2.3 一元二次方程根与系数的关系同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程根与系数的关系同步练，以“基础巩固+拔高提升”分层设计，通过真题情境与递进题型，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|根与系数关系直接应用（求两根和积、已知一根求另一根等）|结合省同步练习/期末真题，强化基础运算与概念理解，培养抽象能力| |拔高题|综合应用（构造方程、几何情境）|通过菱形面积、几何法解方程等跨情境问题，发展推理能力与模型意识|

2.3 一元二次方程根与系数的关系 一、选择题： 1.（2026年湖北省期末考试）若方程的两个根是和，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知是方程的一个根，则它的另一根是(    ) A. B. C. D. 3.（2026年陕西省同步练习）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和则原来的方程可能是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程的解为，，则原方程利用因式分解变形后可得(    ) A. B. C. D. 5.（2026年陕西省同步练习）若一个菱形的两条对角线的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知，，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.（拔高题）若实数，分别满足，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 8.探究：已知关于的一元二次方程的两根为，， 由求根公式知，，           ，          ． 9.已知方程的两根为，．           ，                    ． 10.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为          ． 11.若，是方程的两个根，则代数式的值为          ． 12.（拔高题）形如的方程，求正数解的几何方法：如图，先构造一个面积为的正方形，再沿正方形的边向外构造四个面积为的矩形，阴影部分的面积为，得到大正方形的面积为，所以，则该方程的正数解为小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图所示的图形，已知阴影部分的面积为，则该方程的正数解为          ． 三、解答题： 13.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： ；． 14.设，是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值． ． 15.（（2026年河南省同步练习））已知关于的一元二次方程． 求证：该方程总有两个实数根若方程的两个实数根，满足，求的值． 16.已知关于的方程有两个实数根． 求的取值范围若该方程有两个实数根，，且，求的值． 2.3 一元二次方程根与系数的关系 参考答案和解析 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 【解析】实数，分别满足，，，，是方程的两个根，，，故选D． 题型解读通过观察两个等式的关系，构造一元二次方程，应用一元二次方程根与系数的关系简化运算． 8. 9.【小题】 【小题】 10.  11.  12.  13.【小题】方程的两根之和为，两根之积为 【小题】方程的两根之和为，两根之积为 14.【小题】解：由题意，得，． ． 【小题】． 15.【小题】证明：， 该方程总有两个实数根． 【小题】解：由题意得，． ． ． 或． 16.【小题】解：方程有两个实数根，，解得． 【小题】，，， ，即． 整理得，解得，． ，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $