5.4+二次函数与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过竖直上抛小球实例导入，衔接一次函数与一元一次方程的知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解两者联系。 其亮点在于运用数形结合思想，通过函数图像与方程根的关系培养几何直观，结合探究活动发展推理能力，如小球落地时间的图像与方程求解对比。小结清晰归纳判别式与交点个数关系，助力学生构建知识体系，教师可高效开展教学。

2026-2027学年北师大版数学九年级上册 5.4 二次函数与一元二次方程 5.4.1 二次函数与一元二次方程 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点） 学习目标 1.一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式Δ= , 当Δ_____0时,方程有两个不相等的实数根; 当________时,有两个相等的实数根; 当________时,没有实数根.  ＞ Δ＝0 Δ＜0 2.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的 就是一元一次方程kx＋b＝0的根． 横坐标 探索新知 竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出 时的速度。一个小球从地面被以 40 m/s的速度竖直向上抛起，小 球距离地面的高度h(m)与运动时 间t(s)的关系如图所示。 探索新知 (1)h与t的关系式是什么？ (2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。 解：(1)将点(0，0)，(8，0)代入可得h＝－5t2＋40t； (2)当h＝0时，t1＝0，t2＝8， ∴小球经过8 s落地。 解：（1）由图象可得h0＝0，v0＝40. ∴h与t的关系式为h＝－5t2＋40t. 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(单位：m)是抛出时的高度，v0(单位：m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出， 小球的高度h与运动时间t的关系如图所示， (1)写出h与t之间的关系式. (2)方法一：由图象可得小球经过8 s后落地. 方法二：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0， ∴ t(t－8)＝0. 解得t1＝0，t2＝8. ∵ t＝0是小球没抛时的时间， ∴ t＝8是小球落地时的时间. ∴ 小球经过8 s后落地. “数形结合”思想 (2)小球经过多少秒落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 探究新知 二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示. 【探究1】 观察·思考 （1） （2） （3） (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. 一元二次方程x2＋2x＝0的Δ=4＞0， ∴方程有2个不相等的实数根. 解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ x1=-2，x2=0 y=x2+2x 2个交点 解：∵ △＝b²-4ac 一元二次方程x2－2x＋2＝0有实数根吗？ ＝（-2）²-4×1×2 ＝-4＜0 ∴原方程无实数根 (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. ∵一元二次方程x2－2x＋2＝0的Δ=-4＜0, ∴方程没有实数根. y=x2-2x+2 没有交点 (3)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 归纳总结 Δ＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； Δ＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有一个交点，交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根； Δ＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点。 h=－5t2＋40t 何时小球的高度是60 m？你是如何知道的？ 【方法指导】已知h＝－5t2＋40t， 把h＝60代入即可求出时间． 解：由－5t2＋40t＝60， 【探究2】 观察·思考 解得t1＝2，t2＝6. 即当小球经过2 s和6 s时小球离地面60 m. 分析：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可． 【方法总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标． 解：令y＝－(x－2)2＋1＝0， 解得x1＝0，x2＝4. ∴二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0)． 例1 求二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标． 【例2】画出二次函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象解答下列问题： (1)图象与x轴的交点的坐标是什么？ (2)当x取何值时y＝0？这里x的值与方程x2－2x－3＝0有何关系？ (3)你能从中得到什么启示？ 解：二次函数y＝x2－2x－3的图象如图。 (1)图象与x轴的交点坐标是 (－1，0)，(3，0)； y x 1 2 1 2 3 -1 -2 -1 -2 -3 -4 O (2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，这里x的值是方程x2－2x－3＝0的两个根； 例3: 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 例3 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝. 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 随堂练习 1.一个小球被从地面向上弹出，它的高度h(单位:m)可以用公式h=-4.9t²+19.6t来表示，其中t(单位:s)表示小球被弹出后经过的时间。 （1）出函数h=-4.9t²+19.6t 的图象； （2）当t =1，2时，小球的高度分别是多少？ （2）当t=1时， h=-4.9+19.6=14.7（m） 当t=2时， h=-4.9×2²+19.6×2=19.6 （m） 方法一：令h＝60，即－5t2＋40t＝60, 解得 t1=2，t2=6, ∴2s或6s时，小球离地面的高度是60m. 方法二：由图象可得. 【方法归纳】可以利用图象，也可以解方程. 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ x y o 2 4 1 一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来. 一元二次方程的根即为二次函数当y值为1时，对应的x的值. 由图象得一元二次方程的根为x1=2，x2=4. 2. 二次函数y=x2+bx-1(b为常数)的图象与x轴相交吗? 如果相交，有几个交点? 解:二元一次方程x2+bx-1=0中， △=b2+4 ∴二次函数y=x2+bx-1与x轴有两个交点. 3. 二次函数y=－x2+3x+4的图象与一次函数y=2x－1的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标？ 解：由题意得－x2+3x+4=2x－1， 即x2 － x － 5=0， ∵△=b2－4ac=1+20=21＞0， ∴x1 =, x2 =. ∴交点坐标为(, ) 或. ∴y1 =, y2 = － 一般地，当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m. 反过来，解方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 二次函数与一元二次方程的关系: 课堂小结 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数. 二次函数与一元二次方程根的情况 二次函数与x轴的交点个数 判别式 的符号 一元二次方程根的情况 Δ $