专题一 带电粒子在组合场中的运动 讲义 -2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

该高中物理讲义以“带电粒子在组合场中的运动”为核心，通过表格系统对比“电偏转”与“磁偏转”的受力、轨迹、求解方法等关键要素，用框架图呈现“先电场后磁场”“先磁场后电场”两类基本组合场模型，构建运动和相互作用观念的知识脉络。 讲义亮点在于分考向设计例题与变式，如“先电场后磁场的加速-圆周运动”“交变磁场中的周期性运动”等题型，通过几何关系分析和规律应用培养科学思维。例题详解步骤，变式题分层巩固，助力学生自主复习，教师可实施精准教学。

专题一 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中运动的分析 1． 组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠；或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 3．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 知识点2 两类基本组合场 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 考向1 先电场后磁场 【例1】在科学检测仪器中，常用电场加速和磁场偏转来控制带电粒子的运动，其原理可简化为如图所示模型。质量为、电量为的正离子从离子源由静止释放，经电场加速后沿水平方向射入垂直于纸面向里的匀强磁场。离子以速度垂直磁场边界从点入射，从边界上的点射出，两点间的距离为，不计离子重力。求： (1)加速电压； (2)匀强磁场的磁感应强度大小。 【变式】如图所示，在水平分界线上方有方向竖直向下的匀强电场，水平分界线下方有磁感应强度大小为、方向水平向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为的带正电粒子从到分界线距离为的点平行分界线向右射入电场，粒子经时间第一次进入磁场，然后从分界线离开磁场再次进入电场，粒子离开磁场时的速度方向与分界线的夹角。不计粒子所受的重力。求： (1)粒子从点射入电场时的速度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)粒子第二次通过分界线的位置到点的水平距离。 考向2 先磁场后电场 【例2】利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线AB与竖直线CD交于O点，将空间分成四个区域。在竖直线CD的左边存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在竖直线CD的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线AB上的a点以初速度v0水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线CD上时，速度方向与竖直向上方向成角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线AB上的b点。已知O、a两点之间的距离为L，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求： (1)带电粒子的电荷量和质量的比值； (2)竖直线CD的右边匀强电场的电场强度大小； (3)带电粒子从a点出发到第一次回到a点的时间。 【变式】如图所示，在坐标系中第一象限内存在电场强度为E的匀强电场，方向竖直向下；第二象限内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一粒子源以的速度水平向右射出一带电荷量为q、质量为m的正粒子，粒子恰好从坐标点离开磁场进入匀强电场；在匀强电场中做曲线运动后从x轴离开电场。粒子的重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子在电场中运动时距x轴的最远距离。 考向3 带电粒子在电磁场中的往复运动 【例3】如图，在xoy坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)粒子在磁场中的运动半径r； (2)磁感应强度B的大小： (3)粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间t。 【变式】如图所示，y轴上M点的坐标为（0，L），MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀强磁场区域，磁场垂直纸面向里。在y > L的区域存在沿﹣y方向的匀强电场，电场强度为E，在坐标原点O处有一带正电粒子以速率v0沿 + x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场。已知粒子的比荷为，粒子重力不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）该粒子第一次上升到最高点的坐标； （3）从原点出发后经过多长时间，带电粒子第一次回到x轴。 考向4 带电粒子在交变磁场中的运动 【例4】如图甲所示，一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经电压加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，偏转电压为加速电压的2倍。 (1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场后接着从P点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，已知磁感应强度的大小为，取粒子刚进入磁场时为时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ的Q点射出，求该磁场的变化周期T及磁场的宽度s。 【变式】．如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 1．如图所示，在第一、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；第二、三象限内存在沿着x轴正方向的匀强电场E（大小未知）。一质量为m、带电量为q（q>0）的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴负方向夹角，从N（0，y0）点射出磁场进入电场，又从M点返回磁场。忽略粒子重力及磁场边缘效应。求： (1)粒子射入磁场的速度大小v； (2)粒子在磁场中首次从M点运动到N点的时间t1； (3)粒子在电场中首次从N点运动到M点的时间t2和匀强电场的场强大小E。 2．如图，在xOy直角坐标系中，有一质量m＝1.0×10－12kg，带电量q＝2.0×10－10C的带正电的粒子（不计重力），垂直x轴从A点以v=200m/s的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝1T。粒子经磁场偏转后又从B点垂直x轴进入第四象限，第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y轴负半轴上的C点，此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OB＝OA。求： (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和在磁场中运动的时间t； (2)第四象限中场强E的大小。 3．如图所示，有一带正电粒子从O点由静止释放，经电场加速后沿直线通过速度选择器，再垂直于匀强磁场Ⅱ左边界入射到磁场Ⅱ中。已知粒子的比荷 C/kg，速度选择器极板长L=0.15 m，板间距d1=0.12 m，板间电压U1=120 V，磁感应强度B1=5×10-3 T，范围足够长的磁场Ⅱ的左、右边界距离d2=0.08 m，左边界与速度选择器右侧重合，磁感应强度B2=1×10-2T，粒子重力忽略不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8，（计算结果中可以含有“π”，忽略相对论效应） (1)求加速电压U0的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间t； (3)若仅撤去磁场Ⅰ，其他条件不变，求粒子进入磁场Ⅱ时的速度大小和方向。 4．在平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在磁感应强度大小为，方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电的粒子从轴正半轴上的点以某速度垂直于轴射入电场，经过轴上的点射入磁场，通过点时速度大小为，方向与轴正方向成角。粒子从轴负半轴上的点垂直于轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求： (1)、两点间的电势差； (2)粒子从点运动到点的总时间。 5．如图所示，一质量为m、电荷量为q的粒子，从x轴上的P（0，L）点以速度v0垂直y轴射入第一象限内的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。粒子恰好垂直于x轴进入第四象限内的匀强电场中，电场强度大小为E、方向沿y轴负方向。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)带电粒子在电场中速度第一次减为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过x轴所需要的时间t。 6．如图所示，在坐标系中，的区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在第二象限存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。一带电粒子从点以初速度沿轴正方向抛出，经坐标原点点进入磁场，经磁场偏转后再次进入电场，恰能通过点。不计粒子重力。求： (1)粒子带正电还是负电？带电粒子的比荷； (2)第二次过轴的位置坐标； (3)磁感应强度大小和粒子从点出发再次回到点的时间。 7．如图甲，竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图中，均为未知量，且均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。已知D、Q间的距离为L，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求（最后结果可以用分数和根号表示）： （1）电场强度E的大小； （2）与的比值； （3）当小球做周期性运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度的大小。 8．如图甲所示，xOy平面内y轴左侧有宽为L的匀强电场区域，电场方向平行于y轴向上，匀强电场左侧有一电压为U的加速电场。一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力）从A点飘入加速电场，加速后由x轴上的P（-L，0）点进入匀强电场，之后从y轴上的Q（0，）点进入y轴的右侧。 （1）求粒子经过P点时的速度大小； （2）求匀强电场的场强大小E及达到Q点速度大小； （3）若y轴右侧存在一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，取磁场垂直纸面向外为正方向。时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，求圆形磁场区域的最小面积S以及粒子进入磁场时的位置到y轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中运动的分析 1． 组合场：电场与磁场各自位于一定的区域内且不重叠；或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现 2．带电粒子在组合场中运动的分析思路 第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。 第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如第3步中表图所示。 第3步：用规律 3．“电偏转”与“磁偏转”的比较 垂直电场线进入 匀强电场(不计重力) 垂直磁感线进入 匀强磁场(不计重力) 受力情况 电场力FE＝qE，其大小、方向不变，与速度v无关，FE是恒力 洛伦兹力FB＝qvB，其大小不变，方向随v而改变，FB是变力 轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动轨迹示例 求解方法 利用类平抛运动的规律求解：vx＝v0，x＝v0t，vy＝·t，y＝··t2 偏转角φ满足：tan φ＝＝ 半径：r＝ 周期：T＝ 偏移距离y和偏转角φ要结合圆的几何关系利用圆周运动规律讨论求解 运动时间 t＝ t＝T＝ 动能 变化 不变 知识点2 两类基本组合场 1.先电场后磁场 (1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 (2)先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 2.先磁场后电场 　对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况： (1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定理或运动学公式列式。 (2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直，如图乙所示，粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分析。 考向1 先电场后磁场 【例1】在科学检测仪器中，常用电场加速和磁场偏转来控制带电粒子的运动，其原理可简化为如图所示模型。质量为、电量为的正离子从离子源由静止释放，经电场加速后沿水平方向射入垂直于纸面向里的匀强磁场。离子以速度垂直磁场边界从点入射，从边界上的点射出，两点间的距离为，不计离子重力。求： (1)加速电压； (2)匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由动能定理得 解得 （2）离子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 其中 解得 【变式】如图所示，在水平分界线上方有方向竖直向下的匀强电场，水平分界线下方有磁感应强度大小为、方向水平向里的匀强磁场，一质量为、电荷量为的带正电粒子从到分界线距离为的点平行分界线向右射入电场，粒子经时间第一次进入磁场，然后从分界线离开磁场再次进入电场，粒子离开磁场时的速度方向与分界线的夹角。不计粒子所受的重力。求： (1)粒子从点射入电场时的速度大小； (2)匀强电场的电场强度大小； (3)粒子第二次通过分界线的位置到点的水平距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子第一次通过分界线时的竖直分速度大小为，有 解得 又 解得 （2）设粒子在电场中运动的加速度大小为，有 又 解得 （3）粒子第一次在电场中运动的过程中沿水平方向通过的距离 解得 粒子第一次通过分界线时的速度大小 解得 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，有 解得 根据几何关系可知 解得 考向2 先磁场后电场 【例2】利用电、磁场来控制和改变带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有着广泛的应用。如图所示，水平线AB与竖直线CD交于O点，将空间分成四个区域。在竖直线CD的左边存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，在竖直线CD的右边存在沿水平向左的匀强电场。某时刻一个带正电粒子从水平线AB上的a点以初速度v0水平向左射出，带电粒子第一次到达竖直线CD上时，速度方向与竖直向上方向成角，之后带电粒子在电场中运动，并垂直通过水平线AB上的b点。已知O、a两点之间的距离为L，带电粒子所受重力忽略不计。（计算结果可带根号）求： (1)带电粒子的电荷量和质量的比值； (2)竖直线CD的右边匀强电场的电场强度大小； (3)带电粒子从a点出发到第一次回到a点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，作出正电荷的部分运动轨迹如图所示 设正电荷在磁场中运动的轨道半径为r，由图可得 解得 正电荷在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得正电荷的比荷为 （2）设正电荷第一次经过y轴的位置到O点的距离为，到达b点时的速度大小为，结合类平抛运动规律，有 设正电荷进入电场后经过时间t运动到b点，则有 由几何知识结合类平抛运动可得 解得 又 正电荷从第一次经过y轴到运动至b点的过程中，根据动能定理有 联立解得 （3）正电荷在磁场中的运动的周期为 由几何关系可知，正电荷第一次在磁场中运动的时间为 正电荷在电场中运动的时间为 正电荷第二次在磁场中的运动轨迹与第一次在磁场中运动的轨迹对称，则正电荷第二次在磁场中的运动时间为 所以正电荷从点出发到第一次回到点的时间为 【变式】如图所示，在坐标系中第一象限内存在电场强度为E的匀强电场，方向竖直向下；第二象限内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一粒子源以的速度水平向右射出一带电荷量为q、质量为m的正粒子，粒子恰好从坐标点离开磁场进入匀强电场；在匀强电场中做曲线运动后从x轴离开电场。粒子的重力不计，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子在电场中运动时距x轴的最远距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）做出粒子在磁场中运动的轨迹如图 设SP连线与水平方向的夹角为，由题设条件和几何关系知， 解得 在磁场中运动的过程中，由牛顿第二定律可得 解得 （2）进入电场后，速度与水平方向的夹角为 在竖直方向上有 解得 粒子在电场中运动时距x轴的最远距离 考向3 带电粒子在电磁场中的往复运动 【例3】如图，在xoy坐标系所在的平面内，第一象限内有垂直纸面向外的匀强磁场，第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入磁场，恰好垂直于y轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求： (1)粒子在磁场中的运动半径r； (2)磁感应强度B的大小： (3)粒子从P点射入到第三次到达y轴的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中的运动情况如图所示 由几何关系得 解得 （2）根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）粒子在磁场做匀速圆周运动 粒子在磁场中运动时间 粒子从轴进入电场至速度为0过程中，可得 解得 粒子从点从第二次到达轴后向上偏转，经半个周期第三次到达轴，时间为 粒子从点射入到第三次到达轴的时间 解得 【变式】如图所示，y轴上M点的坐标为（0，L），MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀强磁场区域，磁场垂直纸面向里。在y > L的区域存在沿﹣y方向的匀强电场，电场强度为E，在坐标原点O处有一带正电粒子以速率v0沿 + x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场。已知粒子的比荷为，粒子重力不计。求： （1）匀强磁场的磁感应强度的大小； （2）该粒子第一次上升到最高点的坐标； （3）从原点出发后经过多长时间，带电粒子第一次回到x轴。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，则粒子进电场时的速度方向沿y轴正方向，所以粒子在组合场中轨迹如图 由几何关系知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）粒子穿出磁场进入电场，当速度减小到0时粒子第一次上升到最高点，根据牛顿第二定律 根据运动学公式得匀减速直线运动的位移 粒子第一次上升到最高点的横坐标 粒子第一次上升到最高点的纵坐标 粒子第一次上升到最高点的坐标为 （3）粒子在磁场中运动的时间为 粒子在电场中运动的时间 又 解得 从原点出发后到带电粒子第一次回到x轴所用的时间 考向4 带电粒子在交变磁场中的运动 【例4】如图甲所示，一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力忽略不计），从静止开始经电压加速后，沿水平方向进入两等大的水平放置的平行金属板间偏转，金属板长以及间距均为l，偏转电压为加速电压的2倍。 (1)求带电粒子离开偏转电场时的速度大小； (2)粒子离开偏转电场后接着从P点进入一个按图乙规律变化的有界磁场中，磁场左右边线在竖直方向上，已知磁感应强度的大小为，取粒子刚进入磁场时为时刻，此时磁场方向垂直于纸面向里，当粒子离开磁场的右边缘后恰好从水平线PQ的Q点射出，求该磁场的变化周期T及磁场的宽度s。 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）在加速电场中 在偏转电场中，， 解得 粒子的偏转角 离开偏转电场时的速度大小为 解得 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动， 由几何关系可知，轨迹呈周期性，每段圆弧轨迹对应的圆心角均为90°，磁场的变化周期为 磁场的宽度为 【变式】．如图1所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场。磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图2所示（周期T满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt均未知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a点处有一电子枪，电子经电压加速后，于t=0时刻沿直径ab进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。 (1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感应强度B0的大小； (2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界上的b点，求加速电压U与U0的关系； (3)若T已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电子进磁场时速度大小为，电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 由于电子运动时间速度偏转打到边界上，可知电子轨道半径r与磁场圆半径R相等，即 又因为电子在磁场中 联立以上解得 （2）为使电子能击中磁场边界上的点，且当时，电子需运动个整周期才能回到虚线，故 因为电子在磁场中 电子在电场中，根据动能定理有 又因为 联立解得 （3）经过一个周期后恰能回到发射点，作出运动轨迹，如图所示 由图可知ΔABC为等边三角形，故 且运动过程中恰好不打到磁场上边界，根据几何关系有 且 又因为， 联立解得 1．如图所示，在第一、四象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；第二、三象限内存在沿着x轴正方向的匀强电场E（大小未知）。一质量为m、带电量为q（q>0）的粒子从M（0，-y0）点射入磁场，速度方向与y轴负方向夹角，从N（0，y0）点射出磁场进入电场，又从M点返回磁场。忽略粒子重力及磁场边缘效应。求： (1)粒子射入磁场的速度大小v； (2)粒子在磁场中首次从M点运动到N点的时间t1； (3)粒子在电场中首次从N点运动到M点的时间t2和匀强电场的场强大小E。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）根据题意，粒子轨迹如图 由几何关系知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径 对粒子，在磁场中有 联立解得 （2）粒子在磁场中运动的周期为 从运动到的时间为 解得 （3）对粒子在电场中沿轴方向有 解得 对粒子在电场中由牛顿第二定律有 对粒子在电场中沿轴方向有 联立解得 2．如图，在xOy直角坐标系中，有一质量m＝1.0×10－12kg，带电量q＝2.0×10－10C的带正电的粒子（不计重力），垂直x轴从A点以v=200m/s的初速度进入x轴上方的匀强磁场中。磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝1T。粒子经磁场偏转后又从B点垂直x轴进入第四象限，第四象限中有平行于x轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y轴负半轴上的C点，此时速度方向与y轴负半轴成60°。已知OB＝OA。求： (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r和在磁场中运动的时间t； (2)第四象限中场强E的大小。 【答案】(1)1m， (2)300V/m 【详解】（1）粒子运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 代入数据解得r=1m 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中做圆周运动的时间 （2）设粒子运动到C点时，沿x轴负向的分速度大小为v1，则有 由牛顿第二定律得qE=ma 由匀变速直线运动的速度位移公式得 因粒子是垂直于磁场边界进入的，所以从该边界射出时，仍垂直于边界，所以有xOB=r 代入数据得E=300V/m 3．如图所示，有一带正电粒子从O点由静止释放，经电场加速后沿直线通过速度选择器，再垂直于匀强磁场Ⅱ左边界入射到磁场Ⅱ中。已知粒子的比荷 C/kg，速度选择器极板长L=0.15 m，板间距d1=0.12 m，板间电压U1=120 V，磁感应强度B1=5×10-3 T，范围足够长的磁场Ⅱ的左、右边界距离d2=0.08 m，左边界与速度选择器右侧重合，磁感应强度B2=1×10-2T，粒子重力忽略不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8，（计算结果中可以含有“π”，忽略相对论效应） (1)求加速电压U0的大小； (2)求粒子在磁场Ⅱ中运动时间t； (3)若仅撤去磁场Ⅰ，其他条件不变，求粒子进入磁场Ⅱ时的速度大小和方向。 【答案】(1) (2)s (3)，方向与极板的夹角为 【详解】（1）速度选择器中两极板间的电场强度为 粒子沿直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，有 解得 粒子由静止经电场加速，根据动能定理有 解得 （2）粒子进入磁场Ⅱ后，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 设粒子在磁场Ⅱ中转过的圆心角为，根据圆周运动的几何关系有 解得 粒子做匀速圆周运动的角速度为 粒子在磁场Ⅱ中的运动时间为 解得 （3）撤去磁场Ⅰ后，粒子在两极板间只受竖直向下的电场力，水平方向做匀速直线运动，通过极板的时间为 解得 竖直方向根据牛顿第二定律有 解得 粒子离开速度选择器时的竖直分速度为 解得 粒子进入磁场Ⅱ时的速度大小为 解得 设速度方向与水平向右方向的夹角为，则有 解得 因此粒子进入磁场Ⅱ时的速度方向为与极板夹角。 4．在平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在磁感应强度大小为，方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场。一质量为、电荷量为的带正电的粒子从轴正半轴上的点以某速度垂直于轴射入电场，经过轴上的点射入磁场，通过点时速度大小为，方向与轴正方向成角。粒子从轴负半轴上的点垂直于轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求： (1)、两点间的电势差； (2)粒子从点运动到点的总时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设粒子在点的初速度大小为，粒子在点时速度与轴正方向成角，根据速度的分解有 解得 粒子从点运动到点的过程，根据动能定理有 联立解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系可知粒子进入磁场的点与坐标原点的距离为 设粒子在电场中运动的时间为，粒子在电场中沿轴方向做匀速直线运动，有 联立解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 根据几何关系可知，粒子在磁场中速度的偏转角为，设粒子在磁场中运动的时间为，有 解得 粒子从点运动到点的总时间为 解得 5．如图所示，一质量为m、电荷量为q的粒子，从x轴上的P（0，L）点以速度v0垂直y轴射入第一象限内的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里。粒子恰好垂直于x轴进入第四象限内的匀强电场中，电场强度大小为E、方向沿y轴负方向。不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)带电粒子在电场中速度第一次减为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过x轴所需要的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在第一象限内做匀速圆周运动，垂直y轴射入，垂直于x轴离开，可得半径为，如图所示。 洛伦兹力充当向心力得 解得 （2）根据粒子在磁场中的运动轨迹，由左手定则可得，粒子带负电荷。 带电粒子进入电场后，在电场力的作用下做匀减速直线运动，加速度 减为零时的位移 第一次进入电场时，x轴坐标为 进入电场后，x轴坐标不变，所以带电粒子在电场中速度第一次减为零时的坐标为 （3）第一段运动，粒子从P点射出后，在第一象限做匀速圆周运动，运动轨迹为圆，垂直于x轴离开第一象限，此为第一次经过x轴；在第四象限先做匀减速直线运动（第二段运动），再反向做匀加速直线运动（第三段运动），垂直x轴离开第四象限，由于对称性，离开时速度为，此为第二次经过x轴；第四段运动，粒子进入第一象限后做匀速圆周运动，运动轨迹为圆，垂直于x轴离开第一象限，此为第三次经过x轴，运动轨迹如图所示。 粒子在第一象限做匀速圆周运动，周期为 第一段运动时间 第四段运动时间 第二段运动，粒子在第四象限做匀减速直线运动，时间为 根据对称性，第三段运动时间为 所以，带电粒子从开始到第三次经过x轴所需要的时间 6．如图所示，在坐标系中，的区域存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在第二象限存在沿轴负方向的匀强电场，电场强度大小为。一带电粒子从点以初速度沿轴正方向抛出，经坐标原点点进入磁场，经磁场偏转后再次进入电场，恰能通过点。不计粒子重力。求： (1)粒子带正电还是负电？带电粒子的比荷； (2)第二次过轴的位置坐标； (3)磁感应强度大小和粒子从点出发再次回到点的时间。 【答案】(1)正电， (2) (3)， 【详解】（1）电场中做类平抛过原点，受电场力沿轴负方向，可知粒子带正电。 由， 联立解得带电粒子的比荷 （2）过点时沿轴方向的速度 解得 合速度，方向与轴正方向斜向下夹角为60° 经磁场偏转，由直线边界的对称性知第2次过轴时速度与轴负方向成30°，再次在电场中做斜下抛运动回到点，轴有 轴方向有 联立解得 可得第2次过轴坐标 （3） 由几何关系得在磁场中圆周运动半径 根据洛伦兹力提供向心力可得 解得磁感应强度大小 圆周运动周期 解得 粒子从点出发再次回到点的时间 解得 7．如图甲，竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球，以水平初速度沿PQ向右做直线运动。若小球刚经过D点时（此时开始计时），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时速度方向如图所示与PQ连线成60°角，且以后能多次经过D点做周期性运动。图中，均为未知量，且均小于小球在磁场中做圆周运动的周期。已知D、Q间的距离为L，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g。求（最后结果可以用分数和根号表示）： （1）电场强度E的大小； （2）与的比值； （3）当小球做周期性运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意，在重力场与电场的复合场中，带电小球做直线运动，则有 可得 （2）根据题意，当加上周期性变化的磁场后，带电小球的运动轨迹应如图所示 粒子在时间内做匀速直线运动，其位移 粒子在加入磁场后，在时间内做匀速圆周运动，根据几何关系可得粒子做圆周运动的半径 又 联立解得 （3）带电小球在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力充当向心力有 解得 而带电小球做完整圆周运动的周期 联立可得 显然，小球做周期性运动的周期要最大，则磁感应强度要最小，而磁感应强度最小，则小球在磁场中做圆周运动的轨迹半径要最大，因此小球在电场和重力场的复合场中加上周期性变化的磁场时，恰好做周期性运动时即圆周运动的轨迹恰好和磁场边界MN相切，根据几何关系有 可得 而根据 联立可得 8．如图甲所示，xOy平面内y轴左侧有宽为L的匀强电场区域，电场方向平行于y轴向上，匀强电场左侧有一电压为U的加速电场。一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力）从A点飘入加速电场，加速后由x轴上的P（-L，0）点进入匀强电场，之后从y轴上的Q（0，）点进入y轴的右侧。 （1）求粒子经过P点时的速度大小； （2）求匀强电场的场强大小E及达到Q点速度大小； （3）若y轴右侧存在一圆形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，取磁场垂直纸面向外为正方向。时刻进入磁场的粒子始终在磁场区域内沿闭合轨迹做周期性运动，求圆形磁场区域的最小面积S以及粒子进入磁场时的位置到y轴的最短距离x。（忽略磁场突变的影响） 【答案】（1）；（2），；（3）， 【详解】（1）粒子从A点到P点，由动能定理有 解得 （2）粒子在偏转电场中沿x方向有 沿y方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得 粒子从Q点射出时沿y方向的速度 则射出速度 解得 （3）设粒子做圆周运动的半径为r，则 解得 粒子在磁场中运动的周期 解得 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示： 所以圆形磁场的最小半径 R=3r 最小面积 解得 由图可知，进入磁场的位置距y的最小距离 解得 学科网（北京）股份有限公司 $