第五章 二元一次方程组 单元测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，覆盖方程组解法、一次函数关联及实际应用，注重数学思维与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一次函数图像与性质、方程组解的意义|结合《孙子算经》古题，体现文化传承| |填空题|5/15|方程组与直线位置关系、函数解析式|考查概念辨析，如平行直线的条件| |解答题|8/75|方程组求解、函数与几何综合、实际应用|分层设计：基础题（解方程）、提升题（销售利润）、创新题（翻折与函数图像）|

第五章 二元一次方程组 测试题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．﹣ D．2 2．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，则等于（   ） A． B．1 C．2025 D． 4．小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　） A．4和 B．和4 C．和8 D．8和 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，两点在该函数图象上，则 C．方程的解是 D．一次函数的表达式为 8．如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（　　） A．81cm B．83cm C．85cm D．87cm 9．一次函数的图象如图，下列说法正确的是（   ） A．点B的坐标是 B．的面积是8 C．y随x的增大而增大 D．点在函数图象上 10．已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于两点，直线：与坐标轴交于两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若方程组没有解，则直线与直线的位置关系是_________． 12．若直线与直线平行，且过点，则该直线的解析式为 ___________． 13．若是关于的二元一次方程，则________． 14．若实数m，n同时满足，，则的值为________． 15．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．解方程组： 17．如图，一次函数的图象经过两点，交轴于点，求的面积． 18．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种头脚的兽与一种头脚的鸟，若兽与鸟共有个头与只脚．若设兽有个，鸟有只，则兽、鸟各有多少？ 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．已知一次函数的图象经过点． (1)求此一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上，并说明理由． 20．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数关系，如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？ （3）设每天的销售利润为（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 21．为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．在平面直角坐标系中，已知两点的坐标分别． （1）在平面直角坐标系中，描出点； （2）若函数的图象经过点，求的值； （3）若一次函数的图象由（2）中函数的图象经过平移，且经过点得到，求这个一次函数的表达式，并在直角坐标系中画出该函数对应的图象． 23．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点，与x轴交于点C．已知． (1)求直线的解析式； (2)若平面直角坐标系内有一点，使得，请直接写出点P的坐标； (3)线段OA上是否存在一个点M，使得?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D C C D C C A 11．平行 12． 13． 14． 15． 16． 【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 17．9 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先利用待定系数法求出函数解析式，进而求出点的坐标，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为 当时，，解得：， 点C的坐标为 ∴， ． 18．兽有只，鸟有只 【分析】设兽有个，鸟有只，根据兽与鸟头的总数是头和脚的总数为只，列方程即可解答． 【详解】解：设兽有个，鸟有只， 根据题意可得， 原方程组可化简为， 解得， 答：兽有只，鸟有只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，找准等量关系正确列出二元一次方程是解题的关键． 19．(1) (2)点在该函数图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）将代入（1）中的函数解析式，得到的y值再与纵坐标2比较，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入解析式， 得，解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，， 点在该函数图象上． 20．（1）；（2）15元/件；（3）销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元 【分析】（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k、b的值； （2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题； （3）探究W与x之间的函数关系，利用函数解决W的最值问题即可． 【详解】解：（1）设． ∵图象经过（20，100）和（30，80）两点， ∴，解得，． ∴． （2）由题意得，． 解得，． ∵， ∴（不合题意，舍去）． ∴若想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件． （3）． ∴W是关于x的二次函数． ∵，抛物线开口向下， ∴当x<40时，y随x的增大而增大． 又∵， ∴当时，=1750． ∴当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基础，掌握二次函数的性质是求最值的关键． 21．(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，根据平移，设出新的解析式，待定系数法求出即可. 【详解】（1）解：设光束所在直线的解析式为， 将及代入， 得，解得， 光束所在直线的解析式为 （2）解：设点P的横坐标为a， 点P的坐标为， 点P在光束上， 解得， 即点P的坐标为， 由题意，经过平移后所在直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得． 22．（1）点，作图见解析；（2）；（3），作图见解析 【分析】（1）根据A点坐标即可描点； （2）把A点代入即可求解； （3）根据直线平移可得k=2,再把点B点代入即可求解，再画出函数图象即可求解． 【详解】（1）如图，点如图所示： （2）∵函数的图象经过点 ∴ ． （3）由（2）可得经过点的函数为． 一次函数的图象由函数经过平移，且经过点得到， 解得 ． 依题意画出图象如图所示． 【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用． 23．(1) (2)P点坐标为或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）求出，，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）过B点作直线的平行线为，P点在直线上；直线关于直线的对称直线为，P点在直线上； （3）在x轴上取点H，连接BH，使，过点H作交直线BG于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴，则≌，设，求得，再由G点在直线上，求出n，则，推导出，求出直线与直线的交点即为 【详解】（1）解：， ，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ； （2）过B点作直线的平行线为， ， 点在直线上， ， ， ； 直线关于直线的对称直线为， ， 点在直线上， ， ； 综上所述：P点坐标为或； （3）存在点M，理由如下： 在x轴上取点H，连接，使， 过点H作交直线于点G，过点B作轴，过点G作轴，过点H作轴， ， ， ， ， ， ≌， ，， 设， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 与x轴的交点为， 直线的解析式为， 当时，， 答案第6页，共7页 答案第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $