7.2.3 第二课时 三角函数的诱导公式(五、六)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦三角函数诱导公式（五、六），通过自主预习呈现公式内容，结合“奇变偶不变，符号看象限”口诀及基点评小试夯实基础，为互动探究中的化简求值、恒等式证明等题型搭建从理解到应用的学习支架。 其亮点在于以单位圆对称性推导公式培养数学眼光中的几何直观，通过题型分类及“三看”策略（看角、函数名、式子结构）发展数学思维的推理能力，例题解析规范数学语言表达。学生能提升解题逻辑，教师可直接利用系统资源高效教学。

数学·必修·第一册(苏教) 第7章 三角函数 7．2．3　三角函数的诱导公式 第二课时　三角函数的诱导公式(五、六) cos α sin α cos α －sin α 课下培优巩固练（三十九） [课程标准]　能借助单位圆的对称性，利用定义推导出三角函数的诱导公式. 1．诱导公式五： sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝______________， cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)) ＝______________． 2．诱导公式六： sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝______________， cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)) ＝______________． 微点拨：1.公式五、六的记忆方法与口诀 (1)记忆方法： eq \f(π,2) ±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”． 2．诱导公式一～六的记忆口诀 口诀：奇变偶不变，符号看象限．口诀的意义： eq \f(kπ,2) ±α(k∈Z)的三角函数值． (1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若α为第二象限角，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))) ＝－cos α.(　　) (2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)) ＝cos α.(　　) (3)cos (270°＋100°)＝sin 100°.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．化简 eq \f(cos （π－α）cos （\f(π,2)＋α）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))tan （π－α）) 的结果是_________． 解析：原式＝ eq \f(（－cos α）·（－sin α）,（－cos α）·（－tan α）) ＝cos α. 答案：cos α 题型一　利用诱导公式化简求值 例1. （苏教版必修一P181T14改编）(1)已知tan α＝3，求 eq \f(sin （α－π）＋cos （π－α）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) 的值； (2)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) ，求cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α)) 的值． 解：(1) eq \f(sin （α－π）＋cos （π－α）,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＋cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) ＝ eq \f(－sin α－cos α,cos α－sin α) ＝ eq \f(－tan α－1,1－tan α) ＝ eq \f(－3－1,1－3) ＝2. (2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)) ·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ·sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ·sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,4) . [总结]　用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如 eq \f(π,3) －α与 eq \f(π,6) ＋α， eq \f(π,3) ＋α与 eq \f(π,6) －α， eq \f(π,4) －α与 eq \f(π,4) ＋α等互余， eq \f(π,3) ＋θ与 eq \f(2π,3) －θ， eq \f(π,4) ＋θ与 eq \f(3π,4) －θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． 【练一练】 1．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))) ＝ eq \f(1,3) ，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)) 的值为(　　) A． eq \f(2\r(2),3) B．－ eq \f(2,3) eq \r(2) C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3) 解析：∵ eq \f(π,4) ＋α－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))) ＝ eq \f(π,2) ， ∴cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)) ＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))) ＝－ eq \f(1,3) . 答案：D 2．(2025·宿迁高一期末)已知cos (75°＋α)＝ eq \f(1,3)，且－180°<α<－90°，则cos (15°－α)的值为________． 解析：∵cos (75°＋α)＝ eq \f(1,3)且－180°<α<－90°， ∴－105°<α＋75°<－15°， ∴sin (75°＋α)＝－ eq \f(2\r(2),3)， 则cos (15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin (75°＋α)＝－ eq \f(2\r(2),3). 答案：－ eq \f(2\r(2),3) 题型二　利用诱导公式证明恒等式 例2.求证： eq \f(cos （6π＋θ）sin （－2π－θ）tan （2π－θ）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋θ))) ＝－tan θ. 证明：：左边＝ eq \f(cos θsin （－θ）tan （－θ）,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))) ＝ eq \f(cos θsin θtan θ,－sin θcos θ) ＝－tan θ＝右边，所以原等式成立． [总结] 　三角恒等式证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则． (2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 【练一练】 3．求证： eq \f(sin θ＋cos θ,sin θ－cos θ) ＝ eq \f(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2（π＋θ）) . 证明：：右边＝ eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－θ))·（－sin θ）－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ) ＝ eq \f(－2cosθsin θ－1,cos2θ＋sin2θ－2sin2θ) ＝ eq \f(（sinθ＋cos θ）2,sin2θ－cos2θ) ＝ eq \f(sinθ＋cos θ,sin θ－cos θ) ＝左边． 题型三　诱导公式的综合应用 例3.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求 eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) ·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－ eq \f(3,5) ，x2＝2， 由α是第三象限角，得sinα＝－ eq \f(3,5) ， 则cos α＝－ eq \f(4,5) ， ∴ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))) ·tan2(π－α) ＝ eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sin αcos α) ·tan2α ＝ eq \f(cosα（－sin α）,sin αcos α) ·tan2α＝－tan2α ＝－ eq \f(sin2α,cos2α) ＝－ eq \f(9,16) . [总结]　诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形. 【练一练】 4．已知cos α＝－ eq \f(4,5) ，且α为第三象限角． (1)求sin α的值； (2)求f(α)＝ eq \f(tan （π－α）·sin （π－α）·sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cos （π＋α）) 的值． 解：(1)因为cos α＝－ eq \f(4,5) ，且α为第三象限角， 所以sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))\s\up12(2)) ＝－ eq \f(3,5) . (2)f(α)＝ eq \f(－tanα·sin α·cos α,－cos α) ＝tan αsin α ＝ eq \f(sin α,cos α) ·sin α＝ eq \f(－\f(3,5),－\f(4,5)) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))) ＝－ eq \f(9,20) . $