5.4 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系及图象法求近似根，通过复习一元二次方程判别式、一次函数与方程关系，结合小球上抛情境导入，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点是以“数形结合”为主线，通过合作探究分析二次函数图象与方程根的关系，典例精析铅球运动等实际问题，培养学生几何直观与推理意识。总结表格清晰呈现对应关系，随堂检测强化应用，助力学生用数学眼光观察、思维分析，教师可高效教学，提升学生解决问题能力。

5.4 二次函数与一元二次方程 5.4 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程(1) 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.（重点） 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.（难点） 学 习 目 标 1.一元二次方程a+bx+c=0的根的判别式Δ= , 当Δ_____0时,方程有两个不相等的实数根; 当________时,有两个相等的实数根; 当________时,没有实数根.  ＞ Δ＝0 Δ＜0 2.一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的 就是一元一次方程kx＋b＝0的根． 横坐标 复 习 导 入 现在我们学习了一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？ 一个小球从地面被竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.你能从图象看出什么信息呢？ 情 境 导 入 解：（1）由图象可得h0＝0，v0＝40. ∴h与t的关系式为h＝－5t2＋40t. 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(单位：m)是抛出时的高度，v0(单位：m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40 m/s的速度竖直向上抛出， 小球的高度h与运动时间t的关系如图所示， (1)写出h与t之间的关系式. 合 作 探 究 (2)方法一：由图象可得小球经过8 s后落地. 方法二：令h＝0，得－5t2＋40t＝0，即t2－8t＝0， ∴ t(t－8)＝0. 解得t1＝0，t2＝8. ∵ t＝0是小球没抛时的时间， ∴ t＝8是小球落地时的时间. ∴ 小球经过8 s后落地. “数形结合”思想 (2)小球经过多少秒落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流. 合 作 探 究 (1)二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有2个交点,为（-2,0）和（0,0）. 二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，为（1,0）. 二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点. 议一议：二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象分别如图所示. (1)每个图象与x轴有几个交点?交点坐标分别是什么？ 合 作 探 究 (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. 一元二次方程x2＋2x＝0的Δ=4＞0， ∴方程有2个不相等的实数根. 解：x(x+2)=0 x=0或x+2=0 ∴ x1=-2，x2=0 y=x2+2x 2个交点 合 作 探 究 一元二次方程x2－2x＋1＝0的Δ=0， ∴方程有2个相等的实数根. 解： (x-1)2=0 ∴ x1=x2=1 (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. y=x2-2x+1 1个交点 合 作 探 究 (2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0分别有几个实数根?用根的判别式验证一下. ∵一元二次方程x2－2x＋2＝0的Δ=-4＜0, ∴方程没有实数根. y=x2-2x+2 没有交点 合 作 探 究 (3)二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点. 与此相对应，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根（b2－4ac>0）、有两个相等的实数根（b2－4ac＝0）、没有实数根（b2－4ac<0）. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 合 作 探 究 分析：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，只需令y＝0，求出x的值即可． 【方法总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标． 解：令y＝－(x－2)2＋1＝0， 解得x1＝0，x2＝4. ∴二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标为(0,0),(4,0)． 例1 求二次函数y＝－(x－2)2＋1的图象与x轴的交点坐标． 典 例 精 析 例2: 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有交点； 典 例 精 析 例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝. 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1. 典 例 精 析 方法一：令h＝60，即－5t2＋40t＝60, 解得 t1=2，t2=6, ∴2s或6s时，小球离地面的高度是60m. 方法二：由图象可得. 【方法归纳】可以利用图象，也可以解方程. 想一想 在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 合 作 探 究 x y o 2 4 1 一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来. 一元二次方程的根即为二次函数当y值为1时，对应的x的值. 由图象得一元二次方程的根为x1=2，x2=4. 针 对 练 习 一般地，当二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的y取某一定值m时,求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m. 反过来，解方程ax2+bx+c=m又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值为m，求自变量x的值． 二次函数与一元二次方程的关系: 新 知 小 结 解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-4)2+3， 把（0，0.6）代入得 0.6=a（0-4）2+3，解得 ∴ 例3 如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m． (1)求这个二次函数的解析式； 典 例 精 析 (2)该同学把铅球推出去多远？ 解:当y=0时，0 解得（舍去）. 答：该男同学把铅球推出去(4+2)m远． 典 例 精 析 1.抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点个数是(　 　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 A D 2.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　 ) A.无解 B.x＝1 C.x＝－4 D.x1＝－1，x2＝4 随 堂 检 测 5.抛物线y＝（k﹣1）﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ______________ ． 3.若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________. -1 （-1，0）（3，0） ≤ 4.已知方程的两个根分别为,,那么可知抛物线与x轴的交点为 . 随 堂 检 测 6. 已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点坐标为(1，0)，求B点坐标. (1)证明：2x2－mx－m2＝0，Δ＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2. ∵ m2≥0，∴ 9m2≥0， ∴ 对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点.　 随 堂 检 测 （2）解：把(1，0)代入二次函数表达式，得2－m－m2＝0， ∴ m1＝－2，m2＝1. 当m＝－2时，二次函数表达式为y＝2x2＋2x－4, 令y＝0，得2x2＋2x－4＝0，解得x＝1或x＝－2. ∴ 二次函数图象与x轴的两个公共点的坐标是(1，0)，(－2，0). 又∵ A点坐标为(1，0)，∴ B(－2，0). 当m＝1时，同理可得B（）. 随 堂 检 测 二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系 一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况 b2-4ac的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 无公共点 无实数根 b2-4ac<0 1.二次函数与一元二次方程有下列对应关系： 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 课 堂 总 结 5.4 二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次方程(2) 1.利用二次函数的图象求一元二次方程近似根.（重点） 2.经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似根的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法.（难点） 学 习 目 标 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 两个不相等的实根 b2-4ac >0 有一个交点 两个相等的实根 b2-4ac =0 没有交点 没有实数根 b2-4ac <0 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的 就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 横坐标 复 习 导 入 一元二次方程x2＋2x－10＝0的根是二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标． 这样，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数图象与x轴交点的横坐标即可，但是根据图象我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算，本节课我们将学习利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 思考:一元二次方程x2＋2x－10＝0的根与二次函数y＝x2＋2x－10的图象(右图所示)与x轴交点的横坐标有什么关系？能否从图象中直接得到方程的根呢？ 情 境 导 入 由图象可知方程x2＋2x－10＝0有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个在2和3之间. 议一议：这只是大概范围，如何确定它们的十分位呢？ x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=-4.3是方程的一个近似根. 注意：之所以取 x=-4.3 作为方程的近似根而不是 x=-4.4，是因为当x=-4.3时,其函数值更接近0. 右图是二次函数y＝x2＋2x－10的图象.你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？ （1）先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索： 合 作 探 究 （2）另一个根可以类似的求出： x 2.1 2.2 2.3 2.4 y -1.39 -0.76 -0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. （3）我们得出的结论是否正确？你能用我们学过的知识进行验证吗？ 可以利用一元二次方程的求根公式进行验证. 用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位. . ∴x1=,x2=. 合 作 探 究 例1 利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(结果精确到0.1)． 解：方程x2－2x－1＝0的根是函数y＝x2－2x－1的图象与x轴交点的横坐标． 先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，x≈－0.4是方程的一个近似根， 作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示. 由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间. 同理，x≈2.4是方程的另一个近似根.即方程x2－2x－1＝0的近似根为x1≈－0.4，x2≈2.4. 典 例 精 析 (1)画出二次函数的图象； 利用图象法求一元二次方程的近似根 (2)确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根． 新 知 小 结 B 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5， ∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1， ∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B. 典 例 精 析 图1 求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根，即求方程x2+2x-13=0的近似根. 也就是估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7. ∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7. 做一做 （1）请利用图1求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根. 合 作 探 究 图2 y=3 ①作直线y=3； ②观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值). ∴方程x2+2x-10=3的近似根为：x1≈-4.7，x2≈2.7. （2）你还能利用图2求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗？ 合 作 探 究 分析：当 y＝－x2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的根，如图所示． 例3 利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根． 解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x2＋2x－3的图象，如图，由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之间，右边的公共点横坐标在3和4之间． 典 例 精 析 (1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索： x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 ∴x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似根． (2)另一根可以类似地求出： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25 ∴x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似根． 一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根为：x1≈-1.4，x2≈3.4. 合 作 探 究 x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(　 　) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3 1.下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值： C x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y －0.80 －0.54 －0.20 0.22 0.72 2.下表是满足二次函数y＝ax2＋bx＋c的五组数据，x1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个解，则下列选项中正确的是(　　) A.1.6＜x1＜1.8 B.1.8＜x1＜2.0 C.2.0＜x1＜2.2 D.2.2＜x1＜2.4 C 随 堂 检 测 3.观察下表: 则一元二次方程x2－2x－2＝0在精确到0.1时的一个近似根是 ，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是 . x 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y＝x2－2x－2 －1.31 －1.04 －0.75 －0.44 －0.11 0.24 0.61 2.7 -0.7 －3.3 4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________． 随 堂 检 测 5.用图象法求一元二次方程x2+x-1＝0的近似根（精确到0.1）. 解：画出x2+x-1=0的图象，如图所示，由图象知，方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在0到1之间.通过计算器估算，可得到抛物线与x轴交点的横坐标大约为-1.6和0.6. 即一元二次方程的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6. 随 堂 检 测 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根的一般步骤是怎样的？ ①用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象； ②观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标； ③确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解. 课 堂 总 结 $