专题强化02：带电粒子在复合场（组合场）中的运动（培优）【十一大考点+十一大题型】-2025-2026学年高二下学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第二册）

专题强化02：带电粒子在复合场（组合场）中的运动 【题型归纳】 技巧一：带电粒子在叠加场中运动的处理方法 1．三种典型情况 (1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。 (2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。 (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。 2．分析技巧 技巧二．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 进入电场时速度方向与电场有一定夹角 情景图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向变化，方向总指向圆心，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 类斜抛运动 vx＝v0sin θ，vy＝v0cos θ－t x＝v0sin θ·t，y＝v0cos θ·t－t2 【题型探究】 题型一：带电粒子在叠加场中做直线运动 【例1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入叠加场区，且沿直线运动到A点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．微粒可能带正电 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．电场强度大小为 D．磁感应强度大小为 【变式1】．（24-25高二下·河北衡水·期末）如图所示，绝缘直杆以倾角固定在竖直平面内，电荷量为q、质量为m的带正电小球穿在直杆上，小球与直杆间的动摩擦因数为，空间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。现将小球从一定高度由静止释放开始沿直杆下滑，已知小球的电荷量保持不变，直杆足够长，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．小球运动过程中受到的磁场的作用力垂直直杆斜向下 B．小球先做加速度逐渐减小的加速运动后做匀速运动 C．小球运动过程中的最大加速度大小为 D．小球运动过程中的最大速度大小为 【变式2】．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场，虚线边界MN的右侧还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球从P点沿着与水平方向成角开始运动，运动到虚线边界MN上的Q点时速度方向恰好水平向右，之后小球开始做匀速直线运动。已知小球的初速度大小为、质量为m、电荷量大小为q，重力加速度为g，匀强电场的电场强度，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强磁场的方向垂直于纸面向外 C．P、Q两点的水平距离大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 题型二：带电粒子在叠加场中中做匀速圆周运动 【例2】．（25-26高二上·江苏·期中）如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B，有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图中所示，已知两个带电小球A和B的质量关系为，轨道半径为，则下列说法正确的是（    ） A．小球A、B均带正电 B．小球A带负电、B带正电 C．小球A、B的周期比为2 : 1 D．小球A、B的速度比为3 : 1 【变式1】．（2025·北京海淀·三模）如图所示的MNPQ区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，现有两个带电微粒、均从边界的点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　） A．a、b两微粒均带正电 B．a、b两微粒在该区域运动周期一定相等 C．a、b两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等 D．仅增加磁场强度a、b一定都能做匀速圆周运动 【变式2】．（24-25高二下·四川·期中）如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，一质量为m的带电粒子，在场区内的一竖直平面内做匀速圆周运动，则可判断该带电质点（　　） A．沿圆周顺时针运动 B．运动的周期为 C．运动的速率为 D．带电粒子机械能守恒 题型三：带电粒子在叠加场中做变速圆周运动 【例3】．（2025·山西·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，并且有速度大小水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度。则下列说法正确的有（　　） A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10N 【变式1】．（23-24高二下·四川·期末）如图所示，圆心为、半径为的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，、两点等高，点为圆弧轨道最低点，在轨道的左半边有方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场，点为圆弧上的一点，连线与夹角为45°。一带负电的小球（可视为质点），从轨道右端点无初速度释放，运动过程中始终未脱离轨道，已知点在磁场内，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是（    ） A．小球滑到轨道左侧后，不会到达点 B．小球经过点时的向心加速度大小为 C．小球由点滑到点与从点滑到点所用的时间相等 D．小球在磁场中，向左经过点时对轨道的压力大于向右经过点时对轨道的压力 【变式2】．（23-24高二下·甘肃·期末）如图所示，质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为g，则物块对圆槽的最大压力为（　　） A． B． C． D． 题型四：带电粒子在叠加场中做旋进运动 【例4】．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带负电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线所示。则（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．磁场垂直于纸面向里 C．小球运动至最低点A时处于失重状态 D．小球在整个运动过程中加速度大小相等 【变式1】．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在一小段真空室内有水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为，磁感应强度大小为。若某电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，不计离子重力，则（    ） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．该离子的加速度大小不变，方向变化 D．的比值不断减小 【变式2】．（22-23高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．电子的初速度v0小于 C．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大 D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动 题型五：电视显像管的工作原理 【例5】．（23-24高二下·江苏镇江·期中）如图所示，显像管中有一电子枪，工作时它能发射高速电子，偏转线圈通以偏转电流后在虚线区域内产生偏转磁场，电子经过偏转磁场后撞击荧光屏上的A点发光。下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场方向垂直纸面向里 B．电子经过偏转磁场的过程中动能不断增大 C．电子经过偏转磁场区域的轨迹是抛物线 D．发光点从A向B点运动的过程中，偏转电流先减小后增大 【变式1】．（21-22高二下·山西运城·期中）显像管电视机应用了电子束的磁偏转原理，显像管电子枪发出的电子，由安装在管颈上的偏转线圈产生的磁场控制电子水平偏转，水平方向偏转的俯视图如图所示，水平方向由到的扫描，称之为行扫描.关于由到的一次行扫描过程中行偏转线圈产生的磁场，下列说法正确的是（    ） A．磁场方向先向右后向左 B．磁场方向先向下后向上 C．磁感应强度先变小后变大 D．磁感应强度先变大后变小 【变式2】．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示是电视显像管原理示意图（俯视图），电流通过偏转线圈，从而产生偏转磁场，电子束经过偏转磁场后运动轨迹发生偏转，不计电子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电子经过磁场时速度增大 B．欲使电子束打在荧光屏上的A点，偏转磁场的方向应垂直纸面向里 C．欲使电子束打在荧光屏上的B点，偏转磁场的方向应垂直纸面向外 D．欲使电子束打在荧光屏上的位置由A点调整到B点，应调节偏转线圈中的电流使磁场增强 题型六：带电粒子在叠加场中做曲线运动 【例6】．（25-26高二上·辽宁·期中）如图，矩形区域（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B和水平向左的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从左下角N点以大小为的速度水平向右射入，最终从右上角Q点以竖直向上大小为的速度射出。不计粒子所受其他作用力，下列说法正确的是（    ） A．电场力做功 B．电场力做功 C．矩形磁场的边长度为 D．矩形磁场的边长度为 【变式1】．（2025·北京·模拟预测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射，入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度为（）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子运动到最高点的速度大小为 【变式2】．（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，在磁感应强度大小B，方向水平向里的匀强磁场中，有一根长L的竖直光滑绝缘细杆MN，细杆顶端套有一个质量m电荷量的小环。现让细杆以恒定的速度沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，重力加速度为，关于小环在杆上的运动下列说法正确的是（　　） A．小环的轨迹是条直线 B．洛伦兹力对小环做负功 C．小环在运动过程中机械能不变 D．小环在绝缘杆上运动时间为 题型七：带电粒子在电磁场进出问题 【例7】．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向成45°角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从P点以v0的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好又回到P点。（场区足够大，不计粒子重力）则下列选项中不正确的是（　　） A．当粒子第一次进入电场时，速度与分界线所成的锐角为45° B．当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为 C．电场强度大小为B0v0 D．粒子回到P点所用的总时间为 【变式1】．（2025·河南·三模）如图所示，平行板电容器竖直放置，右极板右侧空间存在垂直纸面向外的匀强磁场。一比荷为的带负电粒子从电容器下端中间位置以的初速度沿极板方向进入电场，经电场偏转后从电容器右极板正中间的小孔进入匀强磁场，最后恰好从右极板的上边缘射出磁场。已知两极板间的距离为d，极板间电压不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电容器极板长度为3d B．粒子进入磁场时的速度大小为 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．粒子从射入电场到射出磁场的运动时间为 【变式2】．（2025·河北·二模）在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。则在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋（　　） A．在磁场中运动的半径之比为3:1 B．在电场中的加速度之比为1:1 C．在磁场中转过的角度之比为1:2 D．离开磁场区域时的动能之比为1: 题型八：带电粒子在电磁场中往复运动 【例8】．（22-23高二下·海南·期末）如图是真空中位于同一水平面的三个同心圆、和围成的区域，为圆心。、间存在辐射状电场，、间有磁感应强度大小为、方向垂直水平面（纸面）的匀强磁场。电子从点静止释放，由进入磁场，恰好没有从上方圆上的点（未画出）飞出磁场。已知电子的比荷为，、和的半径分别为、和。则（　　）    A．磁场的方向垂直纸面向里 B．电子在磁场运动的半径为 C．、两点间的电势差为 D．、两点间的电势差为 【变式1】．（2025·重庆·模拟预测）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在范围内存在竖直向下的匀强电场，在范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（    ） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 【变式2】．（2024·云南曲靖·二模）如图所示，真空室中y轴右侧存在连续排列的4个圆形边界磁场，圆心均在x轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度均为B。其中第1、3个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向里，第2、4个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4个磁场右侧有一个粒子接收屏与x轴垂直，并与第4个磁场相切，切点为M，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一方向向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一方向向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为E。现将一群质量均为m、电荷量均为的带电粒子从坐标原点O向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y轴方向发射的粒子），射出速度大小均为。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的时间相同 B．所有被接收屏接收的粒子均从M点沿x轴正方向射出 C．所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为 D．所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为 题型九：带电粒子在交流磁场中的运动 【例9】．（22-23高二下·安徽·期中）如图甲，足够大的空间有垂直纸面的匀强磁场，以O为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，在纸面内建立直角坐标系xOy。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子在O点以与x轴成的初速度v射入磁场，磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙，其中，规定垂直纸面向外为磁感应强度的正方向，粒子重力不计。求： （1）粒子从O点射出后第一次经过x轴时的位置坐标； （2）当粒子运动到与x轴距离最大的位置时，该位置与O点的水平距离。 【变式1】．（24-25高二上·重庆渝中·期末）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 题型十：带电粒子在叠加场的动量问题 【例10】．（24-25高二下·海南海口·期末）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的匀速圆周运动。当油滴a运动到最低点P时，在内力作用下瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与油滴a的速度方向相同，并做半径为3R的匀速圆周运动，轨迹如图。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，求： (1)油滴a的电性和电量； (2)油滴a做匀速圆周运动的速度大小； (3)小油滴Ⅱ速度大小。 【变式1】．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小为B。带正电的小球1和不带电的绝缘小球2静止放置于固定的水平悬空光滑支架上，两者之间有一被压缩的绝缘微型弹簧，弹簧用绝缘细线锁住，如图所示。小球1的质量为m1，电荷量为q。某时刻，烧断锁住弹簧的细线，弹簧将小球1、2瞬间弹开。小球1做匀速圆周运动，经四分之三个周期与球2相碰。弹开前后两小球的带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。不计空气阻力，两球均可视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)电场强度的大小； (2)小球2被弹开瞬间的速度大小； (3)小球1、2的质量之比。 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，质量为的小车以的速度在光滑的水平面上向左运动，小车上AD部分是表面粗糙的水平轨道，DC部分是光滑圆弧轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度B大小为，现有一质量为、带负电且电荷量为的滑块以的水平速度向右冲上小车，当它运动到D点时速度为。滑块可视为质点，取，计算结果保留两位有效数字。 （1）求滑块从A到D的过程中，小车与滑块组成的系统损失的机械能； （2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为，求圆弧轨道的半径； （3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块冲出圆弧轨道，求此圆弧轨道的最大半径。 题型十一：带电粒子在组合场、叠加场综合问题 【例11】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，光滑绝缘水平面的右侧存在着匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B；一质量为的不带电的小球a，在水平面上以v0的速度与静止的电荷量为q（q>0）、质量为m的金属小球b发生碰撞，碰后b向右进入复合场中，在竖直面内做匀速圆周运动。已知碰撞过程中没有电荷的转移，也没有机械能的损失，重力加速度为g。求： (1)a、b两球碰后的速度va、vb各为多大； (2)小球b在复合场中做圆周运动的半径r； (3)小球b在复合场中，从最低点到最高点的过程中机械能的增加量。 【例12】．（24-25高二上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从轴负半轴上的P点与轴正方向成120°垂直磁场射入第Ⅳ象限，经轴上的N点与轴正方向成120°角射入电场，最后从轴正半轴上的M点以垂直于y轴方向的速度射出电场，粒子从P点射入磁场的速度为，不计粒子重力，求 (1)粒子在磁场中运动的轨道半径R； (2)粒子从P点运动到M点的总时间t； (3)匀强电场的场强大小E； 【变式1】．（24-25高二下·贵州毕节·期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从沿y轴正方向以初速度射入匀强电场中，一段时间后从点进入匀强磁场。已知带电粒子在磁场中运动时与y轴的最大距离为，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)带电粒子从开始运动到经过N点（图中未画出）的时间。 【变式2】．（25-26高三上·贵州·期中）如图所示，在竖直平面的直角坐标系中，第一象限内存在两个区域，在的Ⅰ区域中存在垂直平面向里的匀强磁场和水平向右的匀强电场；在的Ⅱ区域中存在方向垂直平面向外的匀强磁场和方向竖直向上、大小为的匀强电场；一质量为、带电量为的粒子，从坐标原点以速度大小（为已知量）、方向与轴正方向成角发射，恰好沿直线运动，从点（图中未标）进入Ⅱ区域。已知重力加速度为。 (1)求Ⅰ区域中的匀强磁场的大小及电场强度的大小； (2)为了使该带电粒子能够回到Ⅰ区域，求Ⅱ区域的匀强磁场的最小磁感应强度。 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东·期中）图为洛伦兹力演示仪的结构简图，励磁线圈中的电流产生垂直纸面向外的匀强磁场，调节励磁线圈中的电流可以改变磁场的强弱。电子枪发射的电子，其出射速度与磁场方向垂直，调节电子枪上的加速电压可以控制电子的速度大小，下列说法正确的是（　　） A．两励磁线圈中的电流均为逆时针方向 B．电子在磁场中运动，洛伦兹力对电子做正功 C．只调节电子枪的加速电压，可以改变电子做圆周运动的周期 D．只增大励磁线圈中的电流，可以使电子运动径迹的半径增大 2．（24-25高二下·广西·期末）质谱仪的工作原理示意图如图所示。带电粒子被加速电场加速后，沿直线经过速度选择器，垂直平板S从狭缝P进入下方的匀强磁场B0。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场分别为B和E，其中电场强度E的方向水平向右，平板S上有记录粒子位置的胶片A1、A2。若粒子在磁场B0中做圆周运动的周期为T，则下列选项正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向里 C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小 3．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，足够长且倾角为θ的绝缘光滑固定斜面处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外，一带电量为q（q>0）的小物块从斜面上由静止开始下滑，下滑位移为x时物块刚好离开斜面。不计空气阻力。则在物块从释放到刚好离开斜面的全过程中（　　） A．洛伦兹力的冲量大小为2qBx B．重力的冲量大小为 C．支持力的冲量大小为 D．物块刚好离开斜面时的动量大小为 qBxtanθ 4．（25-26高三上·河北沧州·期中）如图所示，真空内存在向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，下列说法错误的是（　　） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．与的比值保持不变 D．该离子的加速度大小保持不变 5．（25-26高二上·河南南阳·期中）图甲是洛伦兹力演示仪。图乙是演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图丙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是（    ） A．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小 B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变大 C．同时增大电子枪的加速电压和励磁线圈中的电流，轨道半径一定变小 D．增大电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中的电流，轨道半径一定变大 6．（2024·黑龙江·模拟预测）某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ上。已知粒子重力可忽略不计，则（　　） A．从P点进入磁场的粒子动量一定相等 B．从P点进入磁场的粒子速度一定相等 C．粒子的比荷越大，打到胶片上距离P点越远 D．打到胶片上距P越远的粒子运动总时间越长 7．（25-26高二上·陕西榆林·期中）如图所示，、两个长方体物块叠放在粗糙水平地面上，物块带负电，物块不带电且为绝缘体，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力拉物块，使、一起无相对滑动地向右加速运动，在加速的过程中，物块、间的摩擦力（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 8．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，足够长光滑水平面上方空间中有垂直向里、磁感应强度为B的匀强磁场和水平向右、电场强度为E的匀强电场，水平面上有一个质量为m且不带电的绝缘物块N，在物块N左边某处静止释放一个质量为2m且带正电的物块M，带电荷量为q，物块M、N都可以看成质点，若M、N恰能相碰（碰撞时间很短），且碰后粘为一体（碰后电荷量不变），重力加速度取g，下列说法正确的是（　　） A．物块M与物块N碰前的速度是 B．物块M释放点距物块N的距离L是 C．物块M与物块N碰后的速度是 D．物块M与物块N碰后又滑动时间后会离开水平地面 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）如图,质量为、电荷量为的带正电粒子（忽略粒子重力）以速度沿方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，经过该区域中的点的速率为，此时竖直方向侧移量为，若，则（　　） A．带电粒子在点的速率为 B．带电粒子的加速度大小恒为 C．若，粒子从射入该区域到点所用时间至少为 D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力 10．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，半径为R的光滑半圆形绝缘轨道固定在竖直平面内，轨道处在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场中。一质量为m、可视为质点的带负电小球套在轨道上，由轨道左端A处由静止滑下，小球第一次经过轨道最低点C时对轨道的压力是所受重力的4倍，重力加速度大小为g，A、D与圆心O等高，则下列判断正确的是（　　） A．小球从A到C的过程中机械能减小 B．小球恰能运动到与A等高的D点 C．小球第二次经过轨道最低点时对轨道的压力为2mg D．小球从A到C的时间小于从C到D的时间 11．（25-26高三上·河北唐山·期中）利用质谱仪可分析碘的各种同位素，如图所示，电荷量均为+q的碘131和碘127质量分别为m1和m2，它们从容器A下方的小孔S1进入电压为U的加速电场（初速度忽略不计），经电场加速后从S2小孔射出，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。下列说法正确的是（　　） A．磁场的方向垂直于纸面向里 B．碘131进入磁场时的速率为 C．碘131与碘127在磁场中运动的时间差值为 D．打到照相底片上的碘131与碘127之间的距离为 12．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，在真空中一条理想分界线将平面分为左右两侧。左侧区域存在平行于分界线的匀强电场，右侧区域存在垂直水平面向里的匀强磁场。在左侧电场中有一粒子源，沿垂直分界线的方向射出速率为的带正电粒子（不计重力），带电粒子进入和离开磁场分别经过分界线上的两点（图中未标出），则下列说法中正确的是（　） A．若仅增大匀强电场的场强，则之间的距离会增加 B．若仅增大带电粒子的初速度，则之间的距离会增加 C．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则之间的距离会增加 D．若仅增大之间的距离，之间的距离保持不变 三、解答题 13．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一带电量为（）、质量为的粒子从x轴上的A点沿y轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的点进入第一象限的磁场，后又回到第二象限的电场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的场强大小 (2)磁感应强度B满足的条件。 14．（24-25高二下·四川乐山·期末）如图所示，在轴上方存在磁感应强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在轴下方存在竖直向上的匀强电场。一个质量为、电荷量为的带正电粒子从轴上的点沿轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子与轴正方向成第一次进入电场。不计粒子重力，求： (1)粒子在磁场中运动的轨道半径和速度大小； (2)若粒子第一次进入电场后经过轴上点（未标出）时速度方向恰好与轴垂直，匀强电场的电场强度大小； (3)粒子从开始运动到返回出发点所用的总时间。 15．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子穿过圆形区域所用的时间。 16．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与光滑半圆轨道DF相切。半圆轨道的半径，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内。整个空间存在水平向左的匀强电场，电场强度，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上），磁感应强度。一质量为0.2kg的带电小球沿轨道AC下滑至C点，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，且能沿半圆轨道通过F点，不计空气阻力，，。求： (1)小球电性和电荷量q； (2)小球通过F点时对轨道的压力大小。 17．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，在竖直平面内存在直角坐标系，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度为，第一象限有水平向右的匀强电场，电场强度为。在第一象限内，处有水平绝缘平台，右端与半径为的光滑绝缘竖直半圆弧轨道平滑连接，相切于点，为其最高点。质量为、带正电的可视为质点的小球从轴上某点以与轴负半轴成、大小的速度射入第二象限，恰好做匀速直线运动。现在第二象限内小球运动的某段路径上加上垂直于纸面向外的圆形边界的匀强磁场，磁感应强度，小球经过磁场区域后恰好水平向右运动，垂直于轴从点无碰撞进入第一象限并沿平台方向运动，已知小球与平台的动摩擦因数，平台的长度，重力加速度，不计空气阻力，结果可用根号表示。求： (1)电场强度的大小； (2)小球第一次从点落到平台上的位置与点的距离； (3)所加圆形磁场区域的最小面积。 18．（24-25高一下·辽宁·期末）一半径为的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平面内，MN为其竖直直径，O为圆心，整个空间存在与水平成角、斜向左上方的匀强电场。一质量为，电荷量为的小球（可视为质点），第一次从轨道最低点M由静止释放，到达P点时速度刚好为零，OP连线与水平面成角。第二次小球从M点以速度水平向左射入，可使小球刚好能到达N点，且在N点速度大小为，取重力加速度，求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)和的大小； (3)第二次小球从M点到N点过程中的最大速度。 19．（2025·福建泉州·一模）如图，宽度为的两竖直虚线间存在有匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场方向垂直纸面向外。一足够长、质量为、不带电的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端放置一质量为、电荷量为的带正电小物块，在板上与距离为处放置一质量为、不带电的小物块。现让以大小为的初速度向右运动，与恰好在虚线左边界处发生碰撞并瞬间粘合在一起。一起经过两虚线区域过程中，速度变化量大小与对应的位移成正比，当到达右边界时恰好与板共速。已知重力加速度大小为，与板间的动摩擦因数均为。 (1)求与碰前在板上滑动的加速度大小； (2)求初始位置与虚线左边界的距离及、碰后瞬间的速度大小； (3)若一起进入虚线左边界时，只将磁场方向变为垂直纸面向里，其他条件不变，求刚离开虚线右边界时重力的瞬时功率。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化02：带电粒子在复合场（组合场）中的运动 【题型归纳】 技巧一：带电粒子在叠加场中运动的处理方法 1．三种典型情况 (1)若只有两个场，所受合力为零，则表现为匀速直线运动或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB时，重力场与电场叠加满足mg＝qE时。 (2)若三场共存，所受合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB的方向与速度v垂直。 (3)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB＝m。 2．分析技巧 技巧二．带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较 垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转) 进入电场时速度方向与电场有一定夹角 情景图 受力 FB＝qv0B，FB大小不变，方向变化，方向总指向圆心，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 FE＝qE，FE大小、方向均不变，FE为恒力 运动规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2 类斜抛运动 vx＝v0sin θ，vy＝v0cos θ－t x＝v0sin θ·t，y＝v0cos θ·t－t2 【题型探究】 题型一：带电粒子在叠加场中做直线运动 【例1】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入叠加场区，且沿直线运动到A点，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．微粒可能带正电 B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动 C．电场强度大小为 D．磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】AB．因为带电粒子在磁场中受到洛伦兹力与速度有关，如果带电粒子在电场、磁场、重力场复合的场中做直线运动，则一定是匀速直线运动；由于微粒匀速运动，所以重力、电场力、洛伦兹力三力平衡，若粒子带正电，电场力向左，洛伦兹力垂直于线斜向右下方，则电场力、洛伦兹力和重力不能平衡，如图所示 故粒子带负电，故AB错误； CD．若粒子带负电，符合题意，受力如图所示 由图根据受力平衡可知， 可解得，，故D正确，C错误。 故选D。 【变式1】．（24-25高二下·河北衡水·期末）如图所示，绝缘直杆以倾角固定在竖直平面内，电荷量为q、质量为m的带正电小球穿在直杆上，小球与直杆间的动摩擦因数为，空间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。现将小球从一定高度由静止释放开始沿直杆下滑，已知小球的电荷量保持不变，直杆足够长，重力加速度为g，则下列说法正确的是（    ） A．小球运动过程中受到的磁场的作用力垂直直杆斜向下 B．小球先做加速度逐渐减小的加速运动后做匀速运动 C．小球运动过程中的最大加速度大小为 D．小球运动过程中的最大速度大小为 【答案】D 【详解】A．根据左手定则可知，小球运动过程中受到的磁场的作用力垂直直杆斜向上，故A错误； B．小球开始速度较小，洛伦兹力较小，杆对小球的弹力垂直于杆向上，此时有， 可知，随速度增大，弹力减小，加速度增大，即此时小球做加速度增大的变加速直线运动，当弹力减为0时，加速度为，之后，速度进一步增大，洛伦兹力大于重力垂直于杆的分力，此时有， 可知，随速度增大，弹力增大，加速度减小，即此时小球做加速度减小的变加速直线运动，当加速度减为0时，速度达到最大值，之后做匀速直线运动，故B错误； C．结合上述可知，小球运动过程中的最大加速度大小为，故C错误； D．结合上述，速度达到最大值时加速度为0，则有， 解得，故D正确。 故选D。 【变式2】．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场，虚线边界MN的右侧还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球从P点沿着与水平方向成角开始运动，运动到虚线边界MN上的Q点时速度方向恰好水平向右，之后小球开始做匀速直线运动。已知小球的初速度大小为、质量为m、电荷量大小为q，重力加速度为g，匀强电场的电场强度，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强磁场的方向垂直于纸面向外 C．P、Q两点的水平距离大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 【答案】C 【详解】A．由题意可带电小球从P点到Q点在竖直方向做匀减速直线运动，则加速度方向向上，小球受到的电场力向上，与场强方向相反，所以小球带负电，故A错误； C．带电小球从P点到Q点过程，竖直方向有， 水平方向有 联立解得P、Q两点的水平距离大小为，故C正确； BD．小球经过Q点之后小球开始做匀速直线运动，根据平衡条件可知，洛伦兹力竖直向下，由左手定则可知，匀强磁场的方向垂直于纸面向里；又 解得匀强磁场的磁感应强度大小为，故BD错误。 故选C。 题型二：带电粒子在叠加场中中做匀速圆周运动 【例2】．（25-26高二上·江苏·期中）如图所示的空间，匀强电场的方向竖直向下，场强为E，匀强磁场的方向水平向外，磁感应强度为B，有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动（两小球间的库仑力可忽略），运动轨迹如图中所示，已知两个带电小球A和B的质量关系为，轨道半径为，则下列说法正确的是（    ） A．小球A、B均带正电 B．小球A带负电、B带正电 C．小球A、B的周期比为2 : 1 D．小球A、B的速度比为3 : 1 【答案】D 【详解】AB．因为两小球在复合场中都能做匀速圆周运动，均满足 所受电场力均向上，两小球均带负电，AB错误； CD．由洛伦兹力提供向心力可得 联立可得 可得，小球的速度比为 由周期公式 故小球的周期比为，C错误，D正确。 故选D。 【变式1】．（2025·北京海淀·三模）如图所示的MNPQ区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，现有两个带电微粒、均从边界的点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　） A．a、b两微粒均带正电 B．a、b两微粒在该区域运动周期一定相等 C．a、b两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等 D．仅增加磁场强度a、b一定都能做匀速圆周运动 【答案】C 【详解】A．电场方向竖直向上，重力与电场力平衡，即 电场力向上，故微粒带正电（正电荷受力与电场方向相同），A正确； B．圆周运动周期 由 得 则 （与微粒质量、电荷量无关），故a、b周期相等，B正确； C．圆周运动半径 定值，但v未知（两微粒初速度可能不同），故半径不一定相等，C错误； D．仅增加磁场强度B，重力与电场力仍平衡，洛伦兹力增大，但只要满足，微粒仍可做匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力 ），D正确。 本题选错误的，故选C。 【变式2】．（24-25高二下·四川·期中）如图所示，在匀强电场和匀强磁场共存的区域内，电场的场强为E，方向竖直向下，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，一质量为m的带电粒子，在场区内的一竖直平面内做匀速圆周运动，则可判断该带电质点（　　） A．沿圆周顺时针运动 B．运动的周期为 C．运动的速率为 D．带电粒子机械能守恒 【答案】B 【详解】A．粒子做匀速圆周运动，可知电场力与重力等大反向，由于电场强度方向向下，可知粒子带负电，再由左手定则可知，粒子沿圆周逆时针运动，故A错误； B．因为，， 联立解得粒子运动的周期为 故B正确； C．根据题中条件，无法求出运动的速率，故C错误； D．因为粒子受到电场力，电场力在做功，根据功能关系可知，机械能不守恒，故D错误。 故选B。 题型三：带电粒子在叠加场中做变速圆周运动 【例3】．（2025·山西·二模）如图所示，在竖直平面内有一半径为的固定光滑绝缘圆环，空间中有水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，一质量为、带电量为的带电小球沿圆环外侧做圆周运动，AC为竖直直径，初始时带电小球位于圆环最高点A，并且有速度大小水平初速度，带电小球能够不脱离圆环做完整的圆周运动，重力加速度。则下列说法正确的有（　　） A．小球在A点的速度方向向右 B．小球在A点受到圆环的支持力为0 C．小球在C点速度大小为4m/s D．小球在C点对圆环的压力大小为10N 【答案】D 【详解】A．小球要做完整圆周运动，在C点进行受力分析，可判断洛伦兹力向上，可知在C点速度方向向右，在A点速度方向向左，A错误； B．对A点受力分析，可得，B错误； C．由动能定理有 解得C点速度为，错误； D．在C点根据牛顿第二定律得 又根据牛顿第三定律，得10N，D正确。 故选D。 【变式1】．（23-24高二下·四川·期末）如图所示，圆心为、半径为的光滑半圆弧绝缘轨道固定在竖直面内，、两点等高，点为圆弧轨道最低点，在轨道的左半边有方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场，点为圆弧上的一点，连线与夹角为45°。一带负电的小球（可视为质点），从轨道右端点无初速度释放，运动过程中始终未脱离轨道，已知点在磁场内，重力加速度大小为，则下列说法中正确的是（    ） A．小球滑到轨道左侧后，不会到达点 B．小球经过点时的向心加速度大小为 C．小球由点滑到点与从点滑到点所用的时间相等 D．小球在磁场中，向左经过点时对轨道的压力大于向右经过点时对轨道的压力 【答案】C 【详解】A．由于洛伦兹力不做功，所以小球在光滑半圆弧绝缘轨道运行时，小球的机械能守恒，则小球滑到轨道左侧后，刚好能到达点，故A错误； B．小球从点到点，根据动能定理可知 球经过点时的向心加速度大小为 联立解得 故B错误； C．由于小球在光滑半圆弧绝缘轨道运行时机械能守恒，则小球经过任意同一水平面的左右两侧圆弧轨道的速度大小相等，根据对称性可知小球由点滑到点与从点滑到点所用的时间相等，故C正确； D．设小球经过点的速度为，小球在磁场中，当小球向左经过点，根据牛顿第二定律可得 当小球向右经过点，根据牛顿第二定律可得 可得 即小球在磁场中，向左经过点时对轨道的压力小于向右经过点时对轨道的压力，故D错误。 故选C。 【变式2】．（23-24高二下·甘肃·期末）如图所示，质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力与自身受到的重力大小相等，重力加速度大小为g，则物块对圆槽的最大压力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】物块运动过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律可知物块到达圆槽最低点时速度最大且不变，由 解得 物块在半圆槽内做往复运动，当物块在最低点受到向下的洛伦兹力时，物块对半圆槽的压力最大有 根据题意有 其中 联立解得 故选C。 题型四：带电粒子在叠加场中做旋进运动 【例4】．（24-25高二上·河南信阳·期末）如图所示，xOy坐标平面在竖直面内，x轴沿水平方向，y轴正方向竖直向上，在图示空间内有垂直于xOy平面的水平匀强磁场。一带负电小球从O点由静止释放，运动轨迹如图中曲线所示。则（　　） A．OAB轨迹为半圆 B．磁场垂直于纸面向里 C．小球运动至最低点A时处于失重状态 D．小球在整个运动过程中加速度大小相等 【答案】D 【详解】A．运动过程中受洛伦兹力及重力，故轨迹为摆线，A错误； B．根据左手定则可知磁场垂直于纸面向外，B错误； C．由图可知小球运动至最低点A时加速度竖直向上，可知处于超重状态，C错误； D． 由于小球的初速度为零，现给它配上一对等大反向的速度和，以x轴的正方向为速度正方向，使得速度得大小满足 则与对应得洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力，故小球得加速度大小为 D正确。 故选D。 【变式1】．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在一小段真空室内有水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为，磁感应强度大小为。若某电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，不计离子重力，则（    ） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．该离子的加速度大小不变，方向变化 D．的比值不断减小 【答案】C 【详解】A．根据功率的计算公式 可知电场力的瞬时功率为 故A错误； B．由于与磁场平行，根据洛伦兹力的计算公式可知该离子受到的洛伦兹力大小为 故B错误； C．离子受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子受到的合力大小不变，方向改变，根据牛顿第二定律可知，该离子的加速度大小不变，方向改变；故C正确； D．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则增大，不变，的比值不断增大，故D错误。 故选C。 【变式2】．（22-23高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度方向垂直纸面向外 B．电子的初速度v0小于 C．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大 D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动 【答案】C 【详解】A．电子从点开始轨迹向下弯曲，由于电场力向上，说明洛伦兹力向下，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误； B．电子从运动到，合外力指向轨迹凹侧，有 则 故B错误； C．由点至点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐增大，故C正确； D．电子受力平衡，可以做匀速直线运动，初速度方向与磁场平行，电子做类平抛运动，所以电子不可能做匀加速直线运动，故D错误。 故选C。 题型五：电视显像管的工作原理 【例5】．（23-24高二下·江苏镇江·期中）如图所示，显像管中有一电子枪，工作时它能发射高速电子，偏转线圈通以偏转电流后在虚线区域内产生偏转磁场，电子经过偏转磁场后撞击荧光屏上的A点发光。下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场方向垂直纸面向里 B．电子经过偏转磁场的过程中动能不断增大 C．电子经过偏转磁场区域的轨迹是抛物线 D．发光点从A向B点运动的过程中，偏转电流先减小后增大 【答案】D 【详解】A．由题意可知，电子进入磁场时所受洛伦兹力向上，根据左手定则，拇指指向洛伦兹力方向，四指指向负电荷运动的反方向，则手心垂直纸面向里，即偏转磁场方向垂直纸面向外，A错误； B．洛伦兹力对电子不做功，电子动能不变，B错误； C．洛伦兹力提供电子圆周运动的向心力，则电子在磁场中做匀速圆周运动，C错误； D．根据 得 电子运动半径先变大后变小，则磁感应强度先垂直纸面向外减小，后垂直纸面向里增大，线圈中偏转电流先减小后增大，D正确。 故选D。 【变式1】．（21-22高二下·山西运城·期中）显像管电视机应用了电子束的磁偏转原理，显像管电子枪发出的电子，由安装在管颈上的偏转线圈产生的磁场控制电子水平偏转，水平方向偏转的俯视图如图所示，水平方向由到的扫描，称之为行扫描.关于由到的一次行扫描过程中行偏转线圈产生的磁场，下列说法正确的是（    ） A．磁场方向先向右后向左 B．磁场方向先向下后向上 C．磁感应强度先变小后变大 D．磁感应强度先变大后变小 【答案】C 【详解】AB.电子受到的洛伦茲力先向上后向下，由左手定则可知磁感应强度先垂直纸面向外后垂直纸面向里，A、B错误； CD.电子束偏转半径先变大后减小，故磁感应强度先变小后变大，C正确，D错误。 故选C。 【变式2】．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示是电视显像管原理示意图（俯视图），电流通过偏转线圈，从而产生偏转磁场，电子束经过偏转磁场后运动轨迹发生偏转，不计电子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电子经过磁场时速度增大 B．欲使电子束打在荧光屏上的A点，偏转磁场的方向应垂直纸面向里 C．欲使电子束打在荧光屏上的B点，偏转磁场的方向应垂直纸面向外 D．欲使电子束打在荧光屏上的位置由A点调整到B点，应调节偏转线圈中的电流使磁场增强 【答案】C 【详解】A．电子经过磁场发生偏转时，洛伦兹力方向与速度方向垂直，洛伦兹力不做功，所以电子的速度大小不变，A错误； BC．根据左手定则，欲使电子束打在荧光屏上的A、B点，偏转磁场的方向应垂直纸面向外，B错误，C正确； D．欲使电子束打在荧光屏上的位置由A点调整到B点，应减小电子的偏转程度，故应调节偏转线圈中的电流使磁场减弱，D错误。 故选C。 题型六：带电粒子在叠加场中做曲线运动 【例6】．（25-26高二上·辽宁·期中）如图，矩形区域（含边界）存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B和水平向左的匀强电场。一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从左下角N点以大小为的速度水平向右射入，最终从右上角Q点以竖直向上大小为的速度射出。不计粒子所受其他作用力，下列说法正确的是（    ） A．电场力做功 B．电场力做功 C．矩形磁场的边长度为 D．矩形磁场的边长度为 【答案】C 【详解】AB．粒子从N到Q，根据动能定理，有，故AB错误； CD．洛伦兹力的竖直分量提供竖直方向的动量变化，根据动量定理，有 即 解得矩形磁场的NP边长度为，故C正确，D错误。 故选C。 【变式1】．（2025·北京·模拟预测）我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。xOy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的电子从点沿轴正方向水平入射，入射速度为时，电子沿轴做直线运动；入射速度为（）时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子运动到最高点的速度大小为 【答案】C 【详解】A．电子入射速度为时，电子沿轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手定则可知，洛伦兹力向下，有 解得，故A正确，不符合题意； B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦兹力不做功，向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B正确，不符合题意； C．因为入射速度为时，电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，结合B项分析可知，电子在向上运动过程中动能增加速度增大，洛伦兹力增大，所以电子在最低点的合力向上，在最高点的合力向下，设电子在最高点的速度大小为，有 解得电子运动到最高点的速度大小为，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意。 故选C。 【变式2】．（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，在磁感应强度大小B，方向水平向里的匀强磁场中，有一根长L的竖直光滑绝缘细杆MN，细杆顶端套有一个质量m电荷量的小环。现让细杆以恒定的速度沿垂直磁场方向水平向右匀速运动，同时释放小环（竖直方向初速度为0），小环最终从细杆底端飞出，重力加速度为，关于小环在杆上的运动下列说法正确的是（　　） A．小环的轨迹是条直线 B．洛伦兹力对小环做负功 C．小环在运动过程中机械能不变 D．小环在绝缘杆上运动时间为 【答案】D 【详解】A．对小环分析可知，竖直方向受向下的重力和向上的洛伦兹力作用，加速度 因v不变，则加速度不变，即小环在竖直方向做匀加速运动，水平方向做匀速运动，可知小环运动的轨迹为曲线，选项A错误； B．洛伦兹力对小环不做功，选项B错误； C．水平速度小环受到向右的洛伦兹力作用，在细杆对小环有向左的弹力作用，该弹力对小环做负功，可知小环在运动过程中机械能减小，选项C错误； D．小环在竖直方向做匀加速运动，加速度为 根据 可得竖直小环在绝缘杆上运动时间为 选项D正确。 故选D。 题型七：带电粒子在电磁场进出问题 【例7】．（24-25高二下·江西南昌·期中）如图所示，空间电、磁场分界线与电场方向成45°角，分界面一侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，另一侧为平行纸面向上的匀强电场。一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从P点以v0的速度沿垂直电场和磁场的方向射入磁场，一段时间后，粒子恰好又回到P点。（场区足够大，不计粒子重力）则下列选项中不正确的是（　　） A．当粒子第一次进入电场时，速度与分界线所成的锐角为45° B．当粒子第二次进入电场时，到P点的距离为 C．电场强度大小为B0v0 D．粒子回到P点所用的总时间为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，粒子的运动轨迹如图 可知粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据圆周运动的特点可知，粒子第一次到达边界时的偏转角是，即速度与分界线所成的锐角为，故A正确，不符合题意； B．由A选项分析可知，粒子进入电场的方向，与电场强度方向相反，故粒子先减速到零，再反方向加速到原来的速度第二次进入磁场，在磁场中做圆周运动，经过后，由S点进入电场，设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，根据牛顿第二定律 解得 由图根据几何关系解得 故B正确，不符合题意； C．设电场的电场强度为E，粒子第二次进入电场的方向与电场方向垂直，根据图可知，水平方向 竖直方向， 联立解得 故C正确，不符合题意； D．粒子回到点所用的总时间包括在磁场中的运动时间，第一次进入电场时先减速后加速的时间及第二次在电场中偏转的时间，粒子在磁场中运动的时间由几何关系可知 第一次进入电场时先减速后加速的时间 第二次在电场中偏转的时间 粒子回到点所用的总时间为 故D错误，符合题意。 故选D。 【变式1】．（2025·河南·三模）如图所示，平行板电容器竖直放置，右极板右侧空间存在垂直纸面向外的匀强磁场。一比荷为的带负电粒子从电容器下端中间位置以的初速度沿极板方向进入电场，经电场偏转后从电容器右极板正中间的小孔进入匀强磁场，最后恰好从右极板的上边缘射出磁场。已知两极板间的距离为d，极板间电压不计带电粒子的重力，下列说法正确的是（　　） A．电容器极板长度为3d B．粒子进入磁场时的速度大小为 C．匀强磁场的磁感应强度大小为 D．粒子从射入电场到射出磁场的运动时间为 【答案】D 【详解】A．粒子的运动轨迹如图所示 粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有 解得 由运动学公式有 解得 粒子沿极板方向做匀速运动，有 解得电容器极板长度为，故A错误； B．粒子进入磁场时竖直方向的速度大小为，水平分速度大小 则粒子进入磁场时的速度大小，故错误； C．设粒子进入磁场时的速度为向与水平方向的夹角为，有 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力，有 解得，故C错误； D．粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为，可知运动时间 则粒子从射入电场到射出磁场的运动时间，故D正确。 故选D。 【变式2】．（2025·河北·二模）在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。则在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋（　　） A．在磁场中运动的半径之比为3:1 B．在电场中的加速度之比为1:1 C．在磁场中转过的角度之比为1:2 D．离开磁场区域时的动能之比为1: 【答案】C 【详解】A．离子在电场中运动时有 离子在磁场中运动时有 联立解得 所以在磁场中运动的半径之比为:1，故A错误； B．在电场中的加速度为 所以加速度之比为1:3，故B错误； C．设磁场宽为l，根据几何关系可得 所以离子在磁场中转过的角度的正弦之比为1:，由于P＋在磁场中转过的角度为30°，所以P3＋在磁场中转过的角度为60°，即转过的角度之比为1:2，故C正确； D．离开磁场区域时的动能与进入磁场时的动能相等，均为qU，所以动能之比为1:3，故D错误。 故选C。 题型八：带电粒子在电磁场中往复运动 【例8】．（22-23高二下·海南·期末）如图是真空中位于同一水平面的三个同心圆、和围成的区域，为圆心。、间存在辐射状电场，、间有磁感应强度大小为、方向垂直水平面（纸面）的匀强磁场。电子从点静止释放，由进入磁场，恰好没有从上方圆上的点（未画出）飞出磁场。已知电子的比荷为，、和的半径分别为、和。则（　　）    A．磁场的方向垂直纸面向里 B．电子在磁场运动的半径为 C．、两点间的电势差为 D．、两点间的电势差为 【答案】D 【详解】A．电子从点静止释放，受电场力作用，由进入磁场，恰好没有从上方圆上的点飞出磁场，可知电子向上运动，由左手定则可知磁场的方向垂直纸面向外，故A错误； B．电子在磁场的运动如图所示：    由几何关系可得 解得 故B错误； CD．电子在磁场中有 在电场中有 解得 故C错误，D正确。 故选D。 【变式1】．（2025·重庆·模拟预测）在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在范围内存在竖直向下的匀强电场，在范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（    ） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 【答案】D 【详解】AB．粒子经过T时间到达(R，0)位置，由此可知，粒子在磁场中的圆周运动的半径 由 解得 粒子进入匀强电场中先匀减速运动，后匀加速运动，运动过程中加速度不变，故由动量定理可知： 解得 磁场的大小和电场的大小的比值为，AB错误； CD．粒子运动一个周期需要在磁场中完成4个半圆，在电场中完成两个匀减速和两个匀加速运动，在电场中匀加速运动的过程中，由动能定理可得： 解得 半个圆周运动的路程 故一个周期运动的轨迹长度 C错误，D正确。 故选D。 【变式2】．（2024·云南曲靖·二模）如图所示，真空室中y轴右侧存在连续排列的4个圆形边界磁场，圆心均在x轴上，相邻两个圆相切，半径均为R，磁感应强度均为B。其中第1、3个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向里，第2、4个圆形边界的磁场方向垂直于纸面向外，第4个磁场右侧有一个粒子接收屏与x轴垂直，并与第4个磁场相切，切点为M，在磁场上方和下方分别有一条虚线与磁场相切，上方虚线以上有一方向向下的范围无限大的匀强电场，下方虚线以下有一方向向上的范围无限大的匀强电场，电场强度大小均为E。现将一群质量均为m、电荷量均为的带电粒子从坐标原点O向第一、四象限各个方向发射（不考虑平行于y轴方向发射的粒子），射出速度大小均为。不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的时间相同 B．所有被接收屏接收的粒子均从M点沿x轴正方向射出 C．所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为 D．所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为 【答案】C 【详解】CD．粒子在磁场中运动时，根据牛顿第二定律 代入粒子速度得 根据左手定则，粒子在第1个圆形磁场中做逆时针的圆周运动，由于粒子运动半径等于圆形磁场的半径。根据几何关系，粒子入射点、出射点、圆形磁场圆心、圆周运动圆心构成菱形，故粒子在第1个圆形磁场的出射方向均沿y轴正方向。粒子进入电场后先做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，返回磁场的速率与射出时相等。同理，粒子第二次射出磁场的位置均在圆形磁场切点，所有粒子在第1个磁场中的运动时间相等，均为。粒子在第2个磁场中的运动为顺时针，运动规律同理于第1个磁场中的运动。最终所有粒子均到达M点。运动轨迹如图 综上所述，所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的过程中在电场中运动的时间均为 所有粒子从O点射出到最终被接收屏接收的过程中在磁场中运动的时间均为 故C正确，D错误； A．所有粒子在电场和磁场中的运动时间都相同，在没有磁场也没有电场的空间中的运动路程不同，时间不同，故A错误； B．由DC选项可知，所有被接收屏接收的粒子到达M点的速度方向不同，只有沿x轴正方向射入的粒子会沿轴正方向射出，故B错误。 故选C。 题型九：带电粒子在交流磁场中的运动 【例9】．（22-23高二下·安徽·期中）如图甲，足够大的空间有垂直纸面的匀强磁场，以O为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，在纸面内建立直角坐标系xOy。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子在O点以与x轴成的初速度v射入磁场，磁场的磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙，其中，规定垂直纸面向外为磁感应强度的正方向，粒子重力不计。求： （1）粒子从O点射出后第一次经过x轴时的位置坐标； （2）当粒子运动到与x轴距离最大的位置时，该位置与O点的水平距离。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）t＝0粒子进入磁场后，根据牛顿第二定律有 粒子在磁场中做圆周运动的周期 由于，所以粒子恰好在时刻第一次经过x轴，由几何关系有 所以第一次经过x轴时的位置坐标为 （2）作出粒子运动的轨迹示意图 粒子在第2个时间内做匀速运动，运动的距离 粒子第一次与x轴距离最大时，离O点的水平距离为 第二次与x轴距离最大时，离O点的水平距离为 所以当粒子第k次运动到与x轴距离最大的位置时，该位置与O点的水平距离 即 【变式1】．（24-25高二上·重庆渝中·期末）如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知离子质量为m、带电荷量为q，离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。若要使离子从垂直于N板射出磁场，则离子射入磁场时的速度可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使正离子从孔垂直于N板射出磁场，的方向应如图所示 两板之间正离子只运动一个周期即时，有；当两板之间正离子运动n个周期即时，有。联立求解，得正离子的速度的可能值为。 当时，。 故选A。 【变式2】．（24-25高三上·广东潮州·期末）如图a所示，平面直角坐标系中，第三象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形区域中存在着大小、方向均可调整的磁场。已知C点坐标边与x轴正方向的夹角大小为，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子，从P点以大小为y，方向与边平行的初速度进入电场。经偏转后从A点垂直边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不从边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向外为正），则发现在时从A点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C点射出，已知匀强电场场强，不计粒子重力。求： (1)A点的坐标； (2)粒子恰好不从边射出时，匀强磁场磁感应强度的大小； (3)交变磁场的磁感应强度和周期的大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）沿电场线反方向，粒子做匀减速直线运动，则有，   根据牛顿第二定律则有    联立解得 对A点     解得 A点的坐标为 （2）粒子进入的磁场中，则有 由牛顿第二定律 由几何关系得     联立解得 （3）粒子进入的磁场中，由牛顿第二定律 设粒子在的时间内，轨迹的圆心角为。由几何关系得，平行x轴方向 平行y轴方向 联立解得， 交变磁场每经过的时间，粒子在磁场中轨迹的圆心角为 解得 题型十：带电粒子在叠加场的动量问题 【例10】．（24-25高二下·海南海口·期末）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的匀速圆周运动。当油滴a运动到最低点P时，在内力作用下瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与油滴a的速度方向相同，并做半径为3R的匀速圆周运动，轨迹如图。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，求： (1)油滴a的电性和电量； (2)油滴a做匀速圆周运动的速度大小； (3)小油滴Ⅱ速度大小。 【答案】(1)负电， (2) (3) 【详解】（1）油滴做圆周运动，故重力与电场力平衡，即电场力方向与电场强度方向相反，可知油滴带负电，根据平衡条件有 解得 （2）根据洛伦兹力提供向心力有 结合上述，解得油滴做圆周运动的速度大小为 （3）设小油滴I的速度大小为，则有 结合上述解得 设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴分离前瞬间的速度方向为正方向，带电油滴分离前后水平方向动量守恒，则有 解得 即小油滴Ⅱ速度大小为 【变式1】．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小为B。带正电的小球1和不带电的绝缘小球2静止放置于固定的水平悬空光滑支架上，两者之间有一被压缩的绝缘微型弹簧，弹簧用绝缘细线锁住，如图所示。小球1的质量为m1，电荷量为q。某时刻，烧断锁住弹簧的细线，弹簧将小球1、2瞬间弹开。小球1做匀速圆周运动，经四分之三个周期与球2相碰。弹开前后两小球的带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。不计空气阻力，两球均可视为质点，重力加速度大小为g。求： (1)电场强度的大小； (2)小球2被弹开瞬间的速度大小； (3)小球1、2的质量之比。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球1做匀速圆周运动，故小球1所受的重力和电场力等大反向 解得 （2）两球相撞时，小球2的水平位移和竖直位移都是小球1圆周运动的半径，小球1做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则 联立解得 ， （3）烧断细线瞬间，两小球组成的系统动量守恒 解得 【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）如图所示，质量为的小车以的速度在光滑的水平面上向左运动，小车上AD部分是表面粗糙的水平轨道，DC部分是光滑圆弧轨道，整个轨道都是由绝缘材料制成的，小车所在空间内有竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度B大小为，现有一质量为、带负电且电荷量为的滑块以的水平速度向右冲上小车，当它运动到D点时速度为。滑块可视为质点，取，计算结果保留两位有效数字。 （1）求滑块从A到D的过程中，小车与滑块组成的系统损失的机械能； （2）如果滑块刚过D点时对轨道的压力为，求圆弧轨道的半径； （3）当滑块通过D点时，立即撤去磁场，要使滑块冲出圆弧轨道，求此圆弧轨道的最大半径。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）根据题意，设滑块运动到D点时的速度大小为，小车在此时的速度大小为，物块从A运动到D的过程中，系统动量守恒，以向右为正方向，有 解得 设小车与滑块组成的系统损失的机械能为，根据能量守恒定律有 代入数据解得 （2）设滑块刚过D点时受到轨道的支持力为，则由牛顿第三定律可得 由牛顿第二定律可得 解得 （3）设滑块沿圆弧轨道上升到最大高度时，滑块与小车具有共同的速度，由动量守恒定律可得 解得 设圆弧轨道的最大半径为，由能量守恒定律有 解得 题型十一：带电粒子在组合场、叠加场综合问题 【例11】．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，光滑绝缘水平面的右侧存在着匀强电场和匀强磁场组成的复合场，电场方向竖直向下，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B；一质量为的不带电的小球a，在水平面上以v0的速度与静止的电荷量为q（q>0）、质量为m的金属小球b发生碰撞，碰后b向右进入复合场中，在竖直面内做匀速圆周运动。已知碰撞过程中没有电荷的转移，也没有机械能的损失，重力加速度为g。求： (1)a、b两球碰后的速度va、vb各为多大； (2)小球b在复合场中做圆周运动的半径r； (3)小球b在复合场中，从最低点到最高点的过程中机械能的增加量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）两球碰撞由动量守恒和能量关系可知， 解得， （2）小球b在复合场中做匀速圆周运动，则 解得 （3）小球b在复合场中做匀速圆周运动，从最低点到最高点的过程中动能不变，重力势能增加，则机械能的增加量 【例12】．（24-25高二上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在沿轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从轴负半轴上的P点与轴正方向成120°垂直磁场射入第Ⅳ象限，经轴上的N点与轴正方向成120°角射入电场，最后从轴正半轴上的M点以垂直于y轴方向的速度射出电场，粒子从P点射入磁场的速度为，不计粒子重力，求 (1)粒子在磁场中运动的轨道半径R； (2)粒子从P点运动到M点的总时间t； (3)匀强电场的场强大小E； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有 可得粒子在磁场中运动的轨道半径 （2）作出粒子运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为150°，粒子在磁场中运动的周期 则粒子在磁场中运动的时间 由几何知识可得 从N到M运动的时间 则粒子从P点运动到M点的总时间 （3）在电场中竖直方向则有 解得 【变式1】．（24-25高二下·贵州毕节·期末）如图所示，平面直角坐标系xOy的第一象限内存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从沿y轴正方向以初速度射入匀强电场中，一段时间后从点进入匀强磁场。已知带电粒子在磁场中运动时与y轴的最大距离为，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)带电粒子从开始运动到经过N点（图中未画出）的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子的运动轨迹如图所示 带电粒子从点运动到点的过程中，沿轴方向做匀加速直线运动，沿轴方向做匀加速直线运动，在x方向，有 在y方向，有 根据牛顿第二定律，有 联立解得 （2）带电粒子进入磁场瞬间的速度大小为 在x方向，有 速度与x轴方向夹角的正切值 由几何关系可得 由牛顿第二定律得 解得 （3）由图可知，每个周期内带电粒子在磁场中运动的时间为 粒子每个周期沿轴方向运动的距离为 从开始运动到经过点的时间为 解得 【变式2】．（25-26高三上·贵州·期中）如图所示，在竖直平面的直角坐标系中，第一象限内存在两个区域，在的Ⅰ区域中存在垂直平面向里的匀强磁场和水平向右的匀强电场；在的Ⅱ区域中存在方向垂直平面向外的匀强磁场和方向竖直向上、大小为的匀强电场；一质量为、带电量为的粒子，从坐标原点以速度大小（为已知量）、方向与轴正方向成角发射，恰好沿直线运动，从点（图中未标）进入Ⅱ区域。已知重力加速度为。 (1)求Ⅰ区域中的匀强磁场的大小及电场强度的大小； (2)为了使该带电粒子能够回到Ⅰ区域，求Ⅱ区域的匀强磁场的最小磁感应强度。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）带电粒子在Ⅰ区域中做直线运动，受重力、电场力和洛伦兹力，如图所示 根据三角形关系可得， 代入数据解得， （2）带电粒子在Ⅱ区域中，有 所以带电粒子在Ⅱ区域中做匀速圆周运动。若与右边界相切，令半径为r1，根据几何关系有    解得 若与下边界相切，令半径为r2，根据几何关系有 解得 故带电粒子要回到Ⅰ区域，做圆周运动的最大半径 做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力 解得 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东·期中）图为洛伦兹力演示仪的结构简图，励磁线圈中的电流产生垂直纸面向外的匀强磁场，调节励磁线圈中的电流可以改变磁场的强弱。电子枪发射的电子，其出射速度与磁场方向垂直，调节电子枪上的加速电压可以控制电子的速度大小，下列说法正确的是（　　） A．两励磁线圈中的电流均为逆时针方向 B．电子在磁场中运动，洛伦兹力对电子做正功 C．只调节电子枪的加速电压，可以改变电子做圆周运动的周期 D．只增大励磁线圈中的电流，可以使电子运动径迹的半径增大 【答案】A 【详解】A．由安培定则可知两励磁线圈中的电流均为逆时针方向，产生垂直纸面向外的匀强磁场，故A正确； B．当电子垂直磁场方向进入匀强磁场时，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，电子在磁场中运动时，洛伦兹力的方向与速度方向垂直，洛伦兹力不做功，故B错误； C．设加速电压为U，对电子的加速过程，根据动能定理有 解得 设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律有 解得 电子的运动周期为 可知只调节电子枪的加速电压，只改变电子进入磁场的速度，没有改变电子做圆周运动的周期，故C错误； D．根据 增大励磁线圈中的电流，即B增大，可以使电子运动径迹的半径减小，故D错误。 故选A。 2．（24-25高二下·广西·期末）质谱仪的工作原理示意图如图所示。带电粒子被加速电场加速后，沿直线经过速度选择器，垂直平板S从狭缝P进入下方的匀强磁场B0。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场分别为B和E，其中电场强度E的方向水平向右，平板S上有记录粒子位置的胶片A1、A2。若粒子在磁场B0中做圆周运动的周期为T，则下列选项正确的是（　　） A．该粒子带负电 B．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向里 C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于 D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小 【答案】C 【详解】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，结合左手定则可知，该粒子带正电，故A错误； B．速度选择器中粒子受向右的电场力，则受到向左的洛伦兹力，可知磁场方向垂直于纸面向外，故B错误； C．能通过狭缝P的带电粒子满足 可得速率，故C正确； D．根据 粒子打在胶片上距离P点的距离 粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，则d越小，则粒子的比荷越大，故D错误。 故选C。 3．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，足够长且倾角为θ的绝缘光滑固定斜面处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向外，一带电量为q（q>0）的小物块从斜面上由静止开始下滑，下滑位移为x时物块刚好离开斜面。不计空气阻力。则在物块从释放到刚好离开斜面的全过程中（　　） A．洛伦兹力的冲量大小为2qBx B．重力的冲量大小为 C．支持力的冲量大小为 D．物块刚好离开斜面时的动量大小为 qBxtanθ 【答案】B 【详解】A．斜面光滑，物块从释放到刚好离开斜面的全过程中做匀加速运动， 下滑位移为x时， 物块刚好离开斜面，有 物块从释放到刚好离开斜面的全过程所用时间 洛伦兹力的冲量大小为，故A错误； B．重力的冲量大小为，故B正确； C．根据动量定理，在垂直于斜面方向上，合外力的冲量等于动量的变化量，而该方向动量始终为零，故动量变化量为零，所以 支持力的冲量大小等于洛伦兹力的冲量大小，为，故C错误； D．物块刚好离开斜面时的动量大小为，故D错误。 故选B。 4．（25-26高三上·河北沧州·期中）如图所示，真空内存在向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为，磁感应强度大小为。电荷量为的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为，垂直于磁场方向的分量大小为，下列说法错误的是（　　） A．电场力的瞬时功率为 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．与的比值保持不变 D．该离子的加速度大小保持不变 【答案】C 【详解】A．电场力的瞬时功率为，故A正确； B．由于与磁场平行，则根据洛伦兹力的计算公式可知该离子受到的洛伦兹力大小为，故B正确； C．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，在磁场方向做加速运动，则增大，不变，的比值不断增大，故C错误； D．离子受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子受到的合力大小不变，该离子的加速度大小保持不变，故D正确。 本题选择错的，故选C。 5．（25-26高二上·河南南阳·期中）图甲是洛伦兹力演示仪。图乙是演示仪结构图，玻璃泡内充有稀薄的气体，由电子枪发射电子束，在电子束通过时能够显示电子的径迹。图丙是励磁线圈的原理图，两线圈之间产生近似匀强磁场，线圈中电流越大磁场越强，磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节。若电子枪垂直磁场方向发射电子，给励磁线圈通电后，能看到电子束的径迹呈圆形。关于电子束的轨道半径，下列说法正确的是（    ） A．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变小 B．只增大励磁线圈中的电流，轨道半径变大 C．同时增大电子枪的加速电压和励磁线圈中的电流，轨道半径一定变小 D．增大电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中的电流，轨道半径一定变大 【答案】D 【详解】电子被加速电场加速，由动能定理可得 粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得 A．只增大电子枪的加速电压，轨道半径变大，故A错误； B．只增大励磁线圈中的电流，磁感应强度B增大，轨道半径变小，故B错误； C．同时增大电子枪的加速电压和励磁线圈中的电流，则和B同时增大，轨道半径可能变小，可能变大，也可能不变，故C错误； D．增大电子枪的加速电压同时减小励磁线圈中的电流，即增大电压U的同时，减小磁感应强度B，则轨道半径一定变大，故D正确。 故选D。 6．（2024·黑龙江·模拟预测）某质谱仪由加速电场、静电分析器和磁分析器组成，工作原理图如图所示。加速电场的电压为U，圆弧形静电分析器通道内存在均匀辐射电场，通道中心是半径为R的圆弧，圆弧上各点电场强度大小均为E，磁分析器中有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B。粒子源中有大量电荷量相同而质量不同的粒子，从A处由静止开始经电场加速后，沿通道中心经过静电分析器，接着进入磁分析器，最终打在胶片PQ上。已知粒子重力可忽略不计，则（　　） A．从P点进入磁场的粒子动量一定相等 B．从P点进入磁场的粒子速度一定相等 C．粒子的比荷越大，打到胶片上距离P点越远 D．打到胶片上距P越远的粒子运动总时间越长 【答案】D 【详解】A．粒子经加速电场加速过程中，有 粒子在静电分析器中满足 在磁分析器中满足 则从点进入磁场的粒子动量 由于质量不同，所以动量不同，A错误； B．速度 质量越大，速度越小，B错误； C．打到胶片上的位置 比荷越小，距离越远，C错误； D．打到胶片上距越远的粒子比荷越小，越小，在加速电场和静电分析器中运动的时间越长，在磁分析器中运动的时间也越长，即打到胶片上距越远的粒子运动的总时间越长，D正确。 故选D。 7．（25-26高二上·陕西榆林·期中）如图所示，、两个长方体物块叠放在粗糙水平地面上，物块带负电，物块不带电且为绝缘体，地面上方有垂直纸面向里的匀强磁场，现用水平恒力拉物块，使、一起无相对滑动地向右加速运动，在加速的过程中，物块、间的摩擦力（　　） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】B 【详解】由于无相对滑动，考虑对整体受力分析，将受到向下的洛伦兹力的作用，使得加速过程中地面对的支持力逐渐增大，则系统所受的摩擦力将逐渐增大。根据牛顿第二定律 可知加速度将逐渐减小，接下来隔离列出牛顿第二定律 可知物块间的摩擦力逐渐减小。 故选B。 8．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，足够长光滑水平面上方空间中有垂直向里、磁感应强度为B的匀强磁场和水平向右、电场强度为E的匀强电场，水平面上有一个质量为m且不带电的绝缘物块N，在物块N左边某处静止释放一个质量为2m且带正电的物块M，带电荷量为q，物块M、N都可以看成质点，若M、N恰能相碰（碰撞时间很短），且碰后粘为一体（碰后电荷量不变），重力加速度取g，下列说法正确的是（　　） A．物块M与物块N碰前的速度是 B．物块M释放点距物块N的距离L是 C．物块M与物块N碰后的速度是 D．物块M与物块N碰后又滑动时间后会离开水平地面 【答案】B 【详解】A．M在电场力的作用下向右加速，同时洛伦兹力向上且大小也在增加。若M、N恰好能相碰，此时有，求得。故A错误； B．设物块释放点距物块的距离是，根据动能定理得 代入得，故B正确； C．碰撞过程满足动量守恒，且碰后粘为一体， 解得，故C错误； D．物块与物块碰后粘为一体后运动速度为时离开水平地面，则有 可求得速度 连接体受到电场力的作用加速运动，加速度 所以时间，故D错误。 故选B。 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州六盘水·期中）如图,质量为、电荷量为的带正电粒子（忽略粒子重力）以速度沿方向垂直射入相互正交的竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，经过该区域中的点的速率为，此时竖直方向侧移量为，若，则（　　） A．带电粒子在点的速率为 B．带电粒子的加速度大小恒为 C．若，粒子从射入该区域到点所用时间至少为 D．粒子在运动过程中洛伦兹力始终大于电场力 【答案】BC 【详解】A．粒子运动过程中，洛伦兹力始终与速度方向垂直而不做功，根据动能定理得 解得，故A错误； B．将粒子进入叠加场的初速度看成是两个水平向右分速度、的合成,其中分速度满足 解得 另一分速度满足 则粒子在电磁场中的运动可分解为以水平向右做匀速直线运动和以做匀速圆周运动,其中以速率做匀速圆周运动过程中由洛伦兹力提供向心力,可知粒子运动过程受到的合力大小为 根据牛顿第二定律可知带电粒子的加速度大小为，故B正确； C．粒子以速率做匀速圆周运动过程中由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若,可知粒子从射入该区域到点所用时间至少为，故C正确； D．粒子的合速度为分速度与的合成,其中的大小方向均保持不变,的大小不变,方向时刻发生改变,当方向与方向相反时,粒子的合速度最小,则有 可知粒子受到的洛伦兹力最小值为零,而粒子受到的电场力保持不变，故D错误。 故选BC。 10．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）如图所示，半径为R的光滑半圆形绝缘轨道固定在竖直平面内，轨道处在磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场中。一质量为m、可视为质点的带负电小球套在轨道上，由轨道左端A处由静止滑下，小球第一次经过轨道最低点C时对轨道的压力是所受重力的4倍，重力加速度大小为g，A、D与圆心O等高，则下列判断正确的是（　　） A．小球从A到C的过程中机械能减小 B．小球恰能运动到与A等高的D点 C．小球第二次经过轨道最低点时对轨道的压力为2mg D．小球从A到C的时间小于从C到D的时间 【答案】BC 【详解】ABD．小球所受洛伦兹力不做功，半圆形绝缘轨道光滑，小球在运动中机械能守恒，小球恰能运动到与A等高的D点，小球从A到C的时间等于从C到D的时间，故AD错误，B正确； C．由动能定理可知 解得小球到C点的速度大小 所以小球在C点所受洛伦兹力的大小 小球第一次经过轨道最低点C时洛伦兹力竖直向下，则 小球第二次经过轨道最低点时，洛伦兹力竖直向上，则 又 解得 由牛顿第三定律可知小球第二次经过轨道最低点时对轨道的压力大小为2mg，故C正确。 故选BC。 11．（25-26高三上·河北唐山·期中）利用质谱仪可分析碘的各种同位素，如图所示，电荷量均为+q的碘131和碘127质量分别为m1和m2，它们从容器A下方的小孔S1进入电压为U的加速电场（初速度忽略不计），经电场加速后从S2小孔射出，垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。下列说法正确的是（　　） A．磁场的方向垂直于纸面向里 B．碘131进入磁场时的速率为 C．碘131与碘127在磁场中运动的时间差值为 D．打到照相底片上的碘131与碘127之间的距离为 【答案】BD 【详解】A．碘131和碘127均带正电，进入磁场时均向左偏转，所受的洛伦兹力向左，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外，故A错误； B．碘131在电场中加速过程，由动能定理知，粒子在电场中得到的动能等于电场对它所做的功，则 解得，故B正确； C．根据周期公式，因两个粒子在磁场中运动的时间t为周期的一半，则碘131与碘127在磁场中运动的时间差值为 故C错误； D．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，则有 解得 所以打到照相底片上的碘131与碘127之间的距离为，故D正确。 故选BD。 12．（25-26高二上·贵州毕节·期中）如图，在真空中一条理想分界线将平面分为左右两侧。左侧区域存在平行于分界线的匀强电场，右侧区域存在垂直水平面向里的匀强磁场。在左侧电场中有一粒子源，沿垂直分界线的方向射出速率为的带正电粒子（不计重力），带电粒子进入和离开磁场分别经过分界线上的两点（图中未标出），则下列说法中正确的是（　） A．若仅增大匀强电场的场强，则之间的距离会增加 B．若仅增大带电粒子的初速度，则之间的距离会增加 C．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则之间的距离会增加 D．若仅增大之间的距离，之间的距离保持不变 【答案】BD 【详解】粒子进入磁场时 可得 之间的距离 其中 为粒子经过点时速度方向与分界线之间的夹角，可得 故选BD。 三、解答题 13．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在方向垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场。一带电量为（）、质量为的粒子从x轴上的A点沿y轴正方向以初速度进入第二象限，经电场偏转后从y轴上的点进入第一象限的磁场，后又回到第二象限的电场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的场强大小 (2)磁感应强度B满足的条件。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律，有qE=ma‍ 沿x轴方向，有， 沿y轴方向，有 联立解得， （2）粒子进入磁场时的速度 设粒子进入磁场时速度与y轴正方向夹角为θ，则 粒子在磁场中的运动轨迹刚好与x轴相切时，半径最大，如图所示 根据几何关系，有 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有 解得 当磁感应强度越大，半径越小，故磁感应强度B满足的条件为 14．（24-25高二下·四川乐山·期末）如图所示，在轴上方存在磁感应强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在轴下方存在竖直向上的匀强电场。一个质量为、电荷量为的带正电粒子从轴上的点沿轴正方向以某初速度开始运动，一段时间后，粒子与轴正方向成第一次进入电场。不计粒子重力，求： (1)粒子在磁场中运动的轨道半径和速度大小； (2)若粒子第一次进入电场后经过轴上点（未标出）时速度方向恰好与轴垂直，匀强电场的电场强度大小； (3)粒子从开始运动到返回出发点所用的总时间。 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）粒子从P点释放后在第二象限内做匀速圆周运动，根据几何关系可得 可得 由 可得 （2）粒子进入第三象限后在电场力作用下做曲线运动，可分解为沿轴方向的匀速直线运动和沿轴方向匀减速直线运动，轴方向， 轴方向， 解得 （3）匀速圆周运动的周期 粒子在第二象限和第一象限内做匀速圆周运动的轨迹均为个圆周，设在磁场中的运动时间为，有 粒子在第三象限和第四象限内的曲线运动具有等时性，故粒子从P到第一次回到P点的运动时间为 15．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子穿过圆形区域所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子沿直线通过cdef区域，可知 解得 （2）由逆向思维可知，粒子在左侧电场中做类平抛运动，可知， 解得 （3）粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动，则 解得r=L 则粒子转过的圆心角为 可得 则时间为 16．（2025·四川巴中·模拟预测）如图所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC，其延长线在D点与光滑半圆轨道DF相切。半圆轨道的半径，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内。整个空间存在水平向左的匀强电场，电场强度，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场（C点处于MN边界上），磁感应强度。一质量为0.2kg的带电小球沿轨道AC下滑至C点，接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道，且能沿半圆轨道通过F点，不计空气阻力，，。求： (1)小球电性和电荷量q； (2)小球通过F点时对轨道的压力大小。 【答案】(1)带正电， (2) 【详解】（1）在段做直线运动，分析可知，段受力平衡，故有 解得 根据平衡可知小球带正电。 （2）设小球在段运动的速度为，段受力平衡，有 解得 小球从运动到，根据动能定理得 解得 小球通过点时受到轨道的弹力为，则 解得 由牛顿第三定律得小球对轨道的压力大小 17．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，在竖直平面内存在直角坐标系，第二象限有沿轴正方向的匀强电场，电场强度为，第一象限有水平向右的匀强电场，电场强度为。在第一象限内，处有水平绝缘平台，右端与半径为的光滑绝缘竖直半圆弧轨道平滑连接，相切于点，为其最高点。质量为、带正电的可视为质点的小球从轴上某点以与轴负半轴成、大小的速度射入第二象限，恰好做匀速直线运动。现在第二象限内小球运动的某段路径上加上垂直于纸面向外的圆形边界的匀强磁场，磁感应强度，小球经过磁场区域后恰好水平向右运动，垂直于轴从点无碰撞进入第一象限并沿平台方向运动，已知小球与平台的动摩擦因数，平台的长度，重力加速度，不计空气阻力，结果可用根号表示。求： (1)电场强度的大小； (2)小球第一次从点落到平台上的位置与点的距离； (3)所加圆形磁场区域的最小面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在第二象限做匀速直线运动，由平衡条件有 可得电场强度的大小 （2）从到，由动能定理有 可得小球在的速度 小球从点水平抛出后，竖直方向做自由落体运动 水平方向做匀减速直线运动 可得落点距的距离 （3）如图所示 在圆形磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有 可得磁场中运动的半径 若小球从点进入磁场，从点射出磁场，其弦长为最小磁场圆的直径，由几何知识有其圆心角 磁场圆的最小半径： 最小面积 可得 18．（24-25高一下·辽宁·期末）一半径为的光滑绝缘半圆弧轨道固定在竖直平面内，MN为其竖直直径，O为圆心，整个空间存在与水平成角、斜向左上方的匀强电场。一质量为，电荷量为的小球（可视为质点），第一次从轨道最低点M由静止释放，到达P点时速度刚好为零，OP连线与水平面成角。第二次小球从M点以速度水平向左射入，可使小球刚好能到达N点，且在N点速度大小为，取重力加速度，求： (1)匀强电场的电场强度E的大小； (2)和的大小； (3)第二次小球从M点到N点过程中的最大速度。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）小球从到，由动能定理，有 解得 （2）小球刚好能到达N点，则此时对轨道的压力为零，可得 解得 小球从到，由动能定理，有 解得 （3）由题意可知，与的合力F与圆轨道的交点为等效最低点，设该点为Q，当小球到达Q点时速度最大，其方向是过Q点圆的切线方向，由图可知，合力 小球从到，由动能定理，有 解得 19．（2025·福建泉州·一模）如图，宽度为的两竖直虚线间存在有匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，磁场方向垂直纸面向外。一足够长、质量为、不带电的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端放置一质量为、电荷量为的带正电小物块，在板上与距离为处放置一质量为、不带电的小物块。现让以大小为的初速度向右运动，与恰好在虚线左边界处发生碰撞并瞬间粘合在一起。一起经过两虚线区域过程中，速度变化量大小与对应的位移成正比，当到达右边界时恰好与板共速。已知重力加速度大小为，与板间的动摩擦因数均为。 (1)求与碰前在板上滑动的加速度大小； (2)求初始位置与虚线左边界的距离及、碰后瞬间的速度大小； (3)若一起进入虚线左边界时，只将磁场方向变为垂直纸面向里，其他条件不变，求刚离开虚线右边界时重力的瞬时功率。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）设A与板间的动摩擦因数为，A与C碰前在板上滑动，根据牛顿第二定律，有 解得 （2）设A从开始运动到刚与C碰撞的过程中，运动时间为，A的位移为，C与板的加速度为，根据牛顿第二定律，有 根据位移-时间公式，有，根据位移-时间公式，可得C与板位移为 位移间的关系为 联立解得， 设A、C碰撞前瞬间速度大小分别为、，根据速度-时间公式，有 C的速度为 联立解得， A与C碰撞过程，由动量守恒定律有 解得 （3）设AC一起经过两虚线区域过程中速度大小为，由动量定理得 即 由于速度变化量与对应的位移成正比，即为线性关系，则 设AC和板共速的速度大小为，由动量守恒定律得 解得 联立以上可得 解得 当AC碰撞后只将磁场方向变为垂直纸面向里，AC将一起在两虚线区域内做匀速圆周运动，设半径为r，离开右边界时速度方向与水平方向的夹角为θ，如图所示 根据洛伦兹力提供向心力，有，根据几何关系可得 重力的瞬时功率为 联立解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $