专题22.3 勾股定理 【暑假预习】提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题22.3 勾股定理（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握勾股定理及其逆定理，能熟练运用勾股定理求直角三角形的边长。 · 理解勾股定理的多种证明方法（如赵爽弦图、面积法）。 · 掌握勾股数的概念，能识别和生成勾股数。 · 能运用勾股定理解决实际问题（如最短路径、测量、台风影响等）。 · 培养数形结合、分类讨论等数学思想方法。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 勾股定理 内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即若直角三角形的两直角边为 、，斜边为 ，则 。 · 应用：已知直角三角形任意两边，求第三边。 · 注意：斜边是最长的边。 ☑ 典型例题 1 题目： 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 解析： 由勾股定理，斜边 。 答案： A ☆ 2. 勾股定理的证明 常见证明方法： · 赵爽弦图： 用四个全等的直角三角形拼成正方形，利用面积关系证明。 · 面积法： 利用图形面积的不同表示方法得到等式。 · 其他：欧几里得证法、达·芬奇证法等。 ☑ 典型例题 2 题目： 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） 解析： A、B、D均可通过面积关系推导出勾股定理，C不能。 答案： C ☆ 3. 勾股定理逆定理 内容： 如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且 为斜边。 · 用于判断一个三角形是否为直角三角形。 · 注意：计算时需先确定最大边。 ☑ 典型例题 3 题目： 下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 12，15，25 C. 6，8，11 D. 3，4，5 解析： 验证 ，符合勾股定理逆定理。 答案： D ☆ 4. 勾股数 定义： 满足 的三个正整数 、、 称为勾股数。 · 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等。 · 勾股数的整数倍仍是勾股数。 ☑ 典型例题 4 题目： 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. 24，25，8 B. 1.5，2，2.5 C. 1，， D. 10，24，26 解析： ，且均为正整数。 答案： D ☆ 5. 勾股定理的应用（一） 解决实际问题，如： · 求线段长度（如树折断、梯子滑动等）。 · 求两点间距离（如网格、坐标等）。 · 判断是否受台风影响等。 ☑ 典型例题 5 题目： 如图，一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前的高度为（ ） 解析： 由勾股定理，折断部分 米，树高 米。 答案： A（16米） ☆ 6. 勾股定理的应用（二） 与最短路径、面积、动态问题结合，常需构造直角三角形。 · 利用“两点之间线段最短”和勾股定理求最值。 · 分类讨论动点问题中的等腰三角形等。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P从A开始沿AB方向以1cm/s运动，点Q从B开始沿BC方向以2cm/s运动，同时出发，t秒后，当直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分时，t的值为（ ） 解析： AC=10，周长24，半周12。当P在AB上，Q在BC上时，BP+BQ=12，即(8-t)+2t=12，t=4；当P在AB上，Q在AC上时，AP+AQ=12，即t+(16-2t)=12，t=4。综上t=4。 答案： 4 ☆ 知识总结表 核心概念 内容/公式 注意事项 勾股定理 （直角边a,b，斜边c） 斜边为最长边 勾股定理逆定理 若，则△为直角三角形 c为最大边 勾股数 满足的正整数三元组 整数倍仍为勾股数 证明方法 面积法、赵爽弦图等 关键：用不同方式表示同一面积 应用 求边长、距离、判断形状、最短路径等 注意构造直角三角形 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】勾股定理（第1–6题） · 已知直角三角形的两边，用勾股定理求第三边。 · 注意：当已知两边时，要分清是直角边还是斜边。 1．（2026春•莲湖区期中）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 2．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 3．（2025秋•英德市期末）已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 4．（2026•赣榆区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段CD的长为（　　） A． B． C．6 D． 5．（2025秋•黄岩区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 6．（2026春•鞍山月考）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 【考点2】勾股定理的证明（第7–13题） · 掌握常见证明方法的面积关系。 · 能识别不同图形是否可证勾股定理。 7．（2026春•东川区期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026•西安一模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形ABCD，四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O，则OE的长为（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•淄博期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 10．（2026春•城东区校级期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为　 　 ． 12．（2024•麦积区一模）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和4．则中间小正方形的边长是 　 　 ． 13．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【考点3】勾股定理逆定理（第14–20题） · 判断三角形是否为直角三角形：计算较小两边的平方和是否等于最大边的平方。 · 常与三角形内角和、勾股数结合。 14．（2026春•北京校级期中）下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（　　） A．4，5，6 B．12，15，25 C．6，8，11 D．3，4，5 15．（2026•苍南县二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 16．（2025秋•朝阳区校级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 17．（2026春•新华区校级月考）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　 　 ． 18．（2025秋•四川校级期末）已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 　 　 ． 19．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积． 20．（2026春•惠城区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【考点4】勾股数（第21–26题） · 勾股数必须是正整数。 · 常见勾股数要熟记，便于快速识别。 21．（2026春•栾城区期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．24，25，8 B．1.5，2，2.5 C．1，， D．10，24，26 22．（2026春•越秀区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 23．（2025秋•新安县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（　　） A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形 C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 24．（2026春•同步）有一组勾股数8，x，15，其中x的值为（　　） A． B．17 C．13或17 D．17或 25．（2026春•仙桃校级期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　 　 ． 26．（2024秋•蓝田县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　 ． 【考点5】勾股定理的应用（第27–33题） · 实际问题中抽象出直角三角形，应用勾股定理。 · 注意单位统一和分类讨论。 27．（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．16m B．17m C．19m D．20m 28．（2026春•庐江县校级期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置50cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．90cm B．100cm C．120cm D．125cm 29．（2026春•西城区校级期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 30．（2026春•头屯河区校级期中）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝64，S3＝289，则边AC的长度为（　　） A．15 B．225 C．81 D．25 31．（2026春•海沧区校级期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 32．（2026春•东城区校级期中）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 33．（2026春•道里区校级期中）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑　 　 m． 【考点6】创新及压轴题（第34–36题） · 结合面积、动点、最短路径等综合问题。 · 灵活运用勾股定理和几何变换。 34．（2026春•北京期中）阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　 　 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由． 35．（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　 　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　 　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 36．（2025秋•泰宁县校级期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 随堂检测 · 精选练习 练习1：勾股定理与等腰直角三角形 练习2：勾股树面积 练习3：数轴上表示无理数 练习4：勾股定理实际应用（叉车） 练习5：台风影响问题 【练习1】（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝22.5°，AD是△ABC的高，AE为BC边上的中线．若AD＝4，则边BC的长为（　　） A． B．8 C． D．16 【练习2】（2026春•庐阳区校级期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为（　　） A．5 B．12 C．7 D．9 【练习3】（2026春•呼兰区期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝2（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【练习4】（2026春•唐山校级月考）如图，某物流公司仓库内有一座高17m的货架AB，货架顶部安装了一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？ 【练习5】（2026春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 课后巩固 · 针对性练习 作业1：勾股定理逆定理判断 作业2：非负性求边长分类 作业3：等腰三角形与勾股定理 作业4：小鸟飞行最短距离 作业5：楼梯地毯长度 作业6：动点等腰三角形 作业7：大树折断高度 作业8：勾股定理求平方和 作业9：点到直线距离分类 作业10：动点周长分割 ❤ 复习建议 熟记定理： 勾股定理及其逆定理是核心，务必准确掌握公式和适用条件。 理解证明： 掌握赵爽弦图等经典证明方法，体会数形结合思想。 分类讨论： 在求边长或判断三角形时，注意斜边和直角边的区分，以及多解情况。 实际应用建模： 将实际问题转化为直角三角形问题，构造方程求解。 综合提升： 结合动点、面积、最短路径等，培养综合解题能力。 【作业1】（2026春•武昌区校级月考）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，19 D．7，24，25 【作业2】（2026春•城东区校级期中）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．4 【作业3】（2026•张家口一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D是线段BC上一点（不与端点重合），且∠ADB＝2∠B，则BD+AD＝（　　） A． B．8 C．10 D．12 【作业4】（2026春•中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【作业5】（2026春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．30m B．25m C．18m D．17m 【作业6】（2026春•四川校级期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿B→C→A方向运动，设运动时间为t秒，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是　 　 s． 【作业7】（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有　 　 米． 【作业8】（2026春•广州校级月考）Rt△ABC中，三边分别为a，b，c，斜边c＝2，则a2+b2+c2的值为 　 　 ． 【作业9】（2026•道里区模拟）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，则点A到BC的距离为　 　 ． 【作业10】（2026春•德州月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，若点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，且时间为t． （1）当出发2秒时，求△PQB的周长． （2）运动过程中，直线PQ可否将△ABC的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 专题22.3 勾股定理 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．考点1：勾股定理（共6小题） 1．（2026春•莲湖区期中）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 【分析】连接BD、AC、AB、BC，由勾股定理分别求出BD、AC、AB、BC的长，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD、AC、AB、BC， 由勾股定理得：BD，AC，AB，BC， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】先由面积法求出BD，则BC＝2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AD，然后由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：∵S△ABD，AE是边BC上的高，AE＝2， ∴BD×2， ∴BD， ∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2， ∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， ∴ADBC2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE1， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2025秋•英德市期末）已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【分析】由直角三角形两直角边长分别为3和4，由勾股定理即可得它的斜边长5． 【解答】解：由直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理． 4．（2026•赣榆区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段CD的长为（　　） A． B． C．6 D． 【分析】延长AD交BC的延长线于点E，由勾股定理求出AC＝12，由题意得到BD平分∠ABC，AD⊥BD，由三角形内角和定理推出∠BAD＝∠BED，得到BE＝BA＝13，求出CE＝8，由等腰三角形的性质推出AD＝DE，由勾股定理得到AE＝4，由直角三角形斜边中线的性质推出CDAE＝2． 【解答】解：延长AD交BC的延长线于点E， ∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， 由题意得到：BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BED， ∴BE＝BA＝13， ∴CE＝BE﹣BC＝13﹣5＝8， ∵AB＝EB，BD⊥AE， ∴AD＝DE， 由勾股定理得到：AE4， ∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE， ∴CDAE＝2． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到CDCE． 5．（2025秋•黄岩区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【分析】由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，再求出S1+S2＝S△ABCAB•AC，然后证明（AB﹣AC）2＝0，得出AB＝AC即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，求出S1+S2＝S△ABC是解题的关键． 6．（2026春•鞍山月考）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50＝100， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键． 二．考点2：勾股定理的证明（共7小题） 7．（2026春•东川区期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意； B、梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； C、不能证明勾股定理，本选项符合题意； D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用． 8．（2026•西安一模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形ABCD，四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O，则OE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理得出EF，进而利用正方形的性质得出OE即可． 【解答】解：由题意可知，AF＝2，AE＝3， ∴， ∵四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O， ∴OE， 故选：A． 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出EF解答． 9．（2025秋•淄博期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 10．（2026春•城东区校级期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】解：在①选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， 在①选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ababc2（a+b）（a+b）， 整理可得a2+b2＝c2，故③可以证明勾股定理； 此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和， 所以S△ABC+S△ACD＝S△ABD+S△BCD 即b2abc2a（b﹣a）， 整理：b2+ab＝c2+a（b﹣a） b2+ab＝c2+ab﹣a2 ∴a2+b2＝c2． 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 11．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2 ． 【分析】六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为c， ∴ ∵六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为2ab．中间小正方形的边长为b﹣a，面积为 （b﹣a）2． ∵正方形ABCD与六边形MNDEFB面积相等： ∴c2＝2ab+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2． 所以关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2． 故答案为：c2＝a2+b2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时注意数形结合思想的运用． 12．（2024•麦积区一模）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和4．则中间小正方形的边长是 　1　 ． 【分析】将长的直角边减去短直角边即为中间小正方形的边长． 【解答】解：中间小正方形的边长是：4﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查“赵爽弦图”，发现中间小正方形的边长与两直角边长之间的关系是解题的关键． 13．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设CA＝x千米，则AH＝（x﹣18）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）AH为y米，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）∵， 又∵， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA为x米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA中，CH＝24米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米． （3）由题意设：AH为y米， 又∵AB＝21米，AC＝15米，BC＝18米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：， ∴若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，则AH的长度为米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三．考点3：勾股定理逆定理（共7小题） 14．（2026春•北京校级期中）下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（　　） A．4，5，6 B．12，15，25 C．6，8，11 D．3，4，5 【分析】利用勾股定理的逆定理判断，只需验证两个较小边长的平方和是否等于最长边长的平方，若相等则可构成直角三角形． 【解答】解：A、∵42+52＝41，62＝36， ∴42+52≠62，不能构成直角三角形，所以选项A错误，不符合题意； B、∵122+152＝369、252＝625， ∴122+152≠252，不能构成直角三角形，所以选项B错误，不符合题意； C、∵62+82＝100，112＝121， ∴62+82≠112，不能构成直角三角形，所以选项C错误，不符合题意； D、∵32+42＝25，52＝25， ∴32+42＝52，能构成直角三角形，所以选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是相关定理的熟练掌握． 15．（2026•苍南县二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 【分析】根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM，进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：由勾股定理可得，AM，CM＝PQ＝DM，BM＝3， 由图可知，DM∥PQ， 过P作PH∥MC， 在△PHQ中，PH＝PQ＝CM，QH， ∴PH2+PQ2＝HQ2， ∴PH⊥PQ， ∴CM⊥PQ， 故选：C． 【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM解答． 16．（2025秋•朝阳区校级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【分析】先根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误，再根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误即可． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝5α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3α+4α+5α＝180°， 解得：α＝15°， ∴∠C＝5α＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， 故D不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2026春•新华区校级月考）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后利用角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴3×4＝4CD+5DE， 解得：CD＝DE， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2025秋•四川校级期末）已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 　4.8　 ． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式得出S，再求出h即可． 【解答】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， ∵三角形的三边分别为6，8，10， ∴62+82＝102， ∴三角形是直角三角形（斜边长是10）， ∵三角形的面积S， 解得：h＝4.8， 故答案为：4.8． 【点评】本题考查了三角形的面积和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 19．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积． 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案． 【解答】解：连接AC， 在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC5， S△ABCAB•BC4×3＝6， 在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S△ACDAC•AD5×12＝30． ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 20．（2026春•惠城区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3； ②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t， （i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6； （ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当t＝3或或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3）∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12． ①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上， 则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12， 解得t＝4， 如图所示，此时点P刚好运动到点C； ②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上， 由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意； ③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意； ④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上， 则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6， AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12， 解得t＝12， 如图所示，此时点P刚好回到点B． 综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，正确进行计算是解题关键． 四．考点4：勾股数（共6小题） 21．（2026春•栾城区期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．24，25，8 B．1.5，2，2.5 C．1，， D．10，24，26 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵242+82≠252， ∴24，25，8不是勾股数，不符合题意； B、∵1.5，2，2.5不都是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，不符合题意； C、∵1，，不都是正整数， ∴1，，不是勾股数，不符合题意； D、∵102+242＝262， ∴10，24，26是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 22．（2026春•越秀区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一判断即可． 【解答】解：根据勾股数的定义逐项分析判断如下： 选项A中，0.6，0.8不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项B，32+42＝9+16＝25＝52，且三个数均为正整数，是勾股数，符合题意． 选项C中，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项D，42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题关键． 23．（2025秋•新安县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（　　） A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形 C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可． 【解答】解：A、∵a：b：c＝7：24：25， ∴设a＝7k，b＝24k，c＝25k， ∵a2+b2＝（7k）2+（24k）2＝625k2，c2＝（25k）2＝625k2， ∴a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， 故不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故符合题意； C、∵a，b，c长分别为6，8，10， ∴a2+b2＝c2，且a，b，c长都是正整数， ∴a，b，c是一组勾股数． 故不符合题意； D、∵∠A﹣∠B＝∠C①， ∠A+∠B+∠C＝180°②， 将①代入②得：2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键． 24．（2026春•同步）有一组勾股数8，x，15，其中x的值为（　　） A． B．17 C．13或17 D．17或 【分析】根据勾股数的概念计算即可． 【解答】解：当x＞15时，x17，符合题意， 当x＜15时，x， ∵不是正整数，不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股数的定义，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 25．（2026春•仙桃校级期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　13，84，85　 ． 【分析】观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 则第三个数字为b+1， 由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2， 即169+b2＝b2+2b+1， 整理得169＝2b+1， 解得b＝84， 故b+1＝85． 因此第⑥组勾股数为13，84，85． 故答案为：13，84，85． 【点评】本题考查了数的规律问题，勾股数．熟练掌握该知识点是关键． 26．（2024秋•蓝田县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　25　 ． 【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可． 【解答】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 五．考点5：勾股定理的应用（共7小题） 27．（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．16m B．17m C．19m D．20m 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝6m，AB＝8m， ∴AC（m）， ∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝10+6＝16（m）． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 28．（2026春•庐江县校级期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置50cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．90cm B．100cm C．120cm D．125cm 【分析】设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+10）cm，因荷花偏离原位置50cm，那么水深hcm与水平距离50cm组成一个以（h+10）cm为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+10）cm， 根据题意得（h+10）2＝502+h2， 解得h＝120， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深hcm与水平距离50cm组成一个以（h+10）cm为斜边的直角三角形”是解决此题的关键． 29．（2026春•西城区校级期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形DCBE是矩形，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠B＝∠DCB＝90°， ∴四边形DCBE是矩形， ∴BE＝CD＝1.1米，DE＝CB＝1.2米（矩形的性质）， ∵AE＝AB﹣BE＝1.6﹣1.1＝0.5（米）， ∴（米）． 则该感应器感应长度AD为1.3米， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是相关定理的熟练掌握． 30．（2026春•头屯河区校级期中）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝64，S3＝289，则边AC的长度为（　　） A．15 B．225 C．81 D．25 【分析】算术平方根的应用，由勾股定理得BC2+AC2＝AB2，即得S1+S2＝S3，可得S2＝225，即得AC2＝225，进而根据算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：由条件可知S1+S2＝S3， ∴64+S2＝289， ∴S2＝225，即AC2＝225， ∴AC＝15， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 31．（2026春•海沧区校级期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为xcm， 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 32．（2026春•东城区校级期中）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【分析】由题意可知OA＝6，OB＝8，由勾股定理逆定理可知∠AOB＝90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【解答】解：如图： 由题意得：OB＝16×0.5＝8，OA＝12×0.5＝6， ∵AB＝10， ∴OA2+OB2＝62+82＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴二号舰航行的方向是南偏东60°， 故选：C． 【点评】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 33．（2026春•道里区校级期中）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑　0.4　 m． 【分析】根据勾股定理，可得OA，OC，即可求解． 【解答】解：根据题意可得：AB＝CD＝2.5m，OB＝0.7m，BD＝0.8m，∠AOD＝90°， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2.4（m）， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OC2（m）， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）， ∴梯子顶端沿墙AO下滑0.4m， 故答案为：0.4． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 六．创新及压轴题（共3小题） 34．（2026春•北京期中）阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　3　 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由． 【分析】（1）如图①，，可得S1+S2＝S3；如图②，，故得S1+S2＝S3．如图③，如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点H作HI⊥GF，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得S1+S2＝S3； （2）如图④，，可证得S1+S2＝S3． 【解答】解：（1）以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形， 如图，， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． 如图，， ∵a2+b2＝c2， ∴． 如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点H作HI⊥GF，垂足为I， Rt△GHI中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得a2+b2＝c2， ∴； 故图①②③中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个． 故答案为：3； （2）S1+S2＝S3，理由如下： 设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3， ， ． ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2﹣c2＝0， ∵， ∴S1+S2＝S3． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 35．（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　18　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【分析】任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF，则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小，当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD，过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形，求得BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ，当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′，过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论； 任务三．根据题意弧长图形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 36．（2025秋•泰宁县校级期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由： ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口， ∵ED（km）， ∴EF＝2ED＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 七．随堂练习（共5小题） 【练习1】（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝22.5°，AD是△ABC的高，AE为BC边上的中线．若AD＝4，则边BC的长为（　　） A． B．8 C． D．16 【分析】先由直角三角形斜边中线的性质得到，然后由等边对等角以及三角形的外角性质得到△ADE为等腰直角三角形，再由勾股定理求解AE即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AE为BC边上的中线， ∴， ∴∠C＝∠EAC＝22.5°， ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝45°， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形，AD＝DE＝4， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 【练习2】（2026春•庐阳区校级期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为（　　） A．5 B．12 C．7 D．9 【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可． 【解答】解：如图，正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， 在Rt△PQR中，由勾股定理得：QR2＝PR2+PQ2， ∴SE＝SA+SB＝3+2＝5， 同理可得，SF＝SC+SD＝7， ∴SG＝SE+SF＝12， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【练习3】（2026春•呼兰区期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝2（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理求出OB，则OP＝OB，即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵AB⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∴OB， ∴OP＝OB， ∴点P所表示的数是， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理以及实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【练习4】（2026春•唐山校级月考）如图，某物流公司仓库内有一座高17m的货架AB，货架顶部安装了一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？ 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，在Rt△AED根据勾股定理求出ED的长，设DD′＝xm，则D′E＝（20﹣x）m，在Rt△CED′中根据勾股定理列方程求出x即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E， 由题意得：AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17+5﹣2＝20（m）， 在Rt△AED中，由勾股定理得：ED2＝AD2﹣AE2， ∴252﹣152＝ED2， 解得：ED＝20（负值已舍去）， 设DD′＝xm，则D′E＝（20﹣x）m， 在Rt△CED′中，由勾股定理得：′E2+CE2＝CD′2， ∴（20﹣x）2+202＝252， 解得：x＝5， ∴叉车向货架方向行驶5米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 【练习5】（2026春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 八．课后巩固（共10小题） 【作业1】（2026春•武昌区校级月考）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，19 D．7，24，25 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【解答】解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，不符合题意； B、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意； C、82+152≠192，不能构成直角三角形，符合题意； D、72+242＝252，能构成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【作业2】（2026春•城东区校级期中）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．4 【分析】先利用非负数的性质求出m，n的值，再分情况结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解． 【解答】解：∵绝对值和算术平方根都是非负数，且满足， ∴|m﹣2|＝0，， 解得m＝2，n＝4， ①当n为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； ②当第三边长为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； 综上，第三边长为或． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，非负数的性质：算术平方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业3】（2026•张家口一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D是线段BC上一点（不与端点重合），且∠ADB＝2∠B，则BD+AD＝（　　） A． B．8 C．10 D．12 【分析】延长DC至点E，使DE＝DA，得到等腰三角形DAE，再由外角的性质得到等腰三角形ABE，由等腰三角形三线合一的性质得到BE＝10即可求解． 【解答】解：如图所示，延长DC至点E，使DE＝DA， 由条件可知∠DAE＝∠E， ∴∠ADB＝∠DAE+∠E＝2∠E． ∵∠ADB＝2∠B， ∴∠B＝∠E， ∴△ABE是等腰三角形． ∴BC＝CE＝5， ∴BE＝10， ∴BD+AD＝BD+DE＝BE＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 【作业4】（2026春•中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：∵一棵高8米，另一棵高2米， ∴两棵树的高度差为8﹣2＝6m， ∵间距为8m， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（m）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【作业5】（2026春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．30m B．25m C．18m D．17m 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【解答】解：如图， 由题意得，AB＝13m，BC＝5m，BC⊥AC， ∴， ∴地毯的长度至少需要AC+BC＝12+5＝17（m）． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【作业6】（2026春•四川校级期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿B→C→A方向运动，设运动时间为t秒，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是　5.5或6或6.6　 s． 【分析】点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t； ②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t； ③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解答】解：△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10cm． 分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝5， ∴BC+CQ＝11， ∴t＝11÷2＝5.5（秒）． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12， ∴t＝12÷2＝6（秒）． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm）， ∴CE3.6（cm）， ∴CQ＝2CE＝7.2（cm）， ∴BC+CQ＝13.2（cm）， ∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）． 由上可知，当运动时间为5.5或6或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形． 故答案为：5.5或6或6.6． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定，难度适中，注意分类讨论思想的应用． 【作业7】（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有　16　 米． 【分析】由勾股定理求出AB＝10米，再求出AC+AB＝16米即可． 【解答】解：如图， 由题意可知，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米， ∴AB10（米）， ∴AC+AB＝6+10＝16（米）， 即大树折断前有16米， 故答案为：16． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【作业8】（2026春•广州校级月考）Rt△ABC中，三边分别为a，b，c，斜边c＝2，则a2+b2+c2的值为 　8　 ． 【分析】先由勾股定理求得a2+b2＝c2＝4，然后求得a2+b2+c2的值． 【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边c＝2， ∴a2+b2＝c2＝22＝4， ∴a2+b2+c2＝4+4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知直角三角形三边的关系． 【作业9】（2026•道里区模拟）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，则点A到BC的距离为　或6　 ． 【分析】分两种情况讨论：当AC为直角边时和当AC为斜边时． 【解答】解：（Ⅰ）当AC为直角边时，过点A作BC的垂线，交BC于点D，线段AD的长度即为点A到BC的距离． ． 因为， 所以． （Ⅱ）当AC为斜边时，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，线段AB的长度即为点A到BC的距离，即点A到BC的距离为6． 综上所述，点A到BC的距离为或6． 故答案为：或6． 【点评】本题主要考查勾股定理和点到直线的距离，正确进行计算是解题关键． 【作业10】（2026春•德州月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，若点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，且时间为t． （1）当出发2秒时，求△PQB的周长． （2）运动过程中，直线PQ可否将△ABC的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP和BQ，再求出BP，用勾股定理求得PQ即可； （2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论 【解答】解：（1）由题意得：当t＝2秒时，AP＝1×2＝2，BQ＝2×2＝4， 又∵AB＝8，∠B＝90°， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm． 在Rt△PQB中，由勾股定理得： cm． ∴cm， 所以△PQB的周长为（10+2）cm； （2）∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝6+8+10＝24cm， ∴当0≤t≤3时，P在AB上，Q在BC上， ∴BQ＝2t，AP＝t， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t， 由题意得：． ∴2t+8﹣t＝12， 整理得，t＝12﹣8， 解得t＝4． 不符合0≤t≤3，故舍去． 当3＜t≤8时，P在AB上，Q在AC上， ∴AQ＝BC+AC﹣2t＝16﹣2t，AP＝t， 由题意得：， ∴16﹣2t+t＝12， 整理得，t＝16﹣12， 解得t＝4． ∴综上所述，当t＝4时，直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.3 勾股定理（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握勾股定理及其逆定理，能熟练运用勾股定理求直角三角形的边长。 · 理解勾股定理的多种证明方法（如赵爽弦图、面积法）。 · 掌握勾股数的概念，能识别和生成勾股数。 · 能运用勾股定理解决实际问题（如最短路径、测量、台风影响等）。 · 培养数形结合、分类讨论等数学思想方法。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 勾股定理 内容： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即若直角三角形的两直角边为 、，斜边为 ，则 。 · 应用：已知直角三角形任意两边，求第三边。 · 注意：斜边是最长的边。 ☑ 典型例题 1 题目： 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 解析： 由勾股定理，斜边 。 答案： A ☆ 2. 勾股定理的证明 常见证明方法： · 赵爽弦图： 用四个全等的直角三角形拼成正方形，利用面积关系证明。 · 面积法： 利用图形面积的不同表示方法得到等式。 · 其他：欧几里得证法、达·芬奇证法等。 ☑ 典型例题 2 题目： 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） 解析： A、B、D均可通过面积关系推导出勾股定理，C不能。 答案： C ☆ 3. 勾股定理逆定理 内容： 如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且 为斜边。 · 用于判断一个三角形是否为直角三角形。 · 注意：计算时需先确定最大边。 ☑ 典型例题 3 题目： 下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（ ） A. 4，5，6 B. 12，15，25 C. 6，8，11 D. 3，4，5 解析： 验证 ，符合勾股定理逆定理。 答案： D ☆ 4. 勾股数 定义： 满足 的三个正整数 、、 称为勾股数。 · 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等。 · 勾股数的整数倍仍是勾股数。 ☑ 典型例题 4 题目： 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. 24，25，8 B. 1.5，2，2.5 C. 1，， D. 10，24，26 解析： ，且均为正整数。 答案： D ☆ 5. 勾股定理的应用（一） 解决实际问题，如： · 求线段长度（如树折断、梯子滑动等）。 · 求两点间距离（如网格、坐标等）。 · 判断是否受台风影响等。 ☑ 典型例题 5 题目： 如图，一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前的高度为（ ） 解析： 由勾股定理，折断部分 米，树高 米。 答案： A（16米） ☆ 6. 勾股定理的应用（二） 与最短路径、面积、动态问题结合，常需构造直角三角形。 · 利用“两点之间线段最短”和勾股定理求最值。 · 分类讨论动点问题中的等腰三角形等。 ☑ 典型例题 6 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P从A开始沿AB方向以1cm/s运动，点Q从B开始沿BC方向以2cm/s运动，同时出发，t秒后，当直线PQ将△ABC周长分成相等的两部分时，t的值为（ ） 解析： AC=10，周长24，半周12。当P在AB上，Q在BC上时，BP+BQ=12，即(8-t)+2t=12，t=4；当P在AB上，Q在AC上时，AP+AQ=12，即t+(16-2t)=12，t=4。综上t=4。 答案： 4 ☆ 知识总结表 核心概念 内容/公式 注意事项 勾股定理 （直角边a,b，斜边c） 斜边为最长边 勾股定理逆定理 若，则△为直角三角形 c为最大边 勾股数 满足的正整数三元组 整数倍仍为勾股数 证明方法 面积法、赵爽弦图等 关键：用不同方式表示同一面积 应用 求边长、距离、判断形状、最短路径等 注意构造直角三角形 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】勾股定理（第1–6题） · 已知直角三角形的两边，用勾股定理求第三边。 · 注意：当已知两边时，要分清是直角边还是斜边。 1．（2026春•莲湖区期中）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 【分析】连接BD、AC、AB、BC，由勾股定理分别求出BD、AC、AB、BC的长，即可得出结论． 【解答】解：如图，连接BD、AC、AB、BC， 由勾股定理得：BD，AC，AB，BC， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】先由面积法求出BD，则BC＝2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AD，然后由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：∵S△ABD，AE是边BC上的高，AE＝2， ∴BD×2， ∴BD， ∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2， ∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， ∴ADBC2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE1， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（2025秋•英德市期末）已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【分析】由直角三角形两直角边长分别为3和4，由勾股定理即可得它的斜边长5． 【解答】解：由直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理． 4．（2026•赣榆区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，则线段CD的长为（　　） A． B． C．6 D． 【分析】延长AD交BC的延长线于点E，由勾股定理求出AC＝12，由题意得到BD平分∠ABC，AD⊥BD，由三角形内角和定理推出∠BAD＝∠BED，得到BE＝BA＝13，求出CE＝8，由等腰三角形的性质推出AD＝DE，由勾股定理得到AE＝4，由直角三角形斜边中线的性质推出CDAE＝2． 【解答】解：延长AD交BC的延长线于点E， ∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， 由题意得到：BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∴∠BAD＝∠BED， ∴BE＝BA＝13， ∴CE＝BE﹣BC＝13﹣5＝8， ∵AB＝EB，BD⊥AE， ∴AD＝DE， 由勾股定理得到：AE4， ∵∠ACE＝180°﹣90°＝90°，AD＝DE， ∴CDAE＝2． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到CDCE． 5．（2025秋•黄岩区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【分析】由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，再求出S1+S2＝S△ABCAB•AC，然后证明（AB﹣AC）2＝0，得出AB＝AC即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，求出S1+S2＝S△ABC是解题的关键． 6．（2026春•鞍山月考）如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边向外作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形，…，按此规将律，则图3中所有正方形的面积和为（　　） A．100 B．350 C．300 D．250 【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50＝100， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律，熟练掌握勾股定理，找出规律是解题的关键． 【考点2】勾股定理的证明（第7–13题） · 掌握常见证明方法的面积关系。 · 能识别不同图形是否可证勾股定理。 7．（2026春•东川区期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意； B、梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； C、不能证明勾股定理，本选项符合题意； D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用． 8．（2026•西安一模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图①是一个直角边长分别为2和3的直角三角形，用四个这样的全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形ABCD，四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O，则OE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理得出EF，进而利用正方形的性质得出OE即可． 【解答】解：由题意可知，AF＝2，AE＝3， ∴， ∵四边形EFGH是正方形，对角线EG和FH交于点O， ∴OE， 故选：A． 【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出EF解答． 9．（2025秋•淄博期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 10．（2026春•城东区校级期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【解答】解：在①选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， 在①选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴ababc2（a+b）（a+b）， 整理可得a2+b2＝c2，故③可以证明勾股定理； 此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°，再向下平移得到．一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和，另一方面，四边形ABCD的面积等于Rt△ABD和△BCD的面积之和， 所以S△ABC+S△ACD＝S△ABD+S△BCD 即b2abc2a（b﹣a）， 整理：b2+ab＝c2+a（b﹣a） b2+ab＝c2+ab﹣a2 ∴a2+b2＝c2． 故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④． 故选：D． 【点评】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 11．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2 ． 【分析】六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为c， ∴ ∵六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为2ab．中间小正方形的边长为b﹣a，面积为 （b﹣a）2． ∵正方形ABCD与六边形MNDEFB面积相等： ∴c2＝2ab+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2． 所以关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2． 故答案为：c2＝a2+b2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时注意数形结合思想的运用． 12．（2024•麦积区一模）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是3和4．则中间小正方形的边长是 　1　 ． 【分析】将长的直角边减去短直角边即为中间小正方形的边长． 【解答】解：中间小正方形的边长是：4﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查“赵爽弦图”，发现中间小正方形的边长与两直角边长之间的关系是解题的关键． 13．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设CA＝x千米，则AH＝（x﹣18）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）AH为y米，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）∵， 又∵， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA为x米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA中，CH＝24米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米． （3）由题意设：AH为y米， 又∵AB＝21米，AC＝15米，BC＝18米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：， ∴若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，则AH的长度为米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3】勾股定理逆定理（第14–20题） · 判断三角形是否为直角三角形：计算较小两边的平方和是否等于最大边的平方。 · 常与三角形内角和、勾股数结合。 14．（2026春•北京校级期中）下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（　　） A．4，5，6 B．12，15，25 C．6，8，11 D．3，4，5 【分析】利用勾股定理的逆定理判断，只需验证两个较小边长的平方和是否等于最长边长的平方，若相等则可构成直角三角形． 【解答】解：A、∵42+52＝41，62＝36， ∴42+52≠62，不能构成直角三角形，所以选项A错误，不符合题意； B、∵122+152＝369、252＝625， ∴122+152≠252，不能构成直角三角形，所以选项B错误，不符合题意； C、∵62+82＝100，112＝121， ∴62+82≠112，不能构成直角三角形，所以选项C错误，不符合题意； D、∵32+42＝25，52＝25， ∴32+42＝52，能构成直角三角形，所以选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是相关定理的熟练掌握． 15．（2026•苍南县二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 【分析】根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM，进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：由勾股定理可得，AM，CM＝PQ＝DM，BM＝3， 由图可知，DM∥PQ， 过P作PH∥MC， 在△PHQ中，PH＝PQ＝CM，QH， ∴PH2+PQ2＝HQ2， ∴PH⊥PQ， ∴CM⊥PQ， 故选：C． 【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM解答． 16．（2025秋•朝阳区校级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【分析】先根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误，再根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误即可． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝5α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3α+4α+5α＝180°， 解得：α＝15°， ∴∠C＝5α＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， 故D不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2026春•新华区校级月考）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为 　　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后利用角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴3×4＝4CD+5DE， 解得：CD＝DE， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2025秋•四川校级期末）已知三角形的三边分别为6，8，10，则最长边上的高等于 　4.8　 ． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再根据三角形的面积公式得出S，再求出h即可． 【解答】解：设三角形的最长边上的高的长度是h， ∵三角形的三边分别为6，8，10， ∴62+82＝102， ∴三角形是直角三角形（斜边长是10）， ∵三角形的面积S， 解得：h＝4.8， 故答案为：4.8． 【点评】本题考查了三角形的面积和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 19．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积． 【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，分别求出△ABC和△CAD的面积，即可得出答案． 【解答】解：连接AC， 在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC5， S△ABCAB•BC4×3＝6， 在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S△ACDAC•AD5×12＝30． ∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36． 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是能求出△ABC和△CAD的面积，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 20．（2026春•惠城区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3； ②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t， （i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6； （ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当t＝3或或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3）∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12． ①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上， 则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12， 解得t＝4， 如图所示，此时点P刚好运动到点C； ②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上， 由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意； ③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意； ④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上， 则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6， AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12， 解得t＝12， 如图所示，此时点P刚好回到点B． 综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，正确进行计算是解题关键． 【考点4】勾股数（第21–26题） · 勾股数必须是正整数。 · 常见勾股数要熟记，便于快速识别。 21．（2026春•栾城区期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．24，25，8 B．1.5，2，2.5 C．1，， D．10，24，26 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵242+82≠252， ∴24，25，8不是勾股数，不符合题意； B、∵1.5，2，2.5不都是正整数， ∴1.5，2，2.5不是勾股数，不符合题意； C、∵1，，不都是正整数， ∴1，，不是勾股数，不符合题意； D、∵102+242＝262， ∴10，24，26是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． 22．（2026春•越秀区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一判断即可． 【解答】解：根据勾股数的定义逐项分析判断如下： 选项A中，0.6，0.8不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项B，32+42＝9+16＝25＝52，且三个数均为正整数，是勾股数，符合题意． 选项C中，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项D，42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题关键． 23．（2025秋•新安县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（　　） A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形 C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可． 【解答】解：A、∵a：b：c＝7：24：25， ∴设a＝7k，b＝24k，c＝25k， ∵a2+b2＝（7k）2+（24k）2＝625k2，c2＝（25k）2＝625k2， ∴a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， 故不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故符合题意； C、∵a，b，c长分别为6，8，10， ∴a2+b2＝c2，且a，b，c长都是正整数， ∴a，b，c是一组勾股数． 故不符合题意； D、∵∠A﹣∠B＝∠C①， ∠A+∠B+∠C＝180°②， 将①代入②得：2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键． 24．（2026春•同步）有一组勾股数8，x，15，其中x的值为（　　） A． B．17 C．13或17 D．17或 【分析】根据勾股数的概念计算即可． 【解答】解：当x＞15时，x17，符合题意， 当x＜15时，x， ∵不是正整数，不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股数的定义，解题关键是掌握勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 25．（2026春•仙桃校级期中）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　13，84，85　 ． 【分析】观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 则第三个数字为b+1， 由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2， 即169+b2＝b2+2b+1， 整理得169＝2b+1， 解得b＝84， 故b+1＝85． 因此第⑥组勾股数为13，84，85． 故答案为：13，84，85． 【点评】本题考查了数的规律问题，勾股数．熟练掌握该知识点是关键． 26．（2024秋•蓝田县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　25　 ． 【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可． 【解答】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【考点5】勾股定理的应用（第27–33题） · 实际问题中抽象出直角三角形，应用勾股定理。 · 注意单位统一和分类讨论。 27．（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在此次强台风中在距地面6m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为8m，则这棵大树在折断前的高度为（　　） A．16m B．17m C．19m D．20m 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出结论． 【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝6m，AB＝8m， ∴AC（m）， ∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝10+6＝16（m）． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 28．（2026春•庐江县校级期中）古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置50cm（如图），则水的深度BC为（　　） A．90cm B．100cm C．120cm D．125cm 【分析】设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+10）cm，因荷花偏离原位置50cm，那么水深hcm与水平距离50cm组成一个以（h+10）cm为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【解答】解：设荷花入水部分BC长hcm，则荷花的高（h+10）cm， 根据题意得（h+10）2＝502+h2， 解得h＝120， 故选：C． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深hcm与水平距离50cm组成一个以（h+10）cm为斜边的直角三角形”是解决此题的关键． 29．（2026春•西城区校级期中）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形DCBE是矩形，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝∠B＝∠DCB＝90°， ∴四边形DCBE是矩形， ∴BE＝CD＝1.1米，DE＝CB＝1.2米（矩形的性质）， ∵AE＝AB﹣BE＝1.6﹣1.1＝0.5（米）， ∴（米）． 则该感应器感应长度AD为1.3米， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是相关定理的熟练掌握． 30．（2026春•头屯河区校级期中）如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝64，S3＝289，则边AC的长度为（　　） A．15 B．225 C．81 D．25 【分析】算术平方根的应用，由勾股定理得BC2+AC2＝AB2，即得S1+S2＝S3，可得S2＝225，即得AC2＝225，进而根据算术平方根的定义即可求解． 【解答】解：由条件可知S1+S2＝S3， ∴64+S2＝289， ∴S2＝225，即AC2＝225， ∴AC＝15， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 31．（2026春•海沧区校级期中）已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是（　　） A．22cm B．21cm C．20cm D．19cm 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为xcm， 已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm， ∴（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 32．（2026春•东城区校级期中）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【分析】由题意可知OA＝6，OB＝8，由勾股定理逆定理可知∠AOB＝90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【解答】解：如图： 由题意得：OB＝16×0.5＝8，OA＝12×0.5＝6， ∵AB＝10， ∴OA2+OB2＝62+82＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴二号舰航行的方向是南偏东60°， 故选：C． 【点评】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 33．（2026春•道里区校级期中）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑　0.4　 m． 【分析】根据勾股定理，可得OA，OC，即可求解． 【解答】解：根据题意可得：AB＝CD＝2.5m，OB＝0.7m，BD＝0.8m，∠AOD＝90°， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2.4（m）， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OC2（m）， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）， ∴梯子顶端沿墙AO下滑0.4m， 故答案为：0.4． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 【考点6】创新及压轴题（第34–36题） · 结合面积、动点、最短路径等综合问题。 · 灵活运用勾股定理和几何变换。 34．（2026春•北京期中）阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　3　 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由． 【分析】（1）如图①，，可得S1+S2＝S3；如图②，，故得S1+S2＝S3．如图③，如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点H作HI⊥GF，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得S1+S2＝S3； （2）如图④，，可证得S1+S2＝S3． 【解答】解：（1）以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形， 如图，， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． 如图，， ∵a2+b2＝c2， ∴． 如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点H作HI⊥GF，垂足为I， Rt△GHI中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得a2+b2＝c2， ∴； 故图①②③中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个． 故答案为：3； （2）S1+S2＝S3，理由如下： 设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3， ， ． ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2﹣c2＝0， ∵， ∴S1+S2＝S3． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 35．（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　18　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【分析】任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF，则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小，当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD，过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形，求得BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ，当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′，过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论； 任务三．根据题意弧长图形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 36．（2025秋•泰宁县校级期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由： ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口， ∵ED（km）， ∴EF＝2ED＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 随堂检测 · 精选练习 练习1：勾股定理与等腰直角三角形 练习2：勾股树面积 练习3：数轴上表示无理数 练习4：勾股定理实际应用（叉车） 练习5：台风影响问题 【练习1】（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝22.5°，AD是△ABC的高，AE为BC边上的中线．若AD＝4，则边BC的长为（　　） A． B．8 C． D．16 【分析】先由直角三角形斜边中线的性质得到，然后由等边对等角以及三角形的外角性质得到△ADE为等腰直角三角形，再由勾股定理求解AE即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AE为BC边上的中线， ∴， ∴∠C＝∠EAC＝22.5°， ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝45°， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形，AD＝DE＝4， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 【练习2】（2026春•庐阳区校级期中）如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5，则正方形G的面积为（　　） A．5 B．12 C．7 D．9 【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可． 【解答】解：如图，正方形A，B，C，D的面积分别为3，2，2，5， 在Rt△PQR中，由勾股定理得：QR2＝PR2+PQ2， ∴SE＝SA+SB＝3+2＝5， 同理可得，SF＝SC+SD＝7， ∴SG＝SE+SF＝12， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 【练习3】（2026春•呼兰区期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝2（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理求出OB，则OP＝OB，即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵AB⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∴OB， ∴OP＝OB， ∴点P所表示的数是， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理以及实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【练习4】（2026春•唐山校级月考）如图，某物流公司仓库内有一座高17m的货架AB，货架顶部安装了一个高5m的装卸平台AC，现需对该平台进行设备检修．一辆高2m的叉车在货架前点M处，展开25m的升降臂（最长25m）刚好接触到装卸平台底部A点．叉车向货架方向行驶多少米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点？ 【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，在Rt△AED根据勾股定理求出ED的长，设DD′＝xm，则D′E＝（20﹣x）m，在Rt△CED′中根据勾股定理列方程求出x即可． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E， 由题意得：AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17+5﹣2＝20（m）， 在Rt△AED中，由勾股定理得：ED2＝AD2﹣AE2， ∴252﹣152＝ED2， 解得：ED＝20（负值已舍去）， 设DD′＝xm，则D′E＝（20﹣x）m， 在Rt△CED′中，由勾股定理得：′E2+CE2＝CD′2， ∴（20﹣x）2+202＝252， 解得：x＝5， ∴叉车向货架方向行驶5米后，其长25m的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部C点． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 【练习5】（2026春•宁乡市期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可； （2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km， ∴AB500（km）， 答：监测点A与监测点B之间的距离为500km； （2）海港C受台风影响， 理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴S△ABCAC•BCCE•AB， ∴300×400＝500CE， ∴CE＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C会受到此次台风的影响； （3）以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F， 则CD＝CF＝260km时，正好影响C港口， 在Rt△CDE中， ∵ED100（km）， ∴DF＝200km， ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25＝8（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 课后巩固 · 针对性练习 作业1：勾股定理逆定理判断 作业2：非负性求边长分类 作业3：等腰三角形与勾股定理 作业4：小鸟飞行最短距离 作业5：楼梯地毯长度 作业6：动点等腰三角形 作业7：大树折断高度 作业8：勾股定理求平方和 作业9：点到直线距离分类 作业10：动点周长分割 ❤ 复习建议 熟记定理： 勾股定理及其逆定理是核心，务必准确掌握公式和适用条件。 理解证明： 掌握赵爽弦图等经典证明方法，体会数形结合思想。 分类讨论： 在求边长或判断三角形时，注意斜边和直角边的区分，以及多解情况。 实际应用建模： 将实际问题转化为直角三角形问题，构造方程求解。 综合提升： 结合动点、面积、最短路径等，培养综合解题能力。 【作业1】（2026春•武昌区校级月考）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　） A．6，8，10 B．5，12，13 C．8，15，19 D．7，24，25 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【解答】解：A、62+82＝102，能构成直角三角形，不符合题意； B、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意； C、82+152≠192，不能构成直角三角形，符合题意； D、72+242＝252，能构成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【作业2】（2026春•城东区校级期中）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．4 【分析】先利用非负数的性质求出m，n的值，再分情况结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解． 【解答】解：∵绝对值和算术平方根都是非负数，且满足， ∴|m﹣2|＝0，， 解得m＝2，n＝4， ①当n为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； ②当第三边长为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； 综上，第三边长为或． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，非负数的性质：算术平方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业3】（2026•张家口一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，D是线段BC上一点（不与端点重合），且∠ADB＝2∠B，则BD+AD＝（　　） A． B．8 C．10 D．12 【分析】延长DC至点E，使DE＝DA，得到等腰三角形DAE，再由外角的性质得到等腰三角形ABE，由等腰三角形三线合一的性质得到BE＝10即可求解． 【解答】解：如图所示，延长DC至点E，使DE＝DA， 由条件可知∠DAE＝∠E， ∴∠ADB＝∠DAE+∠E＝2∠E． ∵∠ADB＝2∠B， ∴∠B＝∠E， ∴△ABE是等腰三角形． ∴BC＝CE＝5， ∴BE＝10， ∴BD+AD＝BD+DE＝BE＝10． 故选：C． 【点评】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 【作业4】（2026春•中山市校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相聚8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：∵一棵高8米，另一棵高2米， ∴两棵树的高度差为8﹣2＝6m， ∵间距为8m， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离10（m）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【作业5】（2026春•徐闻县期中）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．30m B．25m C．18m D．17m 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【解答】解：如图， 由题意得，AB＝13m，BC＝5m，BC⊥AC， ∴， ∴地毯的长度至少需要AC+BC＝12+5＝17（m）． 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【作业6】（2026春•四川校级期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿B→C→A方向运动，设运动时间为t秒，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是　5.5或6或6.6　 s． 【分析】点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t； ②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t； ③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解答】解：△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10cm． 分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝5， ∴BC+CQ＝11， ∴t＝11÷2＝5.5（秒）． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12， ∴t＝12÷2＝6（秒）． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm）， ∴CE3.6（cm）， ∴CQ＝2CE＝7.2（cm）， ∴BC+CQ＝13.2（cm）， ∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）． 由上可知，当运动时间为5.5或6或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形． 故答案为：5.5或6或6.6． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定，难度适中，注意分类讨论思想的应用． 【作业7】（2026春•海珠区校级期中）如图，一棵大树在离地面6米处折断，树的顶部落在离根部8米处，则大树折断前有　16　 米． 【分析】由勾股定理求出AB＝10米，再求出AC+AB＝16米即可． 【解答】解：如图， 由题意可知，∠ACB＝90°，AC＝6米，BC＝8米， ∴AB10（米）， ∴AC+AB＝6+10＝16（米）， 即大树折断前有16米， 故答案为：16． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【作业8】（2026春•广州校级月考）Rt△ABC中，三边分别为a，b，c，斜边c＝2，则a2+b2+c2的值为 　8　 ． 【分析】先由勾股定理求得a2+b2＝c2＝4，然后求得a2+b2+c2的值． 【解答】解：∵△ABC为直角三角形，斜边c＝2， ∴a2+b2＝c2＝22＝4， ∴a2+b2+c2＝4+4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知直角三角形三边的关系． 【作业9】（2026•道里区模拟）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，则点A到BC的距离为　或6　 ． 【分析】分两种情况讨论：当AC为直角边时和当AC为斜边时． 【解答】解：（Ⅰ）当AC为直角边时，过点A作BC的垂线，交BC于点D，线段AD的长度即为点A到BC的距离． ． 因为， 所以． （Ⅱ）当AC为斜边时，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，线段AB的长度即为点A到BC的距离，即点A到BC的距离为6． 综上所述，点A到BC的距离为或6． 故答案为：或6． 【点评】本题主要考查勾股定理和点到直线的距离，正确进行计算是解题关键． 【作业10】（2026春•德州月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，若点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，且时间为t． （1）当出发2秒时，求△PQB的周长． （2）运动过程中，直线PQ可否将△ABC的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP和BQ，再求出BP，用勾股定理求得PQ即可； （2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论 【解答】解：（1）由题意得：当t＝2秒时，AP＝1×2＝2，BQ＝2×2＝4， 又∵AB＝8，∠B＝90°， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm． 在Rt△PQB中，由勾股定理得： cm． ∴cm， 所以△PQB的周长为（10+2）cm； （2）∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝6+8+10＝24cm， ∴当0≤t≤3时，P在AB上，Q在BC上， ∴BQ＝2t，AP＝t， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t， 由题意得：． ∴2t+8﹣t＝12， 整理得，t＝12﹣8， 解得t＝4． 不符合0≤t≤3，故舍去． 当3＜t≤8时，P在AB上，Q在AC上， ∴AQ＝BC+AC﹣2t＝16﹣2t，AP＝t， 由题意得：， ∴16﹣2t+t＝12， 整理得，t＝16﹣12， 解得t＝4． ∴综上所述，当t＝4时，直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $