7.2.2 第1课时 同角三角函数关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系，通过单位圆情境引导学生从图形推导平方关系与商数关系，衔接三角函数定义，构建“观察—推导—理解”的学习支架。 其亮点在于分题型精研析，求值、化简、证明模块均配“通性通法”总结，结合逻辑推理与数学运算素养，如例3化简题严格依据象限符号规则推导，帮助学生掌握方法，教师可提升教学效率，学生能深化知识理解与应用能力。

7.2.2　 同角三角函数关系 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 新课程标准解读 核心素养 逻辑推理、 数学运算 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式 的求值、化简和证明 逻辑推理、 数学运算 目录 数学·必修第一册（SJ） 第1课时　 同角三角函数关系 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　终边相同的三个角的三角函数值都是由该角的终边与单位圆交点 所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联 系.如图，设点 P （ x ， y ）是角α的终边与单位圆的交点.过点 P 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M ，则△ OMP 为直角三角形，且 OP ＝1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin 2α＋ cos 2α＝ ⁠ 同一个角α的正弦、余弦的 平方和等于 ⁠ 商数 关系 角α的正切等于同一个角α 的 ⁠的商 1　 1　 　 正弦、余弦　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对 “任意”一个角（在式子有意义的前提下）关系式都成立；（2） sin 2α是（ sin α）2的缩写，读作“ sin α的平方”，不能将 sin 2α写成 sin α2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知 cos α＝ ，α为第四象限角，则 sin α＝（　　） 解析： 　∵ cos α＝ ，α为第四象限角，∴ sin α＜0，∴ sin α ＝－ ＝－ ＝－ .故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）下列四个结论中，正确的是（　　） A. sin 2α＋ cos 2β＝1 C. 对任意角α， sin 23α＋ cos 23α＝1都成立 解析： 　A中，在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同 角”才成立，即 sin 2α＋ cos 2α＝1，故A错误；B中，当α＝ ＋ k π， k ∈Z时不成立，故B错误；C和D符合同角三角函数的关系.故 选C、D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 已知3 sin α＋ cos α＝0，求tan α的值. 解：由 cos α＝－3 sin α，则tan α＝ ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用同角三角函数关系求值 角度1　已知 sin θ（ cos θ）求值 【例1】　（链接教科书第185页例5）（1）已知 sin α＝－ ，且α 是第三象限角，求 cos α，tan α的值； 解：∵ sin 2α＋ cos 2α＝1， ∴ cos 2α＝1－ sin 2α＝ . ∵α是第三象限角， ∴ cos α＜0， ∴ cos α＝－ ，tan α＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值. 解：∵ cos α＝－ ＜0， ∴α是第二或第三象限角. 若α是第二象限角，则 sin α＞0，tan α＜0， ∴ sin α＝ ＝ ＝ ，tan α＝ ＝－ ； 若α是第三象限角，则 sin α＜0，tan α＞0， ∴ sin α＝－ ＝－ ＝－ ，tan α＝ ＝ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 已知 sin θ（ cos θ）求值的方法 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　已知tan θ求值 【例2】　（链接教科书第185页例6）已知α∈（π， ），tan α＝ 2，则 cos α＝ ⁠. 解析：由已知得由①得 sin α＝2 cos α，代 入②得4 cos 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝ ，又α∈ ，所 以 cos α＜0，所以 cos α＝－ . － 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 已知tan θ求值的方法 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），则tan α＝（　　） 解析： 　因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），则 cos α＝－ ＝－ ，所以tan α＝ ＝－ .故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 在△ ABC 中，若tan A ＝ ，则 sin A ＝ 　 　， cos A ＝ 　 　. 解析：因为tan A ＝ ， A 为三角形的内角，所以 A ∈（0， ）， 又tan A ＝ ＝ ，得 sin A ＝ cos A ，由 sin 2 A ＋ cos 2 A ＝1， 得 cos 2 A ＝ ，又 A ∈（0， ），所以 cos A ＝ ， sin A ＝ . 　 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 利用同角三角函数关系化简 【例3】　（链接教科书第186页例7）（1）若α是第四象限角，化简 tan α ； 解：原式＝tan α ＝tan α ＝ × ， 因为α是第四象限角，所以 sin α＜0， cos α＞0， 所以原式＝ × ＝－1. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）若α是第一象限角，化简 － . 解：原式＝ － ＝ － ＝ － . 因为α是第一象限角，所以0＜ sin α＜1，0＜ cos α＜1， 所以原式＝ － ＝ ＝－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数 名称，达到化繁为简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后 去根号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin 2α＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　化简下列各式： （1） － ； 解：原式＝ ＝ ＝ ＝－ 2tan2α. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2） （1－ cos α）. 解：原式＝ （1－ cos α）＝ ·（1－ cos α） ＝ ＝ ＝ sin α. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 三角恒等式的证明 【例4】　（链接教科书第186页例8）求证： ＝ . 证明：法一　由 cos α≠0，知 sin α≠±1，所以1＋ sin α≠0， 左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边. 目录 数学·必修第一册（SJ） 法二　 － ＝ － ＝ ＝0， 所以 ＝ . 法三　由 ＝ ，得 cos 2α＝（1＋ sin α）·（1－ sin α），即 cos 2α＝1－ sin 2α，即 cos 2α＋ sin 2α＝1恒成立， 故原等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 证明三角恒等式常用的方法 （1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开 始化简到另一边； （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子； （3）比较法：即证明“左边－右边＝0”或证明“ ＝1”； （4）变更命题法：如要证明 ＝ ，可证 ad ＝ bc ，或证 ＝ 等. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　求证：2（1－ sin α）（1＋ cos α）＝（1－ sin α＋ cos α）2. 证明：法一　左边＝2－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α＝1＋ sin 2α＋ cos 2 α－2 sin α cos α＋2（ cos α－ sin α）＝1＋2（ cos α － sin α）＋（ cos α－ sin α）2＝（1－ sin α＋ cos α）2＝右边. 所以原等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 法二　左边＝2－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α， 右边＝1＋ sin 2α＋ cos 2 α－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α＝2－ 2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α. 左边＝右边，所以原等式成立. 法三　令1－ sin α＝ x ， cos α＝ y ， 则（ x －1）2＋ y2＝1，即 x2＋ y2＝2 x . 故左边＝2 x （1＋ y ）＝2 x ＋2 xy ＝ x2＋ y2＋2 xy ＝（ x ＋ y ）2＝右边. 所以原等式成立. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 若 sin α＝ ，则 sin 2α－ cos 2α＝（　　） 解析： 　∵ sin α＝ ，∴ cos 2α＝1－ sin 2α＝ ，∴ sin 2α－ cos 2α＝ － ＝－ . 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知 sin φ＝－ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝（　　） 解析： 　∵ sin φ＝－ ，∴ cos 2φ＝1－ sin 2φ＝1－（－ ）2＝ ，又｜φ｜＜ ，即－ ＜φ＜ ，∴ cos φ＞0，∴ cos φ＝ ， ∴tan φ＝ ＝ ＝－ .故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 化简：（1＋tan2α）· cos 2α＝ ⁠. 解析：原式＝ cos 2α＝ sin 2α＋ cos 2α＝1. 1　 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $