7.2.3 第1课时　诱导公式一～四课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式一～四，通过“南京眼”“生命之环”的对称情境导入，结合单位圆对称性引导学生探究角α与π±α、-α的终边关系，搭建从几何直观到公式推导的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以数学抽象为核心，通过单位圆对称分析推导公式，结合“函数名不变，符号看象限”口诀强化记忆。典型例题涵盖给角求值、化简等题型，培养数学运算与逻辑推理能力，助力学生掌握转化方法，也为教师提供系统教学资源。

7.2.3　 三角函数的诱导公式 新课程标准解读 核心素养 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函 数的诱导公式 数学抽象 2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化 简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问 题 数学运算、 逻辑推理 目录 数学·必修第一册（SJ） 第1课时　 诱导公式一～四 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　“南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的 和谐之美.而三角函数与圆（单位圆）是紧密联系的，它的基本性质 是圆的几何性质的代数表示.圆有很好的对称性：圆既是以圆心为对 称中心的中心对称图形，又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称 图形. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　你能否利用这些对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终 边与π±α，－α有什么样的对称关系？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　诱导公式一～四 终边 关系 图示 公式 公 式 一 角2 k π＋α 与角α的 终边相同 sin （α＋2 k π）＝ ⁠； cos （α＋2 k π）＝ ⁠； tan（α＋2 k π）＝ ⁠. 其中， k ∈Z sin α　 cos α　 tan α　 目录 数学·必修第一册（SJ） 终边 关系 图示 公式 公 式 二 角－α与角α的终边关于 　轴对称 sin （－α）＝ ⁠； cos （－α）＝ ⁠； tan（－α）＝ ⁠ x － sin α　 cos α　 －tan α　 目录 数学·必修第一册（SJ） 终边关系 图示 公式 公 式 三 角π－α与角α的终边关于 ⁠　轴对称 sin （π－α）＝ ⁠； cos （π－α）＝ ⁠； tan（π－α）＝ ⁠ 公 式 四 角π＋α与角α的终边关于 ⁠⁠ 对称 sin （π＋α）＝ ⁠； cos （π＋α）＝ ⁠； tan（π＋α）＝ ⁠ y sin α　 － cos α　 －tan α　 原点 － sin α　 － cos α　 tan α　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法：2 k π＋α，－α， π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐 角时原函数值的符号；②记忆口诀：“函数名不变，符号看象 限”.“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函 数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假 设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还 是负值，如 sin （π＋α），若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正 弦在第三象限取负值，故 sin （π＋α）＝－ sin α. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 　诱导公式中角α必须是锐角吗？ 提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠ k π ＋ ， k ∈Z. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 若tan α＝4，则tan（π－α）＝（　　） A. π－4 B. 4π C. －4 D. 4－π 解析： 　tan（π－α）＝－tan α＝－4. 2. 若 sin （3π＋α）＝ ，则 sin α＝（　　） C. 3 D. －3 解析： 　 sin （3π＋α）＝ sin （π＋α）＝－ sin α＝ ，∴ sin α＝－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 求值：（1） sin ＝ 　 　； 解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ . （2） cos ＝ 　－ 　. 解析： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . 　 － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 给角求值 【例1】　（链接教科书第189页例9）求值： （1） sin ； 解： sin ＝ sin （2π＋ ）＝ sin ＝ sin （π－ ）＝ sin ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） cos （－ ）； 解：法一　 cos （－ ）＝ cos ＝ cos （4π＋ ）＝ cos （π＋ ）＝－ cos ＝－ . 法二　 cos （－ ）＝ cos （－6π＋ ）＝ cos （π－ ）＝－ cos ＝－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） （3）tan（－945°）. 解：tan（－945°）＝－tan 945°＝－tan（225°＋2×360°） ＝－tan 225°＝－tan（180°＋45°）＝－tan 45°＝－1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. cos 840°＝（　　） 解析： 　 cos 840°＝ cos （2×360°＋120°）＝ cos 120°＝ cos （180°－60°）＝－ cos 60°＝－ .故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. sin · cos （－ ）·tan ＝ 　－ 　. 解析：原式＝ sin cos tan ＝－ sin cos tan ＝－ × ×1＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 化简求值 【例2】　（链接教科书第190页练习3题）化简： （1） ； 解：原式＝ ＝ ＝1. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 （1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； （2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改 变； （3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用 切化弦，有时也将弦化切. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 化简： ·tan（2π－α）＝ ⁠. 解析：原式＝ ·tan（－α）＝ ·（－tan α）＝－ ·tan α＝－1. －1　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 给值求值 【例3】　已知 cos （ －α）＝ ，则 cos （α＋ ）＝ 　－ 　. 解析：因为（ －α）＋（α＋ ）＝π，所以α＋ ＝π－（ － α）， cos （α＋ ）＝ cos ［π－（ －α）］＝－ cos （ －α） ＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变设问）若本例条件不变，求 cos 与 sin 2 的值. 解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ . sin 2 ＝ sin 2 ＝ sin 2 ＝1－ cos 2 ＝1－（ ）2＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （变条件）若将本例中条件“ cos ＝ ”改为“ sin ＝ ，α∈ ”，试求 cos （α＋ ）的值. 解：因为α∈ ，则α－ ∈ . 所以 cos ＝－ cos ＝－ cos ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 解决给值求值问题的两个技巧 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知 sin （θ－ ）＝－ ，且θ∈（0， ），则 cos （ ＋θ） ＝ ⁠. － 解析： cos （ ＋θ）＝ cos ［（θ－ ）＋π］＝－ cos （θ－ ），∵θ∈（0， ），∴θ－ ∈（－ ， ），∴ cos （θ－ ） ＞0，即 cos （θ－ ）＝ ＝ ，∴ cos （ ＋ θ）＝－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型四 利用诱导公式二判断函数奇偶性 【例4】　（链接教科书第189页例10）判断下列函数的奇偶性： （1） f （ x ）＝1＋ cos x ； 解：因为函数 f （ x ）的定义域是R，且 f （－ x ）＝1＋ cos （－ x ）＝1＋ cos x ＝ f （ x ）， 所以 f （ x ）是偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） g （ x ）＝ x ＋ sin x . 解：因为函数 g （ x ）的定义域是R，且 g （－ x ）＝－ x ＋ sin （－ x ）＝－（ x ＋ sin x ）＝－ g （ x ）， 所以 g （ x ）是奇函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 判断函数奇偶性的方法 （1）判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否 关于原点对称；二看 f （ x ）与 f （－ x ）的关系； （2）对于三角函数奇偶性的判断，可根据诱导公式二： sin （－α） ＝－ sin α； cos （－α）＝ cos α； tan（－α）＝－tan α， 先将函数式化简后再判断. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 判断下列函数的奇偶性： （1） f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x ； 解：函数 f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x 的定义域为R， 因为∀ x ∈R，都有－ x ∈R， 又 f （－ x ）＝｜ sin （－ x ）｜＋ cos （－ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x ＝ f （ x ）， 所以函数 f （ x ）＝｜ sin x ｜＋ cos x 是偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） f （ x ）＝ x3· sin x . 解：函数的定义域为R，因为∀ x ∈R，都有－ x ∈R， 又 f （－ x ）＝（－ x ）3· sin （－ x ）＝ x3· sin x ＝ f （ x ）， 所以 f （ x ）为偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. cos 2 040°＝（　　） 解析： 　 cos 2 040°＝ cos （6×360°－120°）＝ cos 120°＝ － cos 60°＝－ .故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若 sin （π＋α）＝－ ，则 sin （4π－α）＝ 　－ 　. 解析：由题知， sin α＝ ，所以 sin （4π－α）＝ sin [2π＋（2π －α）]＝ sin （2π－α）＝－ sin α＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若 P （－4，3）是角α终边上一点，则 ＝ ⁠. 解析：由题意知 sin α＝ ，原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $