5.4 第1课时　奇偶性的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的概念、几何意义及简单应用，课堂导入从生活对称图形切入，结合二次函数\(y=x^2\)、反比例函数\(y=\frac{1}{x}\)的图象对称性，搭建从直观到抽象的学习支架，衔接函数图象与性质的关系。 其亮点在于通过“通性通法”系统总结定义法、图象法、性质法三种判断方法，结合分段函数奇偶性判断、利用奇偶性求参数等典型例题及跟踪训练，培养数学抽象、直观想象与逻辑推理素养，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂互动与分层教学。

第1课时　奇偶性的概念 新课程标准解读 核心素养 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 数学抽象 2.了解奇、偶函数图象的对称性，掌握函数奇偶 性的简单应用 直观想象、逻辑 推理 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　生活因对称而美丽，下面的图形一定会给你美的感受吧.数学上 也有一些函数的图象有着类似美妙的对称性，如二次函数 y ＝ x2的图 象关于 y 轴对称，反比例函数 y ＝ 的图象关于原点对称等. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象 的对称性反映了函数的什么性质呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 前提 函数 y ＝ f （ x ）的定义域为 A ，∀ x ∈ A ，都有 ⁠ 条件 f （－ x ）＝ ⁠ f （－ x ）＝ ⁠ 定义域特征 关于 ⁠对称 图象特征 关于 ⁠对称 关于 ⁠对称 － x ∈ A 　 f （ x ）　 － f （ x ）　 原点　 y 轴　 原点　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）函数的奇偶性是函数的整体性质；（2）若奇函数在原点 处有定义，则必有 f （0）＝0；（3）若 f （－ x ）＝－ f （ x ），且 f （－ x ）＝ f （ x ），则 f （ x ）既是奇函数又是偶函数. 【想一想】 如果定义域内存在 x0，满足 f （－ x0）＝ f （ x0），函数 f （ x ）是偶函 数吗？ 提示：不一定，必须对于定义域内的任意一个 x 都成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 偶函数的图象一定与 y 轴相交 B. 奇函数的图象一定通过原点 C. 函数 f （ x ）＝ x2， x ∈[－1，2]是偶函数 D. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数，则 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－1， a ]（ a ＞－1）是奇函数，则 a ＝（　　） A. 1 B. 0 C. －1 D. 无法确定 解析：　因为函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[－1， a ]（ a ＞－1）是奇函 数，所以定义域关于原点对称，即－1＋ a ＝0，所以 a ＝1.故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若 f （ x ）是定义在R上的奇函数， f （3）＝2，则 f （－3）＝ ⁠ ， f （0）＝ ⁠. 解析：因为 f （ x ）是定义在R上的奇函数，所以 f （－3）＝－ f （3）＝－2， f （0）＝0. － 2　 0　 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 　函数奇偶性的判断 【例1】　（链接教科书第124页例1）判定下列函数是否为奇函数或 偶函数： （1） f （ x ）＝ x4－1； 解：函数 f （ x ）＝ x4－1的定义域是R. 因为对于任意的 x ∈R，都有－ x ∈R，且 f （－ x ）＝（－ x ）4 －1＝ x4－1＝ f （ x ）， 所以函数 f （ x ）是偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） f （ x ）＝ ； 解：函数 f （ x ）＝ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋ ∞），关于原点对称， 因为 f （－ x ）＝－ ＝－ f （ x ），所以函数 f （ x ）＝ 是 奇函数. （3） f （ x ）＝2－｜ x ｜； 解：函数 f （ x ）的定义域为R，关于原点对称，因为 f （－ x ） ＝2－｜－ x ｜＝2－｜ x ｜＝ f （ x ）， 所以 f （ x ）为偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （4） f （ x ）＝ ＋ ； 解：因为函数 f （ x ）的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且 f （ x ）＝0， 又因为 f （－ x ）＝ f （ x ），且 f （－ x ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数. （5） f （ x ）＝ ； 解：因为函数 f （ x ）的定义域为{ x ｜ x ≠1}，不关于原点对 称，所以 f （ x ）是非奇非偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （6） f （ x ）＝ 解： f （ x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点 对称. 当 x ＞0时，－ x ＜0， f （－ x ）＝－（－ x ）＋1＝ x ＋1＝ f （ x ）； 当 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＝－ x ＋1＝ f （ x ）. 综上可知，对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都有 f （－ x ）＝ f （ x ），所以 f （ x ）为偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 判断函数奇偶性的3种方法 （1）定义法 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）图象法 （3）性质法：①偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函 数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇（偶）数个奇函数的 积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；④一个奇函数与一个 偶函数的积为奇函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　判断下列函数的奇偶性： （1） f （ x ）＝ x2（ x2＋2）； 解：∵ x ∈R，关于原点对称， 又∵ f （－ x ）＝（－ x ）2[（－ x ）2＋2]＝ x2（ x2＋2）＝ f （ x ）， ∴ f （ x ）为偶函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） f （ x ）＝ ； 解： f （ x ）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称， 又∵ f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ）. ∴ f （ x ）为奇函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） ①当 a ≠0时， f （－ x ）＝｜－ x ＋ a ｜－｜－ x － a ｜＝｜ x － a ｜－｜ x ＋ a ｜＝－（｜ x ＋ a ｜－｜ x － a ｜）＝－ f （ x ）， ∴函数 f （ x ）为奇函数； ②当 a ＝0时，函数 f （ x ）＝｜ x ＋ a ｜－｜ x － a ｜＝｜ x ｜ －｜ x ｜＝0，此时函数 f （ x ）既是奇函数又是偶函数. 综上所述，当 a ≠0时，函数 f （ x ）为奇函数；当 a ＝0时，函数 f （ x ）既是奇函数又是偶函数. （3） f （ x ）＝｜ x ＋ a ｜－｜ x － a ｜（ a ∈R）； 解：函数的定义域为（－∞，＋∞），关于原点对称. 目录 数学·必修第一册（SJ） （4） f （ x ）＝ 解：函数 f （ x ）＝画出图象如图所示，图 象关于原点对称，因此函数 f （ x ）是奇函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 奇、偶函数的图象及应用 【例2】　（链接教科书第125页例2）已知函数 f （ x ）＝ x3＋ x . （1）判断函数 y ＝ f （ x ）是否具有奇偶性； 解：函数 f （ x ）的定义域是R. 因为对于任意的 x ∈R，都有－ x ∈R，且 f （－ x ）＝（－ x ）3＋（－ x ）＝－（ x3＋ x ）＝－ f （ x ），所以函数 y ＝ f （ x ）是奇函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）如图所示是 f （ x ）图象的一部分，请根据 f （ x ）的奇偶性画出 它在 y 轴左边的图象. 解：由奇函数的图象关于原点对称可画出函数 y ＝ f （ x ）在 y 轴 左边的图象，作出函数图象如图. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，若 f （ m ＋1）＋ f （2 m －3）＜0，试求 实数 m 的取值范围. 解：因为 f （ m ＋1）＋ f （2 m －3）＜0，所以 f （ m ＋1）＜－ f （2 m －3）， 因为 f （ x ）是奇函数，所以 f （－ x ）＝－ f （ x ），则－ f （2 m －3） ＝ f （3－2 m ）， 所以 f （ m ＋1）＜ f （3－2 m ），又因为 f （ x ）的定义域是R且为增 函数， 所以 m ＋1＜3－2 m ，解得 m ＜ ，即实数 m 的取值范围是（－∞， ）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 巧用奇、偶函数的图象求解问题 （1）依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于 y 轴 对称； （2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较 大小及解不等式等问题. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 已知函数 y ＝ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且当 x ≤0时， f （ x ）＝ x2＋2 x .现已画出函数 f （ x ）在 y 轴左侧的图象，如图所示. （1）请补全函数 y ＝ f （ x ）的图象； 解：由题意作出函数图象如图. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）根据图象写出函数 y ＝ f （ x ）的增区间； 解：据图可知，增区间为（－1，0），（1，＋∞）. （3）根据图象写出使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合. 解：据图可知，使 f （ x ）＜0的 x 的取值集合为{ x ｜－2＜ x ＜ 2，且 x ≠0}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 利用函数的奇偶性求值 【例3】　（链接教科书第127页习题5题）（1）若函数 f （ x ）＝ ax2 ＋ bx ＋3 a ＋ b 是偶函数，定义域为[ a －1，2 a ]，则 a ＝ ， b ＝ ⁠； 　 0　 解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a －1＝－2 a ，解得 a ＝ .又函数 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的 特点，易得 b ＝0. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知函数 f （ x ）＝ ax2＋2 x 是奇函数，则实数 a ＝ ⁠. 解析：由奇函数定义有 f （－ x ）＋ f （ x ）＝0，得 a （－ x ）2＋ 2（－ x ）＋ ax2＋2 x ＝2 ax2＝0，故 a ＝0. 0　 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用奇偶性求值的常见类型 （1）求参数值：若解析式含参数，则根据 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）列式，比较系数利用待定系数法求解；若定 义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和 为0求参数； （2）求函数值：利用 f （－ x ）＝－ f （ x ）或 f （－ x ）＝ f （ x ）求 解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 设 a 为实数，已知函数 f （ x ）＝ a － 的图象关于原点对称，则 a 的值为（　　） C. 2 D. －2 解析：　由题意知， f （－ x ）＝－ f （ x ），即 a － ＝－ a ＋ ，故2 a ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ －1，解得 a ＝－ .故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选） 若函数 f （ x ）＝（ m －1） x2＋（ m －2） x ＋（ m2－7 m ＋12）为R上的偶函数，当－1≤ x ≤2时，下列说法正确的是（　　） A. m ＝1 B. m ＝2 C. f （ x ）min＝2 D. f （ x ）max＝6 目录 数学·必修第一册（SJ） 解析：　根据题意，有 f （－ x ）＝ f （ x ），即（ m －1） x2＋ （ m －2） x ＋（ m2－7 m ＋12）＝（ m －1） x2－（ m －2） x ＋ （ m2－7 m ＋12），必有 m －2＝0，即 m ＝2，则 f （ x ）＝ x2＋2， 为开口向上的二次函数，对称轴为 x ＝0，当－1≤ x ≤2时，其最小 值为 f （0）＝2，最大值为 f （2）＝6.故选B、C、D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（　　） 解析：　选项A中的图象关于原点或 y 轴均不对称，故排除；选 项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇 偶性，故排除；选项B中的图象关于 y 轴对称，其表示的函数是偶 函数. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 如图，给出奇函数 y ＝ f （ x ）的部分图象，则 f （－2）＋ f （－1） ＝（　　） A. －2 B. 2 C. 1 D. 0 解析： f （－2）＋ f （－1）＝－ f （2）－ f （1）＝－ － ＝－2. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 下列函数为奇函数的是（　　） A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x D. y ＝－ x2＋14 解析：　A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函 数，而C项中函数为奇函数.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知函数 f （ x ）＝ ax3＋ bx －8，若 f （－2）＝10，则 f （2）＝ ⁠ ⁠. 解析：法一　令 g （ x ）＝ ax3＋ bx ，则 g （ x ）是奇函数，∴ f （－ 2）＝ g （－2）－8＝－ g （2）－8，又 f （－2）＝10，∴ g （2） ＝－18.又 f （2）＝ g （2）－8，∴ f （2）＝－18－8＝－26. － 26　 法二　由题意知 f （－2）＝（－2）3 a ＋（－2） b －8＝－8 a －2 b － 8＝10，则8 a ＋2 b ＝－18，∴ f （2）＝23 a ＋2 b －8＝8 a ＋2 b －8＝ －18－8＝－26. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $