第二章 一元二次方程 复习试题- 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程复习，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合古代数学文化与现实生活情境，适配初中数学单元复习，有效检测抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|9题|根的求解、判别式、根与系数关系|第9题结合赵爽勾股圆方图，体现文化传承| |填空题|4题|一般形式、参数取值、实际问题建模|第13题矩形场地小路问题，培养空间观念| |解答题|9题|解方程、判别式证明、实际应用（面积/利润/传染）、新定义“同根方程”|第17题杨辉矩形面积问题、21题T恤销售利润问题，强化模型意识；22题配方法证明，发展推理能力|

第二章一元二次方程复习课 练习题 一、选择题： 1.一元二次方程的根是(    ) A. B. ， C. D. ， 2.方程的根为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4.已知是方程的根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 5.若是方程的一个根，则此方程的另一个根是(    ) A. B. C. D. 6.关于的一元二次方程的一个根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是(    ) A. B. C. D. 7.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 8.对于关于的一元二次方程，下列说法错误的是(    ) A. 若方程的两个根是和，则 B. 若，则方程有一个根是 C. 若是方程的一个根，则一定有成立 D. 若，且方程有实数根，则 9.（拔高题）我国古代数学家赵爽在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程的正数解的几何解法，以方程，即为例说明，记载的方法是：构造图，可以得到大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，由此易得则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 10.将方程化成一元二次方程的一般形式得          ，其中二次项系数是          、一次项系数是          、常数项是          ． 11.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是          ． 12.如图，学校将一块面积为的矩形空地一边增加，另一边增加后，建成了一个正方形训练场，则此训练场的面积为          ． 13.（拔高题）如图，将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为          ． 三、解答题： 14.用适当的方法解下列方程： ； ； ； ； ． 15.已知是关于的一元二次方程．求证：方程总有两个不相等的实数根； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求实数的值． 16.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同根方程”例如，和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同根方程”． 请判断一元二次方程与是否属于“同根方程”，说明理由； 关于的一元二次方程与为“同根方程”，求的值． 17.我国南宋数学家杨辉曾经提出这样的一个问题：“直田积，八百六十四，只云阔不及长十二步，问阔及长各几步．”大意：矩形田地的面积为平方步，宽比长少步，问矩形田地的长与宽各几步？ 18.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感． 每轮传染中平均一个人传染了几个人 如果不及时控制，三轮传染后，患了流感的有          人 19.如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地单位：，现在其中修建一条观花道阴影部分供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的设观花道的直角边为，求的值． 20.如图，这是一张年月的月历表在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出个数如 若圈出的个数中最小的数为，则最大的数为          用含的代数式表示 若圈出的个数中最大的数与最小的数的乘积为，求这个数中最小的数 方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为吗若能，请直接写出最小的数若不能，请说明理由． 21.小明大学毕业后和同学创业，销售原创设计的手绘图案恤衫已知每件恤衫的成本价为元，当销售价为元时，每天能售出件经过一段时间销售发现，当销售价每降低元时，每天就能多售出件． 若降价元，则每天销售恤衫的利润为          元 小明希望每天获得的利润达到元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少 在保证每件恤衫的利润率不低于的前提下，小明能否每天获得元的利润若能，求出定价若不能，请说明理由利润率 22.（拔高题）【阅读材料】把形如的二次三项式或其一部分经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将变形为的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：， 分解因式：， 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： 若，，分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由 求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数． 第二章一元二次方程复习课练习题 参考答案和解析 1. 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：移项，得， 直接开平方，得， 所以，． 2. 3. 【解析】 解：由题意，得，方程有两个不相等的实数根，故选A． 4. 5. 【解析】设的另一个根是，则，，故选B． 6. 7. 8. 9. 10.  11. 【解析】【分析】 此题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件． 由一元二次方程的概念得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：根据一元二次方程的定义可得：，解得：，故答案是：． 12. 13.  14.【小题】解：，，，或，． 【小题】解：，或，． 【小题】解：，或，． 【小题】解：，，或，，． 【小题】解：，，，，  即，． 15.【小题】证明：由题意可知，  故方程总有两个不相等的实数根． 【小题】解：由题意可知，，，，，解得实数的值为． 16.【小题】解：这两个方程是“同根方程”，理由如下： 解方程，得或，  解方程，得或， 一元二次方程与有且只有一个相同的实数根， 这两个一元二次方程为“同根方程”． 【小题】解：，， 或， ，， 一元二次方程与为“同根方程”， 当相同的实数根为时，将代入得，解得，  此时一元二次方程的另一个根为，符合题意；  当相同的实数根为时，将代入得，解得，  此时一元二次方程的另一个根为，符合题意．  综上，的值为或． 17.解：设矩形田地的宽为步，则长为步．  依题意，得  整理，得  解得，不合题意，舍去．   答：矩形田地的长为步，宽为步．  18.【小题】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得，不合题意，舍去． 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 【小题】 19.解：由图形知，  由题意得，  化简得，  解得，不符合题意，舍去，的值为．  20.【小题】 【小题】设圈出的个数中最小的数为，则最大的数为， ，解得或舍去， 这个数中最小的数为． 【小题】方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为， 理由如下：设圈出的个数中最小的数为， 则其他三个数分别为，，， 由题可得， 解得或舍去，当， 即圈出的最小的数为时， 结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数， 方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为． 21.【小题】 【小题】由题意，设此时每件恤衫降价元， 每天销售恤衫的利润， 解得或． 又优惠最大，．此时售价为元． 【小题】小明不能每天获得元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价元时，利润， ．，． 每件恤衫的利润率不低于， ，解得． ，，小明不能每天获得元的利润．  22.【小题】解：为等边三角形，理由如下： ， ， ， ，， ，，， ，，， ，为等边三角形． 【小题】证明： ， ，， ， 代数式的值恒为正数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $