2.2 一元二次方程的解法（九大题型）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以九类题型系统构建一元二次方程解法体系，融合方法创新（如直接开平新解法）与应用拓展（配方法求最值、判别式参数问题），实现从解法原理到综合应用的逻辑进阶，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|3题（含创新解法）|平方变形技巧，新解法迁移应用|从基础开平到复杂方程转化| |配方法|3题|配方步骤标准化，完全平方构造|解法原理→代数式变形应用| |配方法应用|3题|最值求解通法，非负性应用|解方程→代数最值拓展| |公式法|3题|求根公式逆向因式分解|公式推导→二次三项式分解| |判别式应用|3题|根的情况判定流程|解法→根的性质分析| |参数问题|3题|参数取值范围推理|根的性质→参数关系构建| |因式分解法|3题|因式分解技巧，根与系数关联|整式乘法逆运算应用| |换元法|3题|整体代换策略，复杂方程简化|方程结构分析→转化思想| |分式方程转化|2题|分式方程整式化，实际问题建模|实际情境→数学模型构建|

2.2 一元二次方程的解法 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 2．方程的较小实数根为_____． 【答案】/ 【分析】对方程两边开平方得到两个一元一次方程，求解得到方程的两个根，比较根的大小即可得到较小实数根． 【详解】解：对方程两边直接开平方，得 ， 即或， 解得，， ， 方程的较小实数根为． 3．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 【答案】(1)，，， (2)， 【详解】（1）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 即，，，； （2）解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 题型二 解一元二次方程——配方法 4．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程的操作，解题关键是掌握配方法构造完全平方式的规则，当二次项系数为1时，方程两边需同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 根据配方法的规则，要使左边成为完全平方式，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即 ， ∴ 等号两边应同时加上． 5．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 【答案】1 【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 即 ，整理为 的形式得， ，， 则， 因此． 6．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 题型三 配方法的应用 7．已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，将式子变形为，则可得当时，等式成立，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当且仅当，，时，即时，等式成立， ∴， 故选：C． 8．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 9．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1． （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 题型四 公式法解一元二次方程 10．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 11．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 12．我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给例子即可得出结果； （2）根据题干所给例子即可得出结果； （3）利用公式法求出一元二次方程的解，并结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则． 即． （2）解：∵关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，， ∴二次三项式因式分解的结果是； （3）解：对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴将多项式进行因式分解为． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 14．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根 ∴，即： ∴ 解得： 故答案为：． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 16．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个相等实数根得判别式的值为0，解方程即可求出的值. 【详解】解：展开得， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 【答案】(1) 证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵任意实数的平方都大于等于，即， ∴， ∴此方程总有实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有实数根； （2）先因式分解求出方程的两个根，再根据方程有两个互不相等的负整数根，且为整数的条件，排除不符合的情况，得到的值； 【详解】（1）略 （2）解：对， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵方程有两个互不相等的负整数根，且为整数， ∴是负整数， ∴或， 当时，，此时两根相等，不符合题意，舍去； 当时，，两根为和，是两个互不相等的负整数根，符合题意； ∴． 题型七 因式分解法解一元二次方程 19．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 20．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 【答案】 【分析】分别用因式分解法解两个一元二次方程，根据题意求得，，再代入代数式，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴ 解得： ∴ ∴. 21．化简与解方程： (1)化简：； (2)解方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，再合并同类项即可得到结果； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 因式分解得 即或 解得 题型八 换元法解一元二次方程 22．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 23．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，， 故答案为：，． 24．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 题型九 解分式方程（化为一元二次） 25．学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数为人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 26．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 一元二次方程的解法 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 1．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．方程的较小实数根为_____． 3．爱思考的小强同学在探索一元二次方程的解法时，发现一种新的解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或． 所以，原方程的解为：，． (1)下面是小强同学用发现的新解法解方程时，写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， 整理得，， 所以，， 所以，直接开平方得，，或， 所以，原方程的解为：，． 请直接写出上述过程中的，的值及方程的根； (2)请用小强同学发现的新解法解方程：． 题型二 解一元二次方程——配方法 4．用配方法解方程时，要使等号左边变成一个完全平方式，等号两边应同时加上（     ） A．12 B．9 C．6 D．3 5．将方程化成（为常数）的形式，则___________． 6．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 题型三 配方法的应用 7．已知实数满足，那么实数的乘积为（    ） A．1 B． C． D． 8．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 9．配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 题型四 公式法解一元二次方程 10．方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 11．已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 12．我们把形如（，，是常数，，且）的多项式叫做关于的二次三项式．通过学习可知，利用因式分解可解一元二次方程．反过来，也可以利用求出一元二次方程两个根的方法，把某些二次三项式因式分解．例如：一元二次方程的两个根为，，则二次三项式因式分解的结果是． (1)下面是代数推理过程，请补全过程： 设一元二次方程（，且）的两个实数根为， 则 ． 即． (2)已知关于的一元二次方程（，是常数）的两个实数根为，，则二次三项式因式分解的结果是 ． (3)请仔细阅读内容中的方法，将多项式进行因式分解． 题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况 13．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 14．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是_____． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 16．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程总有实数根； (2)若此方程有两个互不相等的负整数根，求整数m的值． 题型七 因式分解法解一元二次方程 19．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 20．若方程的较大根为，方程的较小根为，则______________． 21．化简与解方程： (1)化简：； (2)解方程： 题型八 换元法解一元二次方程 22．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 23．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 24．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 题型九 解分式方程（化为一元二次） 25．学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 26．用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $