4.4 两个三角形相似的判定 课时练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 分层设计清晰，从基础判定到综合应用梯度进阶，通过选择、填空、解答题系统巩固相似三角形判定，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一判定定理直接应用|选择题1-3、填空题9-10，通过图形辨析、补充条件，强化AA/SAS/SSS判定，发展抽象能力| |中档|判定与性质及跨知识结合|选择题4-6、填空题11-12，结合角平分线、坐标几何，如第11题融合反比例函数与相似，体现数学思维| |综合|综合证明与问题解决|解答题13-15，需证明相似并计算，如第15题结合勾股定理与面积法，培养推理能力与应用意识|

4.4 两个三角形相似的判定 课时练习 一、选择题 1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，能使∽成立的条件是（　　） A． B． C． D． 3．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　） ①；②； ③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 6．如图，在和中，已知，则添加下列条件能判定和相似的是（　　） A． B． C． D． 7．如图4-4所示，在Rt中，为斜边AB上一点.过点作直线截.若截得的三角形与相似，则这样的直线最多有（　　）. A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图所示，要使得，需要补充的一个条件可以是　 　（只需要填写一个即可）。 10．如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当　 　度时，． 11．如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值是　 　． 12．在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是　 　． 三、解答题 13．如图，已知 ， ， ，求 的度数． 14．如图，在与中，已知，，，，，连接． （1）求证：； （2）若，求的面积． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若AC＝3，BC＝4，求BD的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2， 在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ， 因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似. 故答案为：A. 【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断. 2．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】由图可得∠A=∠A， 若添加，得不到∽，不符合题意； 若添加，得不到∽，不符合题意； 若添加 ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得∽，符合题意； 若添加 ，得不到∽，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据相似三角形的判定定理进行逐一判定即可求解. 3．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵对于A选项：，则，故A选项不符合题意；对于B选项：∵，则，故B选项不符合题意；对于C选项：根据不能判定，则C选项符合题意；对于D选项：∵，∴，故D选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据已知条件再根据选项条件进行逐项判定即可. 4．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 5．【答案】D 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：如图， ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，，，，， ∴， ∴， ∴；故B不符合题意； 如图， ∵，， ∴， ∴即， ∴；故C不符合题意； ∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似． 故答案为：D． 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 6．【答案】A 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOD， ∴∠AOC+∠COB=∠COB+∠BOD，即∠AOB=∠COD. A、∠A=∠D，对应的两角相等，可以证明，A符合题意； B、∠B=∠BOC，不是对应角，不可以证明，B不符合题意； C、不是对应边成比例，不可以证明，C不符合题意； D、，不是夹角的对应边成比例，不可以证明，D不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据相似三角形的判定定理解题即可. 7．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt △ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC 的垂线，共3条直线. 故答案为：C. 【分析】过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以. 8．【答案】B 【知识点】勾股定理；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：依题意，， ， ， ∴，， ∴， 而，，与不相似， 故答案为：B． 【分析】根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似求解即可． 9．【答案】或或 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】由图可得∠A=∠A， 可补充或或 使得， 故答案为：或或 . 【分析】由图得到∠A=∠A，再根据相似三角形的判定定理补充条件即可求解. 10．【答案】70 【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理求出，有∠BDC=∠ABC=70°，据此求解。 11．【答案】 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【解答】解：如图所示： 过点D作DF⊥x轴于点F. ∵AB⊥AO， ∴∠DFO=∠BAO=90°， 又∵∠DOF=∠BOA， ∴△DOF∽△BOA. ∴. 设反比例函数表达式为，D点坐标， ∴. ∴， 可得点B坐标为. ∵BC∥AO，点C在双曲线上， ∴可得点C坐标为 ∴， 即， ∴. 故答案为：. 【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，结合AB⊥AO，证得△DOF∽△BOA，于是有，设出点D坐标，可据此表示出点B和点C的坐标，再表示出△OBC的面积令等于3，即可得k的值. 12．【答案】4.5 【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定 【解析】【解答】图中与△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形如图所示， 故答案为：4.5. 【分析】利用相似三角形的性质画出面积最大的三角形，再利用三角形面积公式代入数据即可求解. 13．【答案】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定 【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出 = ，∠BAD=∠CAE，求出 = ，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可． 14．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：过A作于G， 由（1）知，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ ∴， ∴． 【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）根据同角或等角的余角相等证得，再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证得 ； （2）过A作于G， 先由得到 ，再利勾股定理求出AG的长，然后根据三角形的面积公式计算即可. 15．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB． ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝4， ∴AB＝＝5， ∵， ∴AC•BC＝AB•CD， ∴CD＝， ∵CD⊥AB， ∴BD＝. 【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）先根据题意得到∠ADC＝∠ACB，进而根据相似三角形的判定即可求解； （2）先根据勾股定理求出AB，进而结合三角形的面积运用勾股定理即可求解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $