED．若BC＝6，AE＝4．则DE为（　　） A．4 B．2.5 C．3 D． 【作业4】（2025春•渌口区校级期中）笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为5km，BC的长为12km，则C，D之间的距离为 　 　 km． 【作业5】（2025秋•姜堰区月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝5，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为　 　 ． 【作业6】（2025秋•和平区校级月考）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是　 　 ． 【作业7】（2025秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF，CE都是这个三角形的高，P为AC的中点，若∠B＝43°，则∠EPF的度数为　 　 ． 【作业8】（2025秋•静安区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的周长． 【作业9】（2025秋•横山区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝32°，∠B＝76°，CE和CD分别是△CAB的角平分线和高，点F为CE上一点，连接DF，且∠CDF＝68°，求证：△CDF是直角三角形． 【作业10】（2020春•重庆期末）如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $