第二章 一元二次方程 单元复习 2026-2027学年 北师版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合实际情境与数学推理，适配初中数学单元复习，有效培养运算能力、模型意识与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|11题|根与系数关系、判别式、方程解法|结合表格数据估计方程解，体现数学眼光| |填空题|6题|等腰三角形与方程、根与系数综合|雕像比例问题渗透文化情境，培养模型意识| |解答题|6题|解方程、利润问题、传染问题|利润问题（第22题）强化实际应用，发展数学语言表达|

第二章 一元二次方程 单元复习 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 2．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 且 3．根据表格中的信息，估计一元二次方程 （ 、 、 为常数， ）的一个解 的范围为（　　） x 0 1 2 3 4 ax2+bx+c -14.5 -11.5 -6.5 0.5 9.5 A． B． C． D． 4．一元二次方程 ，配方后可形为（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，则（　　） A． B． C． D． 6．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（　　） A．1 B．-1 C．2021 D．-2021 7．关于x的方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么m的值为（　　） A．-1 B．-4 C．-4或1 D．-1或4 8．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　） A．14 B．11 C．10 D．9 9．关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 10．若 ， ，则以 ， 为根的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 11．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 12．关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角形△ABC一边长为a＝6，另两边长b，c为方程两个根，则△ABC的周长为　 　. 13．已知实数a、b满足 ，若关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，则 　 　. 14．设 是关于x的方程 的两个根，且 ，则 　 　. 15．已知关于 的方程 （ ）的两实数根为 ， ，若 ，则 　 　. 16．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为　 　． 17．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a，b同时满足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代数式 的值． 结合他们的对话，请解答下列问题： （1）当a＝b时，a的值是　 　． （2）当a≠b时，代数式 的值是　 　． 三、解答题 18．解下列方程： （1）x2﹣6x﹣3＝0； （2）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）. 19．按要求解下列方程： （1）用配方法解：x2﹣4x+1＝0. （2）用公式法解： . 20．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. （1）求实数m的取值范围； （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值. 21．已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由． 22．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 23．安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7. 故答案为：A. 【分析】根据根与系数的关系“两根之和等于”可得关于另一个根的方程，解这个方程即可求解. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得：a≠0且 ，即 ， 解得： 且 ， 故答案为：D. 【分析】 由关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得a≠0且 ，据此解答即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：由表格可知：当x=3时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5， 当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4， 故答案为：D． 【分析】根据表格中的数据求解即可。 4．【答案】A 【解析】【解答】解： x2-8x=2， x2-8x+16=18， （x-4）2=18． 故答案为：A． 【分析】先求出x2-8x=2，再求出x2-8x+16=18，最后配方计算求解即可。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ， ∴ ，解得： ， ∴由韦达定理可得： ， ∴只有D选项正确； 故答案为：D. 【分析】根据关于x的一元二次方程： 有两个不相等的实数根 ， ，可得= ，可得 ，再根据根与系数的关系可得 可得结果. 6．【答案】B 【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ = = = = =-1. 故答案为：B. 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵方程 有两个实数根 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 整理得， ， 解得， ， ， 若使 有实数根，则 ， 解得， ， 所以 ， 故答案为：A. 【分析】通过根与系数之间的关系得到 ， ，由 可求出m的值，通过方程有实数根可得到 ，从而得到m的取值范围，确定m的值. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得： ， 解得： （舍去）， 故答案为：B． 【分析】根据经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，列方程求解即可。 9．【答案】C 【解析】【解答】解： ， 整理得： ， ∴ ， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为 、 ， ∵ ， ∴两个异号，而且负根的绝对值大. 故答案为：C. 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可. 10．【答案】A 【解析】【解答】∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴ ， ∴以 ， 为根的一元二次方程为 ． 故答案为：A． 【分析】由x12+x22=5，利用完全平方式将其变形，利用整体代入求出x1·x2的值，然后根据根与系数的关系判断即可. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，设小道的宽为 ， 则种植部分的长为 ，宽为 由题意得： ． 故答案为：C． 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 12．【答案】16或22 【解析】【解答】解：Δ=b2-4ac= = ， 无论k取何实数值都有Δ = ≥0， ， 则x1=2k，x2= k+1， ①在等腰三角形△ABC中，当边长b，c相等时， 即2k=k+1时，解得k=1， 此时x1=x2=2，即b，c的长为2，而2+2＜6（不满足任意两边之和大于第三边，故舍去）， ②在等腰三角形△ABC中，当边长a与x1相等时， 即2k=6时，解得k=3， 此时x1=6，x2= 4， 此时△ABC的周长为6+6+4=16， ③在等腰三角形△ABC中，当边长a与x2相等时， 即k+1=6时，解得k=5， 此时x1=10，x2= 6， 此时△ABC的周长为6+6+10=22， 综上所述：△ABC的周长为16或22； 故答案为16或22. 【分析】首先判定方程是否有实数根，利用求根公式得到x1=2k，x2= k+1，根据等腰三角形的性质分类讨论，分别计算k的值，从而求出b、c的值，然后根据三角形三边的关系和三角形周长的定义求解即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵实数a、b满足 ， ∴a﹣2=0，b+3=0， 解得：a=2，b=﹣3， ∴ ， ∵一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ， ∴ + =2， =﹣3， ∴ = ， 故答案为： . 【分析】根据非负数之和等于0的性质分别列式求出a、b，代入一元二次方程，再根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后将原式变形代值计算即可. 14．【答案】2 【解析】【解答】解：由根与系数的关系可得： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为：2. 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再结合已知条件可求出k的值. 15．【答案】 【解析】【解答】由题意， ， ， ∵ ， ∴ ， 即： ， 解得： ， 故答案为： . 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，分别求出x1+x2，x1x2的值；再将已知方程组转化为 ，然后整体代入，建立关于k的方程，解方程求出k的值. 16．【答案】 或 【解析】【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m， 由题意得： ， 即 ， 故答案为： 或 ． 【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m， 根据：雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比， 列出方程即可. 17．【答案】（1）-2或1 （2）7 【解析】【解答】解：（1）当a=b时， a2+2a=a+2 a2+a-2=0 ∴（a+2）（a-1）=0 解之：a=-2或1. （2） 由①-②得 a2-b2+3（a-b）=0 （a-b）（a+b）+3（a-b）=0 ∴（a-b）（a+b+3）=0 ∵a≠b ∴a-b≠0 ∴a+b=-3； 由①+②得a2+b2+a+b=4 ∴a2+b2=7 ∵(a+b)2=9， ∴a2+b2+2ab=9 解之：ab=1 ∴ 【分析】（1）由a=b，可得到关于a的一元二次方程，可求出a的值. （2）将两方程联立方程组，由①-②得，可得到（a-b）（a+b+3）=0，可得到a+b的值；由①+②可求出a+b及a2+b2的值；然后求出ab的值；然后将代数式转化为 ，整体代入可求解. 18．【答案】（1）解： ∴ ∴ （2）解： ∴ 或 ， 解得： 【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，首项移项，将常数项移到方程的右边，接着配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而根据直接开平方法求解即可； （2）将方程的右边整体移到方程的左边，将方程的左边利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可. 19．【答案】（1）解： ， ∵x2﹣4x＝﹣1， ∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， 则x﹣2＝ ， ∴x1＝2+ ，x2＝2﹣ ； （2）解： ， ∵a＝1，b＝﹣ ，c＝﹣ ， ∴△＝（﹣ ）2﹣4×1×（﹣ ）＝3＞0， 则x＝ ， 即x1＝ ，x2＝ . 【解析】【分析】（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解； （2）根据一元二次方程的求根公式“x=”计算即可求解. 20．【答案】（1）解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得 （2）解：设该方程的两个根为 、 ， ∵该方程的两个根都是符号相同的整数， ∴ ， ， ∴ ， ∴m的值为1或2， 当 时，方程两个根为 、 ； 当 时，方程两个根 与 不是整数； ∴m的值为1 【解析】【分析】（1） 根据一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可； （2）设该方程的两个根为 、 ，根据根与系数关系及方程的两个根都是符号相同的整数，可得 ， ，可得m的范围，然后求出其整数解即可. 21．【答案】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得 ； （2）解：由一元二次方程根与系数关系， ∵ ， ∴ 即 ，解得 ． 又由（1）知： ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 ，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 22．【答案】（1）26 （2）解：解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15. 根据题意可得（40-x）=1200， 整理得x2-30x+200=0， 解得x1=10，x2=20（舍去）， 答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。 【解析】【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。 23．【答案】（1）解：设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120 当x＝4，y＝140 ∴ ∴ ∴y＝10x+100 （2）解：由题意得： （60－40－x）(10x+100)＝2090(或(10x+100)＝2090) x2－10x+9＝0 解得：x1＝1.x2＝9 ∵让顾客得到更大的实惠 ∴x＝9 答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元。 【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，利用待定系数法即可求出 这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系 ； （2）根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，列出方程，求解并检验即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $