第一章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理，通过选择（10题30分）、填空（8题24分）、解答（6题46分）覆盖定理应用、逆定理及实际问题，融入赵爽弦图等文化素材与台风、梯子滑动等现实情境，适配单元复习，培养几何直观、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理计算、赵爽弦图、勾股数、直角三角形判定|基础巩固，文化传承（赵爽弦图）与实际情境（树折断）结合| |填空题|8/24|直角三角形边长、梯子滑动、圆柱侧面最短路径|能力提升，涉及翻折动态问题，培养空间观念| |解答题|6/46|四边形面积、台风影响、勾股定理验证拓展|创新应用，如台风路径分析（模型意识）、阅读理解探究（推理意识）|

第1章 勾股定理 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图中弦c＝5，股b＝4，则小正方形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各组数中勾股数的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，13 4．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，其中点D为BC的中点．若BC＝10，则阴影部分的面积是（　　） A．30 B．35 C．60 D．65 5．数学课上，朱老师要求大家分别以6cm和8cm的长为两直角边作一个直角三角形，并测量它的斜边的长度，下列结果中最接近的是（　　） A．6.5cm B．8.8cm C．10.1cm D．13.9cm 6．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．76 B．70 C．48 D．24 7．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10m B．15m C．18m D．20m 8．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的（　　） A．∠C﹣∠B＝∠A B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（c+a）（c﹣a）＝b2 D．a：b：c＝7：24：25 9．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断∠B是不是直角，这样做的依据是（　　） A．勾股定理 B．若三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 10．以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆组成如图图形，若图中三个阴影部分的面积和为24，AC＝4，则AB的长度是（　　） A．6 B．8 C． D． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠C＝90°，则BC＝　 　 ． 2．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝10cm，a：b＝3：4，则△ABC的周长为 　 　 ． 3．如图，三个正方形，从左往右它们的边长依次是8厘米、10厘米、6厘米，直线AB把这个组合图形分成两个部分．这两个部分的面积差是　 　 平方厘米． 4．如图，一个梯子AB长2米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.2米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.4米，则梯子顶端A下落了 　 　 米． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点D是AC边的中点，点E是AB上的动点，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，连结A′B，则A′B的最小值为　 　 ． 6．在△ABC中，∠C＝90°，若c＝3，则a2+b2+c2＝　 　 ． 7．如图所示，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是　 　 三角形． 8．如图，已知圆柱底面的周长为8cm，圆柱高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝周长的最小值是 　 　 cm． 三．解答题（共6小题，满分46分，第1题6分，第2题8分，第3题6分，第4题8分，第5题8分，第6题8分） 1．如图所示，两树高分别为10m和4m，相距8m，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，问小鸟至少飞行了多远？ 2．如图，在四边形ABCD中，AB＝9，BC＝12，CD＝17，AD＝8，∠B＝90°． （1）连接AC，求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 3．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 4．在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26．求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．如图，作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 5．A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域． （1）自己画出图形并解答：A城是否受到这次台风的影响？为什么？ （2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 6．阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2． （1）【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　 ； （2）【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　 ； （3）【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． （4）【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　 ． （5）【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为5． 故选：A． 2．【解答】解：∵弦c＝5，股b＝4， ∴勾a， ∴小正方形的面积＝（b﹣a）2＝（4﹣3）2＝1， 故选：A． 3．【解答】解：A、∵42+52＝16+25＝41，62＝36， ∴42+52≠62， ∴4，5，6不是勾股数，本选项不符合题意； B、∵不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，本选项不符合题意； C、∵62+82＝36+64＝100，112＝121， ∴62+82≠112， ∴6，8，11不是勾股数，本选项不符合题意； D、∵52+122＝25+144＝169，132＝169， ∴52+122＝132， ∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意； 故选：D． 4．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝13，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC的中点， ∴BD＝CD＝5，AD⊥BC， 在Rt△ABD中，由勾股定理得： ， ∴S△BEF＝S△CFE，S△AFB＝S△AFC，S△BED＝S△CED， ∴阴影部分的面积为：， 故选：A． 5．【解答】解：∵6cm和8cm的长为两直角边作一个直角三角形， ∴这个直角三角形的斜边为：10cm， ∴最接近的是10.1cm． 故选：C． 6．【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8， ∴由勾股定理得：AB10， ∴正方形的面积是10×10＝100， ∵△AEB的面积是AE×BE6×8＝24， ∴阴影部分的面积是100﹣24＝76， 故选：A． 7．【解答】解：∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC＝5m，AB＝12m， ∴AC13m， ∴这棵树原来的高度＝BC+AC＝5+13＝18m． 即：这棵大树在折断前的高度为18m． 故选：C． 8．【解答】解：A、∵∠C﹣∠B＝∠A，∠C+∠A+∠B＝180°，∴∠C＝90°，能判定△ABC为直角三角形，不符合题意； B、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠C+∠A+∠B＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意； C、∵（c+a）（c﹣a）＝c2﹣a2＝b2，∴a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； D、设a＝7x，则b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 9．【解答】解：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足AB2+BC2＝AC2，则可判断△ABC是直角三角形，即∠B为直角；若AB2+BC2≠AC2，则∠B不是直角． 故选：B． 10．【解答】解：设BC＝x，则， 根据阴影部分面积关系2×S△ABC＝24，得S△ABC＝12， 由， 解得x＝6． ∴， 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：在△ABC中，AB＝5，AC＝3，∠C＝90°， ∴BC4， 故选：4． 2．【解答】解：设a＝3xcm，则b＝4xcm， 由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（3x）2+（4x）2＝102， 解得：x＝2， 则a＝6cm，b＝8cm， ∴△ABC的周长＝6+8+10＝24（cm）， 故答案为：24cm． 3．【解答】解：如图，补成一个长方形，其长为8+10+6＝24（厘米），宽为10厘米； 则两部分面积的差为：12×24×10﹣8×（10﹣8）﹣12×24×10﹣6×（10﹣6）＝8（平方厘米）； 故答案为：8． 4．【解答】解：在直角△ABC中，已知AB＝2米，BC＝1.2米， ∴AC1.6（米）， 在直角△CDE中， ∵CD＝CB+BD＝1.2+0.4＝1.6（米），DE＝AB＝2米， ∴CE1.2（米）， ∴AE＝AC﹣CE＝1.6﹣1.2＝0.4（米） 故答案为：0.4． 5．【解答】解：如图，连接BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4， ∴ACBC＝4， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CDAC＝2， ∴BD2， 根据折叠的性质得，AD＝A′D＝2， 在△A′BD中，A′B≥BD﹣A′D， ∴当B、A′、D三点共线时，A′B最小， ∴A′B的最小值为：BD﹣A′D＝22． 故答案为：22． 6．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∴a2+b2+c2＝c2+c2＝2c2， ∵c＝3， ∴a2+b2+c2＝2×32＝18． 故答案为：18． 7．【解答】解：∵AB2＝32+42＝25，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形， 故答案为：直角． 8．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为8cm，圆柱高为3cm， ∴AB＝3cm，BC＝BC′＝4cm， ∴AC2＝42+32＝25， ∴AC＝5cm， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10m． 故答案为：10． 三．解答题 1．【解答】解：如图，由题意可知，BC＝8米，AC＝10﹣4＝6（米）， 由勾股定理得：AB10（米）， 则小鸟至少要飞10米， 2．【解答】解：（1）∵AB＝9，BC＝12，∠B＝90°， ∴； （2）∵CD＝17，AD＝8，AC＝15， ∴AD2+AC2＝82+152＝64+225＝289，CD2＝172＝289， ∴AD2+AC2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC ＝114． 3．【解答】解：如图所示：设AB＝x，则BC＝x﹣1， 故在Rt△ACB中， AB2＝AC2+BC2， 故x2＝52+（x﹣1）2， 解得；x＝13， 即AB＝13． ∴BC＝12， ∴S△ABC•AC•BC5×12＝30． 4．【解答】解：由题意知BD＝x，则CD＝28﹣x， 在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x， 由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2， 在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28﹣x， 由勾股定理，得AD2＝AC2﹣CD2＝262﹣（28﹣x）2， ∴302﹣x2＝262﹣（28﹣x）2， 解得x＝18． ∴AD2＝302﹣x2＝302﹣182＝576． ∴AD＝24． ∴S△ABCBC•AD28×24＝336． 5．【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km， 因为160＜200，所以A城要受台风影响； （2）设BF上点D，DA＝200千米，另一点G，有AG＝200千米． ∵DA＝AG，∴△ADG是等腰三角形， ∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，CD＝GC， 在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米， 由勾股定理得， CD120千米， 则DG＝2DC＝240千米， 遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）． 6．【解答】解：（1）∵，b＝2a， ∴ca， ∴小正方形面积：大正方形面积＝（a）2：（3a）2＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意可求， ∴空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28． 故答案为：28； （3）根据题意可知AB+AC＝24÷4＝6，OB＝OC＝3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6﹣x． 在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，即（x+3）2+32＝（6﹣x）2， 解得x＝1， ∴OA＝4， ∴该风车状图案的面积； （4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵S1+S2+S3＝40，S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y， ∴S2＝x+4y． 故答案为：； （5）结论：a2+b2﹣ab＝c2． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得： ， ∴（a+b）2＝3ab+c2， ∴a2+b2﹣ab＝c2． 学科网（北京）股份有限公司 $